九年级数学下册解直角三角形及其应用单元教案

九年级数学下册解直角三角形及其应用单元教案

单元整体教学设计

一、单元课程内容分析与定位

本单元隶属初中数学“图形与几何”领域，是北师大版九年级下册“直角三角形的边角关系”章节的核心内容。它在学生已经学习过直角三角形、相似三角形、勾股定理及一次函数等知识的基础上，系统性地建立锐角三角函数的概念，深入研究解直角三角形的方法，并将其应用于测量、工程、物理等广泛的真实情境中。从知识演进脉络看，本单元是勾股定理的深化与代数化表达，是连接几何与代数的重要桥梁，同时也是高中阶段系统学习三角函数、正弦定理、余弦定理的认知基础与预备知识。其思维方法，特别是数学建模思想——将实际问题抽象为数学问题（构造直角三角形），利用数学工具（三角函数、勾股定理）求解，再回归实际进行解释与检验——是培养学生应用意识、创新意识和实践能力的关键载体。

本单元内容结构呈递进式：

1.解直角三角形：聚焦于直角三角形内部元素（两锐角、三边）的关系定理（两锐角互余、勾股定理、锐角三角函数），并以此为工具，在已知部分元素（至少一边及一锐角，或两边）的条件下，求出其余所有未知元素的过程。这是本单元的核心技能基础。

2.三角函数的简单应用：将解直角三角形的技能应用于相对直接的现实模型，如坡比（坡度）、仰角俯角、方位角等问题。侧重于对单一模型的理解与求解。

3.利用三角函数测高：综合应用三角函数、解直角三角形及测量知识，解决较为复杂的、非直接可测的高度（或宽度、深度）测量问题。常涉及构造多个直角三角形、运用方程思想，是综合能力与建模素养的集中体现。

二、学情分析与教学挑战

九年级学生处于抽象逻辑思维发展的关键期，具备一定的空间想象、逻辑推理和归纳能力。他们对直角三角形和比例关系较为熟悉，但将角度与边长比值进行函数化对应，并灵活应用于多变情境，仍面临挑战。

主要认知基础与潜在障碍分析：

1.知识储备：熟练掌握勾股定理、相似三角形性质；了解函数概念；具备基本的几何作图与识图能力。

2.思维障碍：

1.3.概念抽象：从“直角三角形中某锐角的对边与斜边的比值固定”这一性质，抽象出“正弦函数”的概念，并类比定义余弦、正切，学生易感突兀。关键在于通过丰富、一致的探究活动，让学生体验“必要性”与“必然性”。

2.4.模型识别：实际问题中，如何从复杂背景中分离出几何图形，特别是准确识别或构造出含有所需锐角的直角三角形，是最大难点。学生常因辅助线添加不当或视角选择错误而无法建立有效模型。

3.5.计算处理：涉及多位小数、精确度要求、计算器使用（特别是已知三角函数值反求角度）时，容易出现操作失误或理解偏差。

4.6.多模型综合：在测高类复杂问题中，需要设立未知数、利用公共边（或角）建立方程，对学生综合运用代数与几何知识的能力要求较高。

三、单元核心概念与素养目标

核心概念：锐角三角函数（正弦、余弦、正切）、解直角三角形、仰角、俯角、方位角、坡度（坡比）。

大观念：确定性关系是数学建模的基础；直角三角形是解决大量几何与实际问题的重要工具；角度可以决定边长比例，反之亦然。

单元教学目标：

1.知识与技能：

1.2.理解锐角三角函数（sinA,cosA,tanA）的概念，熟记30°、45°、60°角的三角函数值。

2.3.理解直角三角形中边与角的关系，掌握解直角三角形的依据和方法。

3.4.能运用解直角三角形的知识解决简单的实际问题，如与仰角、俯角、方位角、坡度等相关的问题。

4.5.能综合运用三角函数、相似三角形等知识设计测量方案并解决较复杂的测量问题（如底部不可达物体的高度）。

6.过程与方法：

1.7.经历从实际问题抽象出数学问题、建立三角函数模型、求解并验证的过程，体会数学建模思想。

2.8.通过探索、发现、归纳、应用等活动，发展观察、比较、分析、概括的思维能力。

3.9.学会在复杂图形中识别或构造直角三角形，掌握将一般问题转化为直角三角形问题的基本策略。

4.10.体验合作探究、方案设计与实地（或模拟）测量的完整过程。

11.情感、态度与价值观：

1.12.感受数学与现实的紧密联系，体会三角函数在解决实际问题中的价值和力量，增强应用意识。

2.13.在克服困难、解决问题的过程中，培养严谨求实的科学态度、合作精神和创新意识。

3.14.欣赏数学的简洁美、统一美和工具价值。

学科核心素养落实点：

1.数学抽象：从具体直角三角形的边长比抽象出锐角三角函数概念。

2.逻辑推理：推导特殊角三角函数值，论证解直角三角形的可行性。

3.数学建模：将实际测量问题抽象为解直角三角形问题。

4.直观想象：识读和绘制含仰角、俯角、方位角的几何图形。

5.数学运算：熟练进行三角函数值的计算与变换，使用计算器。

6.数据分析：处理测量数据，评估测量方案的精确度。

四、单元教学重难点及突破策略

教学重点：

1.锐角三角函数的概念理解。

2.解直角三角形的基本方法。

3.将实际问题转化为解直角三角形模型。

教学难点：

1.锐角三角函数概念的抽象与理解。

2.在复杂情境中灵活构造直角三角形并建立等量关系。

3.测高方案的设计与综合模型的建立。

突破策略：

1.针对概念抽象：采用“问题驱动—实验探究—归纳定义”的模式。利用几何画板等动态软件，展示当锐角度数固定时，其所在的任意大小的直角三角形，其对边与斜边的比值恒定，从而让学生确信这个比值只与角度有关，是角的函数，自然引出定义。

2.针对模型识别与构造：实施“变式教学”与“图示训练”。提供大量含有不同背景（测量、工程、航海）和不同图形位置关系的变式问题，训练学生快速抓取关键词（仰角、俯角等），并熟练将其标注在标准位置。强调“化斜为直”（将斜三角形问题通过作高转化为直角三角形问题）的基本思路。

3.针对综合应用：开展“项目式学习（PBL）”。以“为校园内的旗杆/大树/教学楼测量高度”为项目任务，引导学生分组设计多种测量方案（如利用影子、镜面反射、两次测仰角等），进行理论推导、方案论证、实地（模拟）操作、数据分析和报告撰写，在真实任务中实现知识融合与能力提升。

五、跨学科视野与前沿教学理念整合

本单元天生具有跨学科属性。教学设计将主动融合：

1.物理学：联系力的分解、光学中的反射定律，解释测量方案原理。

2.地理学：结合地图阅读，深化方位角（真方位角、磁方位角）的理解，引入简单的地理测绘背景。

3.工程学：引入桥梁坡度、大坝斜面、屋顶倾角等真实工程参数，探讨安全性与经济性。

4.信息技术：使用图形计算器、GeoGebra、手机测倾角APP辅助探究与验证，体验数字化测量工具。

5.STEAM教育理念：以工程（设计测量方案）和技术（使用工具）为驱动，基于科学（数学原理）和数学（计算建模）知识，完成具有艺术性（方案展示图）的综合性项目。

借鉴“理解为先（UbD）”设计理念，以终为始，将“学生能自主设计并实施一项测高方案”作为预期结果，逆向设计评估任务与教学活动。采用“认知负荷理论”指导，通过搭建脚手架（如提供图形框架、关键步骤提示）、将复杂任务分解、提供部分解决方案样例等方式，有效管理学生学习过程中的内在、外在认知负荷，促进图式构建与自动化。

六、单元课时规划（共6课时）

1.课时1：锐角三角函数的概念探索（正弦、余弦、正切）

2.课时2：特殊角的三角函数值与解直角三角形入门

3.课时3：解直角三角形的典型类型与应用（已知两边、一边一角）

4.课时4：三角函数的简单应用（一）：坡角、坡比与工程问题

5.课时5：三角函数的简单应用（二）：仰角、俯角与方位角

6.课时6：综合与实践：利用三角函数测高（方案设计与问题解决）

七、单元评估设计

采用多元持续的评价方式：

1.形成性评价：

1.2.课堂观察：关注学生参与探究、提问、合作讨论的积极性和思维深度。

2.3.练习反馈：通过课堂练习、课后作业及时诊断学生对基本概念和技能的掌握情况。

3.4.“思维可视化”任务：要求学生绘制某一应用问题（如测量河宽）的思维导图或解题路径图。

5.总结性评价：

1.6.单元测验：考查双基掌握和常规应用能力。

2.7.表现性评价（核心）：“校园测高项目”成果评价。制定量规（Rubric），从“方案的数学原理正确性”、“方案的可操作性”、“测量的准确性与数据分析”、“团队合作与报告展示”等多个维度进行综合评价。

以下为分课时详细教学设计。

课时1教案：锐角三角函数的概念探索

一、课时教学目标

1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦、余弦、正切的概念，知道当锐角固定时，其对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值均为定值。

2.能根据定义正确判断锐角三角函数的自变量和因变量，并能用符号sinA,cosA,tanA表示。

3.初步学会在直角三角形中，根据已知边长求锐角三角函数值，或已知一个三角函数值及一边长求其他边长。

4.在探究活动中发展观察、比较、分析、归纳的思维能力，体会函数思想和数形结合思想。

二、教学重难点

1.重点：正弦、余弦、正切概念的探索与理解。

2.难点：理解锐角三角函数的函数本质，即比值随角度变化而变化，角度固定则比值固定。

三、教学准备

教师：多媒体课件、几何画板动态演示文件、三角板。

学生：直尺、量角器、计算器、学习任务单。

四、教学过程

（一）情境导入，提出问题

1.展示图片：一座需要攀登的山坡、一个倾斜的屋顶、一架梯子靠在墙上。

2.提问：如何量化描述这些“倾斜”的程度？仅用角度可以吗？在生活中，有时我们更关心“上升的高度与前进距离的比”（如坡路），有时关心“高度与斜坡长度的比”（如梯子安全）。在直角三角形中，这些比与锐角的大小有什么关系？

3.引出核心问题：在直角三角形中，当一个锐角的大小确定时，这个角的对边与斜边的比值是否确定？邻边与斜边呢？对边与邻边呢？

（二）合作探究，建构概念

活动一：探究正弦概念

1.动手画图：在任务单上，每人画一个∠A=30°的直角三角形，大小自定。测量∠A的对边BC和斜边AB的长度（精确到毫米），计算BC/AB的值。组内交流各自的结果。

2.数据共享：教师收集几组学生的数据，板书。学生观察发现：尽管三角形大小不同，但BC/AB的值非常接近（约0.5）。

3.动态验证：（教师几何画板演示）构造∠A=30°，拖动点改变直角三角形大小，软件实时显示BC/AB的值始终不变。

4.归纳猜想：在直角三角形中，当一个锐角∠A等于30°时，无论三角形大小如何变化，∠A的对边与斜边的比值是一个固定值。

5.追问推广：对于任意锐角∠A，这个结论还成立吗？将∠A改为40°、50°等，重复上述探究（可借助几何画板快速演示）。结论：对于任意确定的锐角∠A，其所在直角三角形的对边与斜边的比值是一个定值。

6.定义生成：这个只与∠A大小有关的定值，叫做∠A的正弦，记作sinA。即sinA=∠A的对边/斜边。

1.7.强调：sinA是一个完整的符号，表示一个比值，不是sin乘以A。

2.8.辨析：sinA中，自变量是∠A的度数，因变量是比值。它刻画了角度与对边/斜边比值之间的函数关系。

活动二：类比探究余弦与正切

1.迁移方法：引导学生类比正弦的探究过程，自主提出对“邻边与斜边的比值”、“对边与邻边的比值”的猜想。

2.验证定义：利用几何画板，变化∠A的度数和三角形大小，验证两个比值确实只与∠A有关。

3.定义生成：

1.4.∠A的余弦：cosA=∠A的邻边/斜边。

2.5.∠A的正切：tanA=∠A的对边/∠A的邻边。

6.概念统整：正弦、余弦、正切统称为锐角∠A的三角函数。强调“三角”意指源于直角三角形，“函数”意指比值随角度变化而确定。

（三）辨析理解，初步应用

1.概念辨析：

1.2.判断：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=BC/AC？（错，应是BC/AB）

2.3.填空：在Rt△ABC中，∠C=90°，则sinA=(BC/AB)，cosA=(AC/AB)，tanA=(BC/AC)。

3.4.讨论：sinB等于什么？cosB、tanB呢？强调三角函数是针对锐角定义的，必须明确是哪一个角。

5.例题精讲：

1.6.例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，求∠A的正弦、余弦、正切值。

1.2.7.解：先由勾股定理求斜边AB=5。

2.3.8.则sinA=BC/AB=4/5，cosA=AC/AB=3/5，tanA=BC/AC=4/3。

3.4.9.变式：求∠B的三角函数值。体会互余两角三角函数关系（sinA=cosB等）的初步感知。

5.10.例2：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinA=2/5，求BC的长。

1.6.11.解：∵sinA=BC/AB=BC/10=2/5，∴BC=10×(2/5)=4。

2.7.12.追问：你还能求出什么？（AC，cosA，tanA等）引导学生从单一关系式向解直角三角形过渡。

13.课堂练习（任务单）：

1.14.基础题：在直角三角形中，根据图形和已知边长求指定角的三角函数值。

2.15.进阶题：已知一个三角函数值和一边长，求其他边长。

（四）归纳小结，布置作业

1.小结：引导学生从“知识”（定义了三个三角函数）、“方法”（从特殊到一般、类比）、“思想”（函数思想、数形结合）三个层面总结本节课收获。

2.作业：

1.3.必做：教材配套基础练习题，整理三角函数定义。

2.4.选做：探究在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA与cosA有什么关系？(sin²A+cos²A=1)tanA与sinA、cosA有什么关系？(tanA=sinA/cosA)

课时2教案：特殊角的三角函数值与解直角三角形入门

一、课时教学目标

1.经历推导30°、45°、60°角三角函数值的过程，熟记这些特殊值，并能进行相关的计算。

2.理解直角三角形的五个元素（两锐角、三边）之间的关系，明确“解直角三角形”的含义。

3.初步掌握在已知直角三角形的两个元素（至少一个是边）的条件下，选择恰当的边角关系式求解其他元素的基本思路。

4.培养逻辑推理能力和运算能力。

二、教学重难点

1.重点：特殊角的三角函数值；解直角三角形的依据。

2.难点：灵活选择关系式高效解直角三角形。

三、教学过程

（一）复习回顾，引入特殊角

1.复习提问：锐角三角函数的定义是什么？在Rt△ABC中，∠C=90°，写出∠A的sinA,cosA,tanA表达式。

2.提出问题：对于一些特殊角，如我们熟悉的30°、45°、60°，它们的三角函数值能否精确求出？如何求？

（二）合作推导，记忆特殊值

活动一：推导45°角的三角函数值

1.引导：含45°角的直角三角形有什么特征？（等腰直角三角形）

2.建模：设等腰直角三角形的腰长为1，则斜边为√2。

3.计算：根据定义，

sin45°=对边/斜边=1/√2=√2/2，

cos45°=邻边/斜边=1/√2=√2/2，

tan45°=对边/邻边=1/1=1。

活动二：推导30°和60°角的三角函数值

1.引导：含30°角的直角三角形有什么特征？（30°角所对直角边是斜边的一半）

2.建模：设30°角所对直角边为1，则斜边为2，由勾股定理得另一直角边为√3。

3.计算：

sin30°=1/2，cos30°=√3/2，tan30°=1/√3=√3/3。

sin60°=√3/2，cos60°=1/2，tan60°=√3。

4.记忆指导：引导学生观察表格，寻找规律（如正弦值从30°到60°互换，正切值互为倒数等），利用三角板直观想象帮助记忆。

活动三：应用练习与计算器引入

1.口答练习：求值：sin30°+cos60°；tan45°-sin45°；2cos30°；sin60°/cos30°等。

2.引入计算器：对于非特殊角，如何求其三角函数值？演示用计算器求sin53°、cos72.8°等。反过来，已知sinA=0.6428，如何求∠A？演示用计算器反求角度（sin⁻¹,cos⁻¹,tan⁻¹功能）。

（三）梳理关系，定义“解直角三角形”

1.关系梳理：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、a、b、c这五个元素间有哪些确定关系？

1.2.三边关系：a²+b²=c²（勾股定理）。

2.3.锐角关系：∠A+∠B=90°。

3.4.边角关系：sinA=a/c,cosA=b/c,tanA=a/b（及其关于∠B的类似形式）。

4.5.强调：这五个元素中，已知两个（至少有一个是边），其余三个就可以唯一确定。

6.概念定义：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。

（四）典例分析，掌握解法

例1：已知两边解直角三角形

在Rt△ABC中，∠C=90°，a=5，b=12，解这个直角三角形。

1.思路分析：已知两边，优先用勾股定理求第三边c。求角：可以用tanA=a/b求出∠A，再利用互余求∠B；也可以用sinA或cosA求∠A。

2.教师板演，展示规范步骤。

3.策略提炼：已知两边，求角时选择用正切（无需斜边）或正弦/余弦均可。注意最后写出所有结果。

例2：已知一边及一锐角解直角三角形

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，c=10，解这个直角三角形。

1.思路分析：已知一锐角和斜边。求边：利用sinA求a，利用cosA求b。求另一锐角：∠B=90°-∠A。

2.教师板演。

3.策略提炼：已知斜边和一锐角，用正弦、余弦求两直角边；已知一直角边和一锐角，可用正切求另一直角边，用正弦或余弦求斜边。

4.变式：若将条件改为“∠A=30°，a=5”，如何解？

（五）课堂练习，巩固提升

1.基础练习：解直角三角形（给出两组不同已知条件）。

2.综合练习：在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形：

(1)a=6，∠B=30°；(2)c=10，∠A=45°；(3)a=8，b=8√3。

3.纠错辨析：展示学生可能出现的错误（如用错边角关系、计算错误、忘记写单位等）。

（六）小结与作业

1.小结：解直角三角形的依据是什么？一般步骤如何？（一画图、二选式、三计算、四作答）有哪些基本类型？

2.作业：

1.3.必做：背诵特殊角三角函数值；完成解直角三角形的系列练习题。

2.4.选做：查阅资料，了解历史上三角函数表是如何制作出来的。

（限于篇幅，课时3至课时6的详细教学过程将进行要点概述）

课时3教案要点：解直角三角形的典型类型与应用

核心任务：系统归纳解直角三角形的四种基本类型（已知两直角边、已知一直角边和斜边、已知斜边和一锐角、已知一直角边和一锐角），并通过变式练习达到熟练程度。

关键活动：

1.类型归纳：通过一组对比练习，引导学生自主总结不同类型下的首选求解策略，形成决策流程图。

2.复杂图形分解：引入含非直角三角形的问题，如“已知等腰三角形底边和底角，求腰长和高”，训练“作高”构造直角三角形的通法。

3.易错点聚焦：讨论当已知条件为“两边”但未指明是直角边还是斜边时，可能的多解情况（涉及勾股定理逆定理判断），培养分类讨论思维。

4.建模初探：以一个简单的“测量河宽”问题收尾，将解直角三角形的技能置于问题情境中，自然过渡到应用。

课时4教案要点：三角函数的简单应用（一）：坡角、坡比与工程问题

核心任务：理解坡角（α）、坡度（i=h:l）、坡比（i=tanα=h/l）的概念及其关系，并能解决相关的工程实际问题。

关键活动：

1.概念建构：通过水库大坝、盘山公路、屋顶等实物图片，直观感知“坡度”。精确定义：坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度（或坡比），即i=h/l；坡面与水平面的夹角α叫做坡角。关系：i=tanα。

2.模型识别训练：给出各种形式的坡度表述（如i=1:1.5，i=20%，α=26°34′），要求学生互相转化，并能在示意图上正确标注h与l。

3.工程问题解决：

1.4.例题：一水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高10m，斜坡AB的坡度i=1:2，斜坡CD的坡度i′=1:2.5。求斜坡AB的坡角及坝底宽AD。

2.5.引导分析：将梯形分解为矩形和两个直角三角形。在两个直角三角形中，利用坡比等于正切，已知高（对边）求水平宽（邻边）。强调将实际问题数据准确“翻译”到几何图形中。

6.跨学科联系：探讨不同坡度对车辆行驶安全、排水速度、建筑成本的影响，渗透工程思维。

课时5教案要点：三角函数的简单应用（二）：仰角、俯角与方位角

核心任务：理解仰角、俯角、方位角的概念，能准确识别并画出包含这些角的几何图形，解决相关的测量和航海问题。

关键活动：

1.概念澄清与图示：

1.2.仰角与俯角：都是视线与水平线的夹角，视线在水平线上方为仰角，下方为俯角。强调两者是共用的，在同一次测量中，观测不同目标时的仰角和俯角可能互余。

2.3.方位角：从正北方向顺时针旋转到目标方向线的水平夹角。通过罗盘图片和地图练习强化认知（如北偏东30°，南偏西45°）。

4.标准画图训练：这是本课成败关键。教师提供多个文字描述题（例如：“气球P悬浮在A点的北偏西60°方向，仰角为45°的空中”），学生在坐标系中练习画出示意图。强调步骤：确定观测点、画水平基准线、标方向（上北下南）、根据方位角画铅垂面内的方向线、根据仰/俯角确定目标点。

5.典型例题：

1.6.类型一：单点观测单目标。如测量塔高。直接应用解直角三角形。

2.7.类型二：单点观测两目标。如测量不能到达的两点距离。可能需要两个三角形。

3.8.类型三：两点观测同一目标。如航海中的定位问题。通常需在两个三角形中分别表示出公共边（目标高度或水平距离），联立方程求解。

9.思维提升：讨论在解决方位角问题时，如何利用“平行线内错角相等”等性质，将斜三角形中的角度转化到直角三角形中。

课时6教案：综合与实践——利用三角函数测高

一、课时教学目标

1.能综合运用解直角三角形的知识，设计测量底部不可达物体（如高楼、塔、山高）高度的可行方案。

2.经历方案设计、原理推导、模拟操作、数据分析、报告撰写的完整过程，深化数学建模体验。

3.在小组合作中，提升发现问题、分析问题、解决问题的综合能力，培养创新意识和实践精神。

4.体会数学在解决复杂实际问题中的价值，增强学习数学的兴趣和信心。

二、教学重难点

1.重点：设计多种测高方案并论证其数学原理。

2.难点：综合模型的建立与求解（列方程）；方案实施细节的考量（如测量基准、工具精度、误差分析）。

三、教学准备

教师：项目任务书、评价量规、测倾仪（或可用手机APP替代）、卷尺、标杆、多媒体。

学生：计算器、草稿纸、方案设计表。

四、教学过程

（一）项目发布，明确任务

1.情境创设：学校即将举办科技节，需要精确测量旗杆（或校园内某棵古树、教学楼附属结构）的高度，但其底部无法直接靠近测量。现向全校征集测量方案。

2.发布任务：以小组为单位，设计至少两种不同的测量方案，要求：

1.3.写出详细的测量步骤与所需工具。

2.4.画出测量示意图，标出已知量和待求量。

3.5.根据示意图，推导出计算物体高度的数学公式。

4.6.进行模拟测量或实地测量（若条件允许），收集数据，计算高度。

5.7.分析可能产生的误差来源，并提出改进建议。

6.8.形成完整的项目报告并进行展示。

（二）方案研讨，原理推导

1.头脑风暴：小组讨论，回忆或构想可能的测高方法。教师巡视，提供思维支架（如提示：能否利用影子？镜面反射？两次测仰角？）。

2.典型方案聚焦：教师引导全班聚焦几种经典方案进行深度剖析。

1.3.方案A：两次测仰角法（基准点可移动）

1.2.4.示意图：在通向物体的水平道路上，选取两个观测点B、C，测出BC距离。在B、C两点分别测出仰角α、β。设物体底部为A，顶部为P。

2.3.5.推导：设AP=h，AB=x。在Rt△ABP中，tanα=h/x=>x=h/tanα。在Rt△ACP中，tanβ=h/(x+d)=>x+d=h/tanβ。两式联立，消去x，得h=d/(1/tanβ-1/tanα)=d*(tanα*tanβ)/(tanα-tanβ)（需注意α>β）。

3.4.6.关键：需要测量两个仰角和基线距离d。

5.7.方案B：镜面反射法（利用物理光学）

1.6.8.示意图：在地面E点放置一面水平镜，人后退到D点，刚好能从镜中看到物体顶端P。测量眼高CD、ED距离和BE距离（B为镜面反射点，通常认为B是E到物体底部A的垂足）。

2.7.9.原理：根据光的反射定律，入射角等于反射角，可证∠BEP=∠DEC，故Rt△ABP∽Rt△CDE。得AP/AB=CD/DE，即h/l=a/d，所以h=a*