九年级数学下册《平面直角坐标系中的位似变换》教案

九年级数学下册《平面直角坐标系中的位似变换》教案

一、课程理念与设计总纲

（一）核心素养导向的育人目标

本节课以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为根本遵循，立足于发展学生的数学核心素养。教学设计旨在超越单一的技能训练，引导学生在探索“平面直角坐标系中的位似变换”过程中，实现以下素养的融合生长：

1.抽象能力与几何直观：从具体的图形位似现象中，抽象出坐标系下位似变换的代数本质（坐标变化规律），同时利用坐标系这一“数形结合”的桥梁，将抽象的代数关系转化为直观的几何变换，促进两种思维方式的互补与强化。

2.推理能力与模型观念：通过观察、比较、归纳，从特殊到一般地推导出位似变换的坐标表达式，形成严谨的逻辑推理链条。进而，将“以原点为位似中心的位似变换”构建为一个普适的数学模型，理解其作为“图形缩放与反向”统一描述工具的强大功能。

3.应用意识与创新意识：将位似变换模型应用于解决实际绘图、图像处理、地图测绘、计算机图形学中的相关问题，体会数学的现实价值。鼓励学生探索非标准情境下的位似（如位似中心不在原点），激发探究精神和解决问题的创新策略。

（二）课标要求与内容解析

内容定位：本节内容隶属于“图形与几何”领域中的“图形的变化”主题。它是在学生已经学习了图形的平移、轴对称、旋转（统称为全等变换）以及位似图形的定义和基本性质（第1课时）之后，对图形变换学习的进一步深化和代数化。将位似置于平面直角坐标系中进行研究，是用代数方法刻画几何变换的典范，是沟通“形”与“数”的关键节点，也为后续学习函数图像的变换、相似三角形的综合应用以及高中阶段的解析几何思想奠定坚实基础。

知识解构：

1.核心知识：以原点O为位似中心的位似变换（含同侧与异侧）的坐标变化规律。

2.关键技能：能根据相似比k和位似中心的的位置，准确写出位似变换前后对应点的坐标关系；能在坐标系中熟练作出已知图形的位似图形。

3.思想方法：数形结合思想（坐标与图形的对应）、分类讨论思想（同侧位似与异侧位似）、模型思想（位似变换坐标模型）、从特殊到一般的归纳思想。

跨学科视野：

1.信息技术：链接计算机图像处理软件的“缩放”功能（如Photoshop），其核心算法之一即为位似变换。

2.地理：地图的比例尺与位置关系，本质上是将地球曲面局部近似为平面后的位似变换。

3.美术与工程制图：绘制放大或缩小的设计图、工程蓝图，严格遵循位似原理。

4.物理学：光学中的凸透镜成像规律（实像、虚像）是位似变换的生动物理实例（成实像时物与像异侧位似，成虚像时同侧位似）。

（三）学情分析与教学预设

认知基础：

1.学生已掌握平面直角坐标系的相关知识，能根据坐标描点，能写出已知点的坐标。

2.学生已理解位似图形的定义：两个图形相似且对应顶点的连线相交于一点（位似中心）。

3.学生已了解位似比（相似比k）的概念及其与图形大小关系。

认知障碍预判：

1.坐标规律的负号困惑：对异侧位似时，对应点横、纵坐标均需要乘以-k

（k>0）的理解存在困难，容易遗漏负号或混淆其几何意义（关于原点中心对称后再缩放）。

2.位似中心非原点的迁移障碍：教材虽以原点为中心展开，但学生遇到位似中心在任意点的情况时，难以自主构建“平移—以原点为中心位似—反向平移”的转化策略。

3.“数”与“形”的对应脱节：机械记忆坐标公式，但无法快速在坐标系中想象或画出变换后的图形，反之亦然。

教学策略应对：

1.采用“实验探究—归纳验证—模型建构—变式迁移”的教学路径。

2.运用动态几何软件（如GeoGebra）进行直观演示，化解抽象。

3.设计有层次的变式练习，从原点中心到任意点中心，从正向应用到逆向求解，逐步突破难点。

二、学习目标

基于以上分析，设定如下三维学习目标：

1.知识与技能：

1.2.理解并掌握在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的图形位似变换的坐标规律。

2.3.能够熟练运用坐标规律，求作已知图形以原点为位似中心的位似图形（包括放大、缩小、同侧与异侧）。

3.4.能初步解决位似中心不在原点的简单问题，体会转化的数学思想。

5.过程与方法：

1.6.经历“观察特例—提出猜想—软件验证—归纳结论—模型建立”的完整探究过程，发展合情推理与演绎推理能力。

2.7.通过对比同侧位似与异侧位似坐标规律的异同，学习分类讨论的数学方法。

3.8.在解决实际问题的过程中，提升运用数学模型将几何问题代数化的能力。

9.情感、态度与价值观：

1.10.感受数学的严谨与统一之美，体会用代数工具研究几何问题的威力和简洁。

2.11.通过了解位似变换在科技、艺术等领域的广泛应用，激发学习数学的兴趣和求知欲。

3.12.在小组合作探究中，培养乐于交流、敢于质疑、严谨求实的科学态度。

三、教学重难点

1.教学重点：平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换的坐标规律。

2.教学难点：

1.3.位似图形在坐标系中位于异侧时坐标规律的探索与理解。

2.4.灵活运用位似变换的坐标规律解决位似中心不在原点的综合性问题。

四、教学准备

1.教师准备：多媒体课件、GeoGebra动态几何软件、预设的探究学案、分层练习卡片。

2.学生准备：预习教材相关内容、复习位似图形的定义与性质、坐标纸、直尺、导学案。

五、教学过程实施

第一阶段：创设情境，温故孕新(预计用时：8分钟)

【活动一：再现经典，问题驱动】

1.情境导入：课件展示一组图片：(1)显微镜下的细胞结构与示意图；(2)卫星地图与局部放大图；(3)电影《蚁人》主角身体缩小的特效对比图。提问：这些图片之间的变换关系是什么？（位似变换）

2.知识回顾：

1.3.（提问）什么叫做位似图形？位似图形有哪些性质？

2.4.（学生回答后教师精讲）强调两个核心：一是图形相似；二是对应点连线交于一点（位似中心）。性质：对应边平行（或共线），任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比|k|。

5.提出问题，引出课题：

1.6.教师：我们已经能从几何图形上识别和作出位似图形。如果将这些图形放在我们熟悉的平面直角坐标系中，位似变换会不会有一种更简洁、更精准的数学表达方式呢？比如，一个点A(x,y)，经过以原点O为位似中心，相似比为k的位似变换后，它的对应点A’的坐标会是多少？这就是我们今天要探究的核心问题。

【设计意图】从跨学科的现实实例引入，迅速激发学生兴趣，明确学习价值。通过回顾位似的基础知识，为坐标化的研究铺平道路。最终以一个问题直击本课核心，引发认知冲突和探究欲望。

第二阶段：合作探究，构建新知(预计用时：22分钟)

【活动二：特例入手，猜想规律】

1.探究任务一（同侧位似）：

1.2.教师在坐标系中给定△ABC，顶点坐标分别为A(2,1)，B(3,-1)，C(0,-2)。（课件与学案同步呈现）。

2.3.问题1：请画出以原点O为位似中心，相似比k=2的位似图形△A'B'C'，并使新图形与原图形在位似中心同侧。（学生利用坐标纸作图）。

3.4.问题2：测量或计算，并填写表格：

原坐标

对应点坐标

坐标关系（你的发现）

A(2,1)

A'(,)

B(3,-1)

B'(,)

C(0,-2)

C'(,)

4.5.小组讨论：观察表格，你能猜想出同侧位似时，点(x,y)的对应点坐标公式吗？

5.6.学生猜想：A'(4,2)，B'(6,-2)，C'(0,-4)。关系：横纵坐标都乘以2。即(x,y)→(2x,2y)

。

6.7.教师追问：如果相似比是k（k>0），且为同侧位似，公式会是怎样的？猜想：(x,y)→(kx,ky)

。

8.探究任务二（异侧位似）：

1.9.问题3：保持△ABC不变，位似中心仍为原点O，相似比k=2。请画出新图形△A''B''C''，并使新图形与原图形在位似中心异侧。（学生尝试作图）。

2.10.问题4：再次填写表格：

原坐标

对应点坐标

坐标关系（你的发现）

A(2,1)

A''(,)

B(3,-1)

B''(,)

C(0,-2)

C''(,)

3.11.小组讨论：异侧位似时的坐标规律是什么？它与同侧位似有何联系与区别？

4.12.学生发现：A''(-4,-2)，B''(-6,2)，C''(0,4)。关系：横纵坐标都乘以了-2。即(x,y)→(-2x,-2y)

。

5.13.深度思考：引导学生观察，-2

可以看作是k=2

前面加了一个负号。那么，对于一般的k>0，异侧位似的规律是否可以表示为(x,y)→(-kx,-ky)

？

【设计意图】让学生亲自动手画图、测量、计算，获得第一手数据。通过两个对比鲜明的任务，引导学生自然发现“乘以k”和“乘以-k”两种模式，为分类讨论埋下伏笔。这个过程充分体现了从特殊到一般的归纳思维。

【活动三：动态验证，归纳模型】

1.GeoGebra验证：

1.2.教师利用GeoGebra软件，预先构建可动态调整相似比k（滑块控制）和位似类型（同侧/异侧复选框）的模型。

2.3.在软件中随意拖动原图形的顶点，或改变k值，让学生实时观察对应点坐标的动态变化，验证刚才的猜想。

3.4.关键演示：将k设置为0.5（缩小）、3（放大），以及负值（直接引入k<0的概念），观察现象。引导学生发现：当k为负数时，图形自然地位于异侧。这比用文字描述“异侧”更本质。

5.归纳模型，形成结论：

1.6.基于以上探究与验证，师生共同归纳，形成精确的数学模型：

在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，相似比为k（k≠0）的位似变换，其对应点的坐标变化规律为：

若点P(x,y)的对应点为P'(x',y')，则x'=kx,y'=ky。

2.7.意义阐释：

1.3.8.当k>0时，点P与P’位于位似中心同侧，图形放大(|k|>1)或缩小(0<|k|<1)。

2.4.9.当k<0时，点P与P’位于位似中心异侧，图形在反向（可理解为先关于原点中心对称）的同时放大(|k|>1)或缩小(0<|k|<1)。

5.10.教师强调：此规律是数形结合的完美体现。公式是“数”，描述了坐标的代数运算；k的符号是“形”，决定了图形的相对位置。这比分开记忆两种情形更简洁、更本质。

【设计意图】利用信息技术进行直观、动态、精确的验证，将学生的猜想上升为确信的结论，化解了抽象的推理困难。将“同侧/异侧”的分类统一用k的符号来刻画，实现了知识的数学本质化，体现了数学的简洁美和统一美。

第三阶段：典例精析，深化理解(预计用时：15分钟)

【活动四：应用模型，掌握技法】

1.例题1（正向应用）：四边形OABC的顶点坐标分别为O(0,0),A(2,4),B(4,0),C(3,-2)。以原点O为位似中心，相似比为k=-1/2

，作出位似图形。并写出新四边形的顶点坐标。

1.2.学生求解：直接应用模型。O'(0,0),A'(-1,-2),B'(-2,0),C'(-1.5,1)。

2.3.教师引导作图：强调描出对应点后，要按顺序连线。讨论：k为负数，图形在异侧；|k|=1/2<1，图形缩小为原来的一半。

3.4.变式：若k=3

呢？k=-3

呢？让学生口答坐标，强化模型。

5.例题2（逆向识别与求解）：如图，在坐标系中，△A‘B’C‘是△ABC的位似图形，位似中心是原点O。

(1)写出它们的相似比。

(2)如果点A的坐标是(1,2)，写出点A‘的坐标。

(3)如果点B’的坐标是(-6,0)，写出点B的坐标。

1.6.分析：本题需要从图形中观察出是同侧还是异侧位似，从而判断k的正负，并利用坐标关系进行正、逆向计算。

2.7.解法点拨：先由对应点坐标估算k值（如取A和A‘，或从网格数判断），注意符号。逆向求原坐标时，利用x=x'/k,y=y'/k

。

8.例题3（综合应用）：已知△ABC顶点A(3,6),B(1,2),C(5,1)。以原点O为位似中心，作出的位似△A'B'C'，使得△A'B'C'与△ABC的相似比为1:3，且△A'B'C'在第三象限。求△A'B'C'各顶点的坐标。

1.9.思维进阶：本题综合了相似比（k=1/3或k=-1/3？）和图形位置要求（在第三象限）。引导学生分析：第三象限的点横纵坐标均为负。要使A'在第三象限，A(正，正)必须经过异侧位似，即k应为负值。故确定k=-1/3

。

2.10.解答：A'(-1,-2)，B'(-1/3,-2/3)，C'(-5/3,-1/3)。

【设计意图】通过一组有梯度的例题，巩固坐标规律的应用。例题1是直接套用，形成技能；例题2涉及观察与逆向思维；例题3则需要结合几何位置进行推理判断，综合性强。三个例题层层递进，旨在引导学生灵活运用模型，而非机械记忆。

第四阶段：突破难点，拓展升华(预计用时：12分钟)

【活动五：探究位似中心非原点的转化策略】

1.挑战性问题：如果位似中心不是原点O，而是平面内任意一点P(a,b)，相似比为k，那么点M(x,y)的对应点N的坐标该如何表示？

2.教师引导探究：

1.3.平移转化思想：我们已掌握以原点为中心的规律。能否将“以点P(a,b)为中心”的问题，转化为“以原点为中心”的问题？

2.4.分步解析：

1.3.5.第一步（平移坐标系）：将整个坐标系平移，使点P成为新坐标系的原点。在新的坐标系下，点M的坐标变为(x-a,y-b)

。

2.4.6.第二步（原点位似）：在新的坐标系中，以原点（即P点）为中心，按相似比k进行位似变换。对应点坐标为(k(x-a),k(y-b))

。

3.5.7.第三步（平移回原坐标系）：将新坐标系下的这个坐标，平移回原坐标系。即横纵坐标分别加上a和b。

6.8.得到结论：在原坐标系中，点N的坐标为：

N(a+k(x-a),b+k(y-b))

9.几何意义阐释：这个公式可以理解为：向量PN=k*PM

。这为高中学习向量和解析几何埋下伏笔。

10.简单应用：已知点A(2,3)，位似中心为P(1,1)，相似比k=2，求同侧位似对应点A‘的坐标。

1.11.代入公式：A'(1+2*(2-1),1+2*(3-1))=(1+2,1+4)=(3,5)

。

2.12.鼓励学生画图验证。

【设计意图】这是对本节核心知识的自然拓展和难点突破。通过“转化”这一核心数学思想，将未知问题化归为已知模型。虽然此公式不要求全体学生掌握并熟练运用，但通过探究过程，学生能深刻体会到数学知识之间的联系和解决问题的策略，极大提升了思维的高度和广度。

第五阶段：归纳反思，凝练升华(预计用时：5分钟)

【活动六：课堂小结，体系建构】

1.知识梳理：引导学生以思维导图的形式总结本节课核心内容。

平面直角坐标系中的位似变换

├─核心模型：以原点O为位似中心

│├─坐标规律：(x,y)→(kx,ky)(k≠0)

│├─k>0：同侧位似

│└─k<0：异侧位似(|k|为相似比)

├─应用

│├─已知原图与k，求作位似图形

│├─已知位似图形，求k或原坐标

│└─综合判断（结合象限等）

└─思想方法拓展

├─数形结合思想

├─分类讨论思想

├─从特殊到一般

└─转化思想（非原点中心化归为原点中心）

2.反思与提问：

1.3.通过今天的学习，你对“位似”有了哪些新的认识？（从图形认知到坐标量化）

2.4.在探究过程中，哪个环节让你印象最深？你遇到了什么困难，是如何解决的？

3.5.你还能想到位似变换在生活中、在其他学科中的哪些应用？

【设计意图】帮助学生构建系统化的知识网络，将零散的知识点串联成线、编织成网。通过反思性问题，引导学生回顾学习过程，深化对知识本身和研究方法的理解，实现元认知能力的提升。

六、分层作业设计

为满足不同层次学生的发展需求，作业分为“基础巩固”、“能力提升”和“拓展探究”三个层次。

A层（基础巩固，必做）：

1.教材课后习题中关于坐标系内位似作图和坐标计算的基础题。

2.填空：已知点A(4,-2)，以原点为位似中心，

(1)若相似比为2，同侧位似对应点A‘坐标为______；

(2)若相似比为1/2，异侧位似对应点A’‘坐标为______。

3.判断：以原点为位似中心，将点(2,3)变换到点(4,6)的相似比是2。（）理由：__________。

B层（能力提升，选做）：

1.如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为原点O。已知A(1,0),D(-2,0),B(0,2)。求点E和点F的坐标。

2.已知线段AB两端点坐标为A(-2,4),B(4,-2)。以原点O为位似中心，求作线段A‘B‘，使A‘B‘：AB=1