2025-2026学年下学期青海西宁高三数学3月开学考试卷(含解析)

高三数学试卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项:1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上。2.答选择题时,选出每小题答案后,用2 B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={−1,0A.{0,4}B.{2.不等式x+2A.x 12<x≤3.已知向量a,b，且a=2,2A.7B.8C.22+4.已知数列an是正项等比数列,且a1=1A.64B.256C.512D.10245.若1−2x2A.0B.1C.81D.7296.已知曲线上一点Px0,y0的坐标可以表示为asin3θ,acos3A.22B.3C.57.已知F1−2,0,F22,0,点P满足PF1−PF2=2,记点PA.6B.8C.10D.128.已知函数fxx∈R是奇函数，gx是fx的导函数x∈R，且A.f2025=0B.gx二、选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知z1=a+i,z2A.存在a,使得z1=z2B.存在aC.存在a,使得z1⋅z2∈RD.存在10.已知函数fx=3cosωx+π3ω>A.fx的最小正周期为3πB.C.fx的图象关于x=π2对称D.fx11.已知抛物线C:y2=2x,圆M:x+12+y2=A.C的准线被圆M截得的弦长为3B.若OA⋅OB=3,则l不过圆C.若l过C的焦点且与圆M相切,则直线l方程为yD.若l过点P−1+22,22且与圆M三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知随机变量ξ满足ξ∼N1,σ2,Pξ≤0=0.4,13.已知数列an+1−2an是以2为首项,2为公比的等比数列,且a1=2,数列an的前14.在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中,AB=四、解答题:本大题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)已知函数fx(1)求曲线y=fx在点(2)求fx16.(15分)在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,(1)求tanA(2)求a的取值范围.17.(15分)某学校教研处给本校全体教师制定了两种教学方法进行课程教学，为了解两种教学方法的教学效果，教研处人员在学校全体学生中随机抽取84人进行了问卷调查并收集了他们的平时成绩(平时成绩分优和良两个等级).其中42人接受方法一，42人接受方法二.经统计发现,接受方法一的人中有30人平时成绩是优,接受方法二的人中有18人平时成绩是优.(1)以频率估计概率，现随机抽取接受方法一的学生2人，设其中平时成绩为优的人数为X，求X的分布列和数学期望；(2)列出2×2列联表,并依据α(3)分别在接受教学方法一、二的学生中按平时成绩的优良比例进行分层抽样，各随机抽取7人，再从这14人中等可能依次抽取2人，求在第一次抽到的学生平时成绩为良的情况下，第二次抽到的学生接受方法二且平时成绩为良的概率.附:χ2α0.050.010.0050.001x3.8416.6357.87910.82818.(17分)如图,在四棱锥P−ABCD中,已知底面ABCD为直角梯形,AB//DC,AB⊥AD,(1)若E，F分别为棱PD，BC的中点，求证:EF//平面PAB(2)若四棱锥P−ABCD的体积为16，点M在棱PD(不含端点)上运动，当PMPD为何值时，平面CMB与平面PAD所成二面角的余弦值为19.(17分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>0,b>0与抛物线E:y2=4x有公共焦点F，C的离心率为22,过点F且斜率存在的直线l(1)若直线l的斜率为1，求△POQ(2)若△OMN的外接圆与E交于点DD,O在直线(1)证明:△MND(ii)求四边形OMDN的面积的取值范围.参考答案高三数学一、选择题1.DB=x∣x2Bx+22x−1≥1即为x−32x−1C设a=OA,b=OB,Bx,y,则A2,2,a−b=AB=C设数列an的公比为qq>0,所以an=a1qn−1=qn−1,所以a2=q,a3=q2,由C法一:令x=i,则x2=−1原式右边为a0法二:根据二项式定理,得1=C4a所以a0A由题意得x0=asin3θ,y0=acos3θ,因为所以sinθ−cosθ2=所以x0解得a=A由PF1−PF2=2<F1F2设轨迹E的方程为x2a2−y2b2=1a>0,b>0,因为c=2,2a=2,所以b2=c2−aD由f4x+1=f−4x,则fx+1=f−x,又函数fxx∈R是奇函数,则f−x=−fx,f0=0由函数fxx∈R是奇函数,则fx又gx是fx的导函数,则gx=g−由fx+2=fx,则f′x由fx+1=f−x,得x=12为y=fx的对称轴,因此y=fx在x=12左右附近的单调性发生改变,即x=12为y=fx的极值点,故g12=f′12二、选择题9.BC对于A选项:由z1=z2,则a+i=1+2ai,解得a=1且2a=对于B选项:由z1+z2=a+1+i+2ai∈R,得2a+1=0,得对于C选项:由z1⋅z2=a+i1−2ai=a−2a2i+i+2a=3a+对于D选项:由z1+z2=a+1+i−2ai=a+12+1AB因为ω>0,所以当x∈π6因为fx在区间π6,π上单调递减，所以π−π6=5π6所以0<ω≤65,所以ωπ6+π3≥0ωπ+π3≤π，解得0<正确;由A知fx=3cos23fπ2=3cos211.AC由题意得抛物线C:y2=2x的准线方程为x=−12,被圆M设直线l的方程为x=my+n,Ax1,y1,Bx2,y2,联立y2=2x,x=my所以l方程为x=my−1或x=my+3,所以l可能过圆M的圆心对于C,若l过C的焦点12,0,设l的方程为x=my+12,即2x−2my−1=0,则圆心M到直线的距离为d=−2−14+4对于D,因为−1+22+12+222=1,得点P在圆M上,则kMP=22−1+22−−1=1,则直线l的斜率为k=−1,则直线l三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.92因为随机变量ξ满足ξ∼N1,σ2,Pξ≤0=0.4,Pξ≥故x+2y=12x+2y1x+2y=1252011因为an+1−2an是以所以an+12n+1−2an2n+1=12,即得an2n=1所以Sn=2⋅2两个等式作差可得−=2+21−2n−118根据题意建立如图所示的空间直角坐标系,AB=2,AA1由CE=EC1,则E0,2,3则DE=0,2,则DE⋅BP2y+3z−4=0,故P的轨迹为矩形,令x=0,y=0,得z=43,令x=2,y=0,得z=43,即矩形顶点为B,C,D′四、解答题15.解:(1)由题意知f′x=−1x2所以曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为y(2)fx的定义域为−∞,0∪0,+∞令f′x>0,得x<−令f′x<0,得−1<所以fx的单调递增区间为−∞,−1和12,+∞,单调递减区间为−1,易知fx的极大值为f−1=1e16.解:(1)由b+c=5，得b所以3425由余弦定理b2+c2−a得34×因为bc≠0,所以tan(2)由(1)得tanA=3，又因为A为锐角，所以所以B+C=2π3因为△ABC为锐角三角形,所以0<C=2π3由正弦定理得bsin令bsin则b=因为b+c=5sin因为π3<B+π6所以a=5故a∈517.解:(1)依题意得，接受教学方法一且平时成绩是优的学生的概率为3042=所以X∼B则PX=所以X的分布列为X012P44920492549(4分)则EX=(2)由题意知，2×2接受教学方法平时成绩合计良优方法一123042方法二241842合计364884零假设H0:平时成绩与教学方法无关,(7经计算得χ2=所以依据α=0.01的独立性检验,我们推断H即可以认为平时成绩与教学方法有关,此推断犯错误的概率不超过0.01.(10分)(3)抽取的14人中，接受方法一且平时成绩为良的有7×1242=2(人)，接受方法二且平时成绩为良的有记事件A表示“第一次抽到的学生平时成绩为良”,事件B表示“第二次抽到的学生接受方法二且平时成绩为良”,则PA=所以PB∣18.(1)证明:取AD的中点为G，连接EG，GF，因为E，F分别为棱PD，BC的中点，则EG//PA，GF//AB.因为EG⊄平面PAB，FG⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，所以EG//平面PAB因为EG,FG⊂平面EFG,EG∩FG=G,所以平面EFG//平面PAB,又因为EF⊂平面(2)解:取AB的中点为O，连接PO，CO，因为PA=PB，所以PO⊥AB，又因为PO⊂平面PAB,平面PAB⊥平面ABCD,平面所以PO⊥平面ABCD,即PO为四棱锥P−V=13PO×AB又因为AB//CD,AB=2CD=4,又因为AB⊥AD,所以四边形OADC为矩形,所以故以O为坐标原点，OB为x轴正方向，OC为y轴正方向，OP为z轴正方向建立空间直角坐标系,如图,则A−所以PD=又因为M在棱PD上运动,所以存在λ∈0,1,使PM=λPD,所以PM=−2λ,4λ,−4λ,9分又因为P0,0,4,所以M−2λ,取x=2,则y=1,得z=1因为AP=设平面PAD的法向量n=a,b,c,则所以b=0,取a=2,则c=−1设平面CMB与平面PAD所成角为θ,则coscos⟨m,故124λ2−176λ+57=0又因为λ∈0,1,所以λ=12或λ=576219.解(1)由抛物线E:y2=4x的焦点为F1,0,可得c=1,由椭圆C的离心率为22,得ca=22,得a=2若直线l的斜率为1,设直线l:联立x22+y2=1x=y+1，得3y2+2y−1则PQ=13+由点0,0到直线l:x=故△POQ的面积为S=(2)(i)法一:设Mx1因为O,M,D,联立x2+y2+dx+ey=0即yy3+4d+16y+16e=0,所以y1则y3+因为y−由y2的系数对应相等得,y1+y2+y3法二:设Mx1,y1因为O,M,D,N四点共圆,所以当O,D即tan∠MONtan∠MDN=kND−所以MND的重心的纵坐标为0.(11分)(i