2025-2026学年下学期陕西五校高三数学3月开学考试卷(含解析)

高三数学试题一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=x log2A.{−1,0,1}2.若z+2z−1=iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知a=1,b=2,a⊥2aA.3bB.32D.34.已知某圆锥的侧面展开图是半圆,则该圆锥的体积与其外接球的体积之比为()A.9:32B.9:16C.3:16D.27:325.已知sinα+β=1A.13C.126.已知函数fx=xsinx,0<x<πx,A.ππ,C.0,π7.△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足A.A为锐角B.sinB=248.定义在R上的函数fx满足:f−1+x−f−1−x=0,且f1+A.8B.6C.4D.2二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对酌情给分,有错项的得0分.9.一组递增数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数为3,方差为A.y1,yB.y1,yC.x1,x2,xD.x1,x10.在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形,CD=2CC1=2,P为底面ABCD(含边界)上的动点,F为A.BB.直线B1C与A1CC.PF≥12D.四棱锥P−11.一条动直线l1与圆x2+y2=1相切,并与圆x2+y2=25相交于点A.存在直线l1，使得以AB为直径的圆与l2B.PA2+PB2C.AP⋅PB的最大值为D.PA+PB的最小值为三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.一批产品的一等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次,X表示抽到的一等品件数,则X的方差DX13.已知F为双曲线E:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左焦点，A是双曲线E的右顶点，14.已知fx=x+1x+a,对任意a∈R四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.15.(本题满分13分)近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向.某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示:年份x20192020202120222023购买量y(万辆)0.400.701.101.501.80(1)计算y与x的相关系数r(保留三位小数);(2)求y关于x的线性回归方程，并预测该地区2026年新能源汽车购买数量.参考公式:r=参考数值:13≈16.(本题满分15分)如图，直角梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥BC，BC=CD=12AB=2，E为AB的中点,以DE为折痕把△ADE(1)设平面PBC与平面PDE的交线为l，证明:BC//(2)证明:PE⊥平面BCDE(3)求二面角B−PC17.(本题满分15分)已知函数fx(1)求函数fx(2)若函数gx=fx2−18.(本题满分17分)已知数列an中，a1=1(1)证明:ann为等差数列，并求a(2)记bn=−1nan，数列bn的前n项和为(3)数列cn满足:a1c1+a19.(本题满分17分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆Γ:x2a2+y2=1a>1的右顶点为A,点Pm,0、Q0,t分别是x轴负半轴、y轴正半轴上的动点.当(1)求椭圆Γ的方程；(2)若tan∠FQA=−7+43(3)若t=2，过P的直线l与Γ交于M，N两点(两点不重合)，与y轴交于点C，且C的纵坐标大于1,记M,N到直线AQ的距离分别为d1和d2.若存在直线l满足d高三数学试题参考答案一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=x log2A.{−1,0,1}【答案】A.log2x+2<2⇔0<2.若z+2z−1=iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C.有z+2=i⋅z−i,得z=−3.已知a=1，b=2，a⊥2a+b，则A.3bB.32D.3【答案】B.有a⋅2a+b=0,即2+a⋅b=0,得a⋅b=−2.向量a4.已知某圆锥的侧面展开图是半圆,则该圆锥的体积与其外接球的体积之比为()A.9:32B.9:16C.3:16D.27:32【答案】A.设圆锥的底面半径为r,母线长为l,则侧面展开图扇形的圆心角为2πrl,而展开图为半圆,故得2πrl=π,即rl=12.设外接球半径为R,则,得R=23r,则外接球体积V25.已知sinα+β=1A.13C.12【答案】D.r有sinαcosβ+cosαsinβ=13,sin6.已知函数fx=xsinx,0<x<πx,A.ππ,C.0,π【答案】C.令gx=0,该方程的实根就是gx的零点.gx当x≥π时,方程为x=kx,即1=当0<x<π时,方程为xsin若k>ππ，当x≥π时，函数gx无零点；当0<x<π时，若k≤0,函数g若0<k≤ππ,当x≥π时,函数gx有1个零点;当0<x<π时,综上,k的取值范围是0,7.△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足A.A为锐角B.sinB=24【答案】B.由余弦定理,1+因为cosA≥−34,则1+41故得0≥b−c2,则b所以，A为钝角.由cosA=−34<−22=cos3π4，得A>3π4.有B=C=π所以,sinC=24<8.定义在R上的函数fx满足:f−1+x−f−1−x=0,且f1+A.8B.6C.4D.2【答案】A.依题意,fx的图象关于直线x=−1对称,又关于点1,0因为fx是定义在R上的,所以对称中心1,0在fx的图象上,可得f1=0,即得当x∈−1,1时,fx=2x3−x2−1.有f′x=2x3x−1由于fx的图象关于点1,0对称,故当x∈1故当x∈−1,3由于fx的图象关于直线x=−1对称,故当x∈−因为fx是周期为8的周期函数,故当x∈R时,二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对酌情给分,有错项的得0分.9.一组递增数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数为3,方差为A.y1,yB.y1,yC.x1,x2,xD.x1,【答案】ABD.有ymax=2xmax+1,ymin=2xmin+1,所以ymax−ymin因为DY=D2X+1=4DX,而由5×0.8=4，可知x1,x2,x3,x4因为y1,y2,y3,y4,y510.在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形,CD=2CC1=2,P为底面ABCD(含边界)上的动点,F为ABA.BB.直线B1C与A1CC.PF≥12D.四棱锥P−【答案】ACD.如图,连接A1F,可知B1F⊥A1F,又因为B1F⊥A1连接AC和AB1,由AC//A1C1,可知∠ACB1因为AC=22,B1C=AB点P到平面ADD1A1的距离就是点P到直线AD的距离，那么动点P到定点F的距离等于其到定直线AD的距离,由抛物线定义知,动点建立平面直角坐标系如图所示，坐标原点O为AF的中点，则点P所在的抛物线方程为y2=2x.由抛物线性质知,动点P运动到坐标原点O处时,PF的长最短,最短值为x=12,即得取x=32，得直线BC与抛物线交点为32,±3，可知抛物线与线段BC的交点为32,3，当动点P运动到点32,3时，点P距离平面DC11.一条动直线l1与圆x2+y2=1相切，并与圆x2+y2=25相交于点A.存在直线l1，使得以AB为直径的圆与l2B.PA2+PB2C.AP⋅PB的最大值为D.PA+PB的最小值为【答案】BCD.由圆的性质知,直线l1与圆x2+y2=1相切的切点恰是线段AB的中点,记为所以，以AB为直径的圆的圆心为切点T，而点T又在圆x2+y2=1上运动，可知以AB为直径的圆的轨迹是一个区域,该区域是以圆x2+y2=1+262为边界的圆盘.因为圆心到直线l2的距离为102=52>1+26由平行四边形性质知2PA2+PB2=AB2+4PT2=96+4PT2,而PT的最小值为52−因为AP而PA⋅PB=PT2−14AB2=PT2−5即可得AP⋅PB的最大值为−27+可知A,B两点在直线l2的同侧,先固定A,B两点,过点B作直线l2的对称点B′,连接AB′,则当点P运动到线段AB′与直线l2的交点处时,PA+PB如右图所示,设线段BB′与直线l2的交点为Q,连接QT,则QT=12AB′.连接OT,过点O作直线l2的垂线,垂足为M,过点T作直线BB′的垂线,垂足为H,直线TH与OM相交于N,设∠TON=QT=当cosθ=25时，QT2有最小值，最小值为48，即得A所以，PA+PB的最小值为83三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.一批产品的一等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的一等品件数，则X的方差DX【答案】1.96.依题意,X∼B100,0.0213.已知F为双曲线E:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左焦点，A是双曲线E的右顶点，【答案】2.将E的右焦点记为G.依题意,点P在双曲线E的左支上,可得PF=12FA由余弦定理，52a+12c2=14a+c2+4c14.已知fx=x+1x+a,对任意a∈R【答案】23先固定a.令x+1x=t∈2,103,依题意,存在t∈2,103有gtmax=max2+a,103+a,记gtmax关于a的函数ha=max2+a,103从图象中可直观看出ha的最小值是点M的纵坐标,易得M的横坐标为−83,可知纵坐标为23，所以hamin=23，故只需m四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.15.(本题满分13分)近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向.某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示:年份x20192020202120222023购买量y(万辆)0.400.701.101.501.80(1)计算y与x的相关系数r(保留三位小数)；(2)求y关于x的线性回归方程，并预测该地区2026年新能源汽车购买数量.参考公式:r=参考数值:13≈【答案】(1)r=0.998；(2)y=0.36x(1)有x=2021,y=1.10,i=15xi(2)有b=3.610=0.36所以，回归方程为y=令x=2026,则可预测该地区2026年新能源汽车购买数量约为2.9万辆.16.(本题满分15分)如图，直角梯形ABCD中，AB//CD,AB⊥BC,BC=CD=12AB=2,E为AB的中点，以(1)设平面PBC与平面PDE的交线为l，证明:BC//l(2)证明:PE⊥平面BCDE(3)求二面角B−PC【答案】(1)略；(2)略；(3)12(1)因为BE//CD，BE=CD=2，则BCDE因为ED⊂平面PDE,BC⊄平面PDE,则BC//平面因为平面PDE∩平面PBC=l,BC⊂平面(2)有PE=AE=2,EC=22由于BCDE是正方形，则AE⊥ED.在△ADE绕直线DE旋转时，△PDE就是△ADE因为EC∩ED=E,EC,ED⊂平面BCDE(3)以E为坐标原点，直线EB为x轴，直线ED为y轴，直线EP为z轴建立空间直角坐标系,如图示.有B2易知平面PCD的一个法向量n1=0,1,1，平面有cos<n1,n2>=1217.(本题满分15分)已知函数fx(1)求函数fx(2)若函数gx=fx2−【答案】(1)略；(2)4e(1)有f′当x<0时f′x<0;当0<x<2时所以,函数fx的递减区间为−∞,0和2,+∞,递增区间为(2)当x→−∞时fx→+∞,当x→+∞时fx→0且fx>0,又f0=设fx=t,令t2−kt+1=0,若此方程只有一个实根,则fx只有一个取值.由上图知,任何一条与y轴垂直的直线与函数fx所以,关于t的方程t2−kt+1=0必须有两个不同实根,不妨记为t1由函数fx的图像知,只有一种情况:0令gt=t2−kt+1,则gt的两个零点一个在0,4e2内,一个在4e2,+∞综上,实数k的取值范围为4e18.(本题满分17分)已知数列an中,a(1)证明:ann为等差数列，并求a(2)记bn=−1nan，数列bn的前n项和为(3)数列cn满足:a1c1+a【答案】(1)an=n2；(2)(1)等式nan+1=n+1an+nn+1两边同除以nn由上知,ann=n(2)由(1)知，bn当n为偶数时,S=当n为奇数时,Sn综上,Sn(3)当n=1时，a1c1=a可得an所以,cn=3nn∈N∗