2026届河北省百师联盟一模数学试题(含解析)

高三数学一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为U,若B∩∁UA=⌀A.AB.BC.∁UA2.设a,b∈R,i是虚数单位,则“复数z=a+A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件3.已知x,y为正实数，且x+y=1A.22+1B.224.已知圆台上底面直径为2，下底面直径为4，母线长为3，则该圆台的体积为()A.1423πB.1455.一组从小到大排列的数据:1,2,3,4,6,A.10B.11C.12D.146.数列an的通项公式为an=2n−11,SnA.-9B.-7C.-3D.-197.已知函数fx=sinωx+π3+cosωx+π2ω>0,若y=A.1312,74B.78.已知直线l1:a2x+y−3a2−5=0与lA.PQ有最大值62B.PQ有最大值C.PQ有最小值32D.PQ有最小值二、多选题:本题共3小题,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.9.如果平面向量a=2,−A.b=3C.a与b的夹角为30∘D.a在b方向上的投影为10.设函数fx的定义域为R,且满足fx=f2−x,fx=−A.fxB.fC.fx的最小值是D.方程fx=18在区间011.已知F1,F2分别是椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点,O为坐标原点,P为A.OH+HC.△OHF2内切圆半径的最大值为36D.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.若圆x2+y2+6x−8y+2513.已知二面角α−l−β为直二面角,A∈α,B∈β,A∉l,B∉l14.已知函数fx=alnxa>0,若函数gx=fx−2025四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.已知fx=ax2+bx+c(1)当f1=−1，求函数(2)若关于x的不等式2fx−14>16.已知平面向量a=3,4(1)求b在c方向上的投影向量；(2)求m=2a−b17.在三棱柱OAB−O1A1B1中，P，Q为AA1(1)证明:平面OBB1O1⊥(2)证明:PO⊥平面OBB(3)正方形OBB1O1边长为3,OA=2，求直线O18.已知F为抛物线C:x2=2pyp>0的焦点,点A在C-2),M,N是抛物线上不同两点,直线PM和直线PN的斜率分别为(1)求C的方程；(2)存在点Q，当直线MN经过点Q时，3k1+k2−(3)对于(2)中的一个点Q，当直线MN经过点Q时，MN存在最小值，试求出这个最小值.19.已知f(1)a=0时,证明:(2)若对任意的x∈0,π，fx>(3)证明:对任意的正整数n，总有121.A因为B∩∁UA=⌀所以A∪故选:A.2.A因为z=若复数z=a+bi为纯虚数,则a=0,b≠0,所以ab=0;若b=0,则ab=0,但复数z=a+bi不是纯虚数;即综上,“复数z=a+bi故选:A.3.C因为x+y=1由于2y当且仅当3yx=2xyx+y=1,即x故选:C4.A由题意,如图h=32−2故选:A5.A数据1,2,3,4,6,8,x,由10×70%=7,因此70百分位数为第7个与第8得x+解得x=故选:A.6.D令an=2n−11<0所以数列an的前3项为负,从第4所以Sn的最小值为S故选:D.7.Cfx令t=ωx+π6问题转化为直线y=−12与函数y=cost由y=cos于是有2πω+故选:C8.A对于直线l1:a2x+y−3a2−5=0,可变形为a2x对于直线l2:x−a令x−5=0y−3=0,解得x因为a2×1+−a2×1=0AB=5−32则点P的轨迹是以AB为直径的圆的一部分,故点P的轨迹为x已知圆x2+y2=2的圆心O0,0,半径r2=2,则圆心O0PQ的最大值为圆心加上两圆半径,即PQmax由于轨迹不包含点3,3故选:A.9.AB因为a=2,−4,在A中,由b=−3a,可得b=3a在B中,由b=−3a,可得a//b在C中,由b=−3a,可得a与b的夹角为180∘,故在D中,a在b方向上的投影为a⋅bb=2,−故选:AB.10.AB对于选项A,因为函数fx的定义域为R,又fx=f又fx=−fx+2,得到f−x=−f对于选项B,因为fx=−fx+2,所以fx所以f2024=f0=0对于选项C,当x∈(0,1]时,fx所以当x∈[−1,0)时,fx对于选项D,当x∈[−1,0)时,−x∈(0,1],则f−x=2−x2+x,得到fx=−由图知,fx=18在−1,3有4个交点,又fx的周期为所以方程fx=18在区间0,2024故选:AB.11.ACD对于A,OH+HF2=对于B,由三角形中位线得OH=12PF1,因为当点P在第二三象限时,PF1<2对于C,因为OH+当点P在上顶点时,θ最大,所以0<θ≤π3所以0<S△PF设内切圆半径为r,又S△所以△OHF2内切圆半径的最大值为2×34对于D,设△HF1F22R=F1F故选:ACD12.16由x2+y2+方程表示圆,则可得圆心为−3,4,半径为由圆与x轴相切,则可得λ=4,解得故答案为:16.13.π如图,α⊥β,α∩β作AD⊥l,BC⊥l,垂足分别为则AD⊥所以∠BAC为AB与α的所成角,∠ABD为AB与β即∠BAC建立如图空间直角坐标系D−xyz,设则BC=m,AC=A2m,0,0,B0则cosAB,l=AB所以AB,l=π3,即AB与l故答案为:π14.1由题,函数gx的零点即方程fx=2025的根,作出函数yy=2025与y=fx的图象共当x>0时,y=fx=alnx,则alnx1同理,可得x3所以x1⋅x2⋅x3作出函数y=f方程fx=x有三个不同的解,即y=fx当x>1时,y=fx=alnx所以曲线y=alnx过原点的切线斜率k=所以曲线y=alnx要使得y=fx=alnx与y=x的图象有三个不同的交点,则ae>1故答案为:1,15.(1)fx=(1)由fx<0的解集为0,2可知a则f1(2)2fx−14当a=0当a≠0时,由综上,a∈[16.1(2)3π4解:(1)∵a∴3x∴x∴b∵a∴∴y∴c∴b∴b所以b在c方向上的投影向量为0.(2)m=∴设m,n的夹角为则:cosθ∵θ∴即向量m与向量n的夹角为3π417.(1)由四边形OBB1O1是正方形，可知又OA⊥OB,OA∩OO1=O,OA,而OB⊂平面OBB1O1,故平面OB(2)因为OB⊥OO1，BP⊥OO1，OB∩BP=B，OB,BP⊂平面OBP，则OO1⊥由(1)知平面OBB1O1⊥平面OAA1O1，平面OBB1O1个平面OA故PO⊥平面OB(3)以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，OO1的方向为y轴正方向，OP的方向为z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系在Rt△POA中,OA=2,AP则有O0所以O1设平面OAB的一个法向量为n=则有n⋅OB=3x=0n⋅OA记直线O1Q与平面OAB所成的角为故sinθ即直线O1Q与平面OAB所成角的正弦值为18.1(2)2,2或(3)5(1)F0,p2，设Ax1所以x1=3,x122p−p2=−14所以抛物线C的方程为x2(2)设直线MN:y=kx+m②，M联立①②，得x2所以Δ=16k2k则k1k=因为3k1+k2即:2k+则m=2−2k或则MN:y=kx+所以定点Q的坐标为2,2或(3)如MN过4,2点，当k1=k2=2时，3k1+k2−2k1k2=4，但此时M，由(2)，在④中，令m=2−2k得:x1+MN=1令fk则f′k当k<12时，f′k<0，当k>12时,f′k>所以当k=12时,fk有最小值,MN19.(1)构造gx=fxx+1−x可知x∈−x∈0则gxmax=g0=0