江苏省苏州市2025-2026学年高二数学上学期期末模拟练习卷

2025-2026学年高二上学期数学期末练习卷（适用于江苏省苏州市

一.选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

I.（5分）直线/i：1y-2=0,/2：nvc+（/??-2）y-3=0,若/1JL/2,则的值为（）

A.0B.1C.2D.0或1

2.（5分）在等比数列｛〃〃｝中，若且m=l,则“4=（）

A.32B.16C.8D.4

3.（5分）已知直线/：3x・4.v+7=0,圆C：（x-l）2+）2=J（r>0）,若圆C上恰有三个点到直线/的距

离为1,贝"=（）

A.1B.3C.D.4

+155

4.（5分）数列｛〃〃｝中，<71=2,对任意/〃，nGN,am+n=amanf若1+ak+2+-+ak+10=2-2,则k=（）

A.2B.3C.4D.5

5.（5分）已知函数/（x）="Sx+2）在区间（1,2）上单调递减，则实数。的取值范围是（）

A.a<（）B.-iWaVOC.-\<a<（）D.心-I

6.（5分）已知Q、”2分别是双曲线fl的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PPI|・|PP2|=48.则

△FiPb2的面积为（）

A.8B.16C.24D.8

7.（5分）设函数/（x）=|g（x）-a|（aWR）在区间［1,4］上的最大值M（〃）的最小值为4,则符合条

件的且&）有（）

①②；③.

A.①②B.②③C.①②@D.①③

n

8.（5分）已知数列｛〃〃｝满足。i=l,an+\=3an+2（n£N*>,bn.设fWZ,若对于V〃WN*,都有仇恒成

立，贝L的最大值为（）

A.3B.4C.7D.9

二,多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）

（多选）9.（6分）公比为q的等比数列｛〃〃｝的前〃项和为S“，若42+43=12,。］・。3=・6,则（）

A.671—1B.9=2C.Sd=31D.

（多选）10.（6分）已知圆C：J+1）?+（y-1）2=］6,直线/：x・ay+3a-2=0,则以下几个命题正确

的是（）

A.直线P恒过定点（2,3）

B.圆。被)，轴截得的弦长为

C.若圆上恰有三个点到直线,的距离等于1,则。=0

D.直线/被圆C截得的弦长最短时，直线/方程为3.什2)，-12=0

(多选)II.(6分)已知函数，，则()

A.f(x)与g(x)的定义域不同，/(x)与g(x)的值域只有I个公共元素

B.在/(x)与g(x)的公共定义域内，f(x)的单调性与£(x)的单调性完全相反

C./(x)的极小值点恰好是&(x)的极大值点，/(x)的极大值点恰好是g(x)的极小值点

D.函数/(X)既无最小值也无最大值，函数gG)既有最小值也有最大值

三.填空题(共3小题，满分15分，每小题5分)

12.(5分)圆/+)?-4A+4JH-4=0与圆/+)?=4的公共弦长为.

13.(5分)已知函数火x)=siru--奴在区间上单调递减,则实数〃的取值范围为.

14.(5分)定义：在数列｛〃〃｝中，，其中d为常数，则称数列｛〃〃｝为“等比差”数列，已知“等比差”数

列｛〃〃｝中，a\=ai=1,。3=3,则.

四,解答题(共5小题，满分77分)

15.(13分)已知函数/(x)=x*lnx.

(I)求这个函数的导数；

(II)求曲线y=/(x)在点/(I))处的切线方程.

16.(15分)已知正项数列｛〃〃｝的前〃项和为S〃，42=3且,

(1)求｛“〃｝的通项公式；

(2)若,求数列｛加｝的前〃项和

17.（15分）在平面直角坐标系中，圆M是以，两点为直径的圆，且圆N与圆M关于直线），=x对称.

（I）求圆N的标准方程；

（2）设C（0,1）,D（0,4）,过点C作直线/】，交圆N于尸、Q两点,P、。不在y轴上.

（/）过点C作与直线/I垂直的直线12,交圆N于E、F两点，记四边形EPFQ的面积为S,求S的最

大值；

（，）设直线OP,。。相交于点G,试讨论点G是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说

明理由.

18.（17分）设S〃为数列｛〃“｝的前〃项和，已知〃2=1,2Sn=nan.

（1）求｛〃“｝的通项公式；

（2）求数列的前〃项和T„.

19.(17分)已知函数/(x)=x-mlnx(mGR).

(I)讨论/(x)的单调性；

(2)若存在不相等的实数加，处使得/(M)=/(X2)，证明：0V〃?Vxi+X2.

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1.（5分）直线八：x+my-2=0,，2：nvc+（相-2）y-3=0,若八_1_，2,则〃？的值为（）

A.0B.1C.2D.0或1

【解答】解：・・・/I_L/2,

1Xtn+in（?//-2）=0,

..nr-加=。，

in=0或m=1,

故选：D.

2.（5分）在等比数列｛〃〃｝中，若且m=l,则。4=（）

A.32B.16C.8D.4

【解答】解:设等比数列｛如｝的公比为夕，

由8。2,得（〃1才）2=8〃同，

又41=1,得/=8q,即/=§,解得9=2,

所以44=4193=23=8.

故选：C.

3.（5分）己知直线/：3x-4y+7=0,圆C（x-1）2+/=/（r>0）,若圆C上恰有三个点到直线/的距

离为1,贝i」r=（）

A.1B.3C.D.4

【解答】解：圆心。（1,0）,则点。到直线/的距离42,

又因为圆。上恰有三个点到直线的距离为1,

所以圆心到直线/的距离d=r1,即1+1=3,

故选：B.

4.（5分）数列｛〃〃｝中，〃|=2,对任意m,neN+,。〃吐〃=。加加,若ak+1+ak+2+"+ak+iQ=215-25,则k=（）

A.2B.3C.4D.5

【解答】解：由4"1+〃=3〃。”，令〃?=1,则4〃+1=4”41=2〃”，即，

・••数列｛〃〃｝是首项为2,公比为2的等比数列，

贝1J,

A2A+I=25,则、+1=5,解得氏=4,

故选：C.

5.(5分)已知函数/J)=/〃(依+2)在区间(1,2)上单调递减，则实数〃的取值范围是()

A.a<0B.-WVOC.-l<a<0D.g-I

【解答】解：因为/(x)=ln(av+2)在区间(1,2)上单调递减，

所以/(x)=at+2在(1,2)上单调递减且，(x)=ai+2>0在(1,2)上恒成立，

所以，解得・iWaVO.

故选:B.

6.(5分)已知Q、上分别是双曲线/1的左、右焦点，若。是双曲线左支上的点，且|PFI|・|PF2|=48.则

△尸IP尸2的面积为()

A.8B.16C.24D.8

【解答】解：:夕是双曲线左支上的点，・•・『网-|PFi|=2,|FIF2|=IO,

在△PFI乃中，由余弦定理得cosNQP尸20,

.•.ZFIPF2=90°,即

・•・△F\PF1的面积为|PFi|・|PR|48=24,

故选：C.

7.(5分)设函数/(x)=®(x)-a\(«GR)在区间[1,4]上的最大值M(a)的最小值为4,则符合条

件的8(外有()

①/；②；③.

A.①②B.②③C.®®®D.①③

【解答】解：对于①，g(x)=AT,A,6[1>4],

gr(x)=2r,当.rW[l,2)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，

当八W(2,4]时，g'(x)>0,g<x)单调递增，

••・当x=2时，g(x)取得最小值为g(2)=12,当x=4时,函数求得最大值g(4)=20.

：.g(x)曰12,20],则时，M(a)=|20-3=20-〃24,当〃>16时，M(a)=|12-a|=a-

I2>4,

・•・加(。)e[4,+8),此时M(a)的最小值为4,符合题意，故①正确；

对于②，8(x)(AG(1,4])为增函数，

"(x)fe(1,7],

.'.aW4时，M(a)=|7-〃|=7・aW[3,+°°),不符合题意，故②不正确;

对于③，g(x),g'(x)=2.r3,

g〃(X)，

Vxe[l,4],:・g"(x)>0,则g，(A-)在[1,4]上单调递增,则g'(x)2g'(I)=1>0,

：.g(A)在[1,4]上单调递增，则g⑴Wg(x)Wg(4),得OWg(x)W8,

工当aW4时，M(a)=|8-a|=8-a24,当a>4时，M(a)=|0-a|=a>4,

・・・M(。)€[4,+8),即“Q)的最小值为4,符合题意，故③正确.

故选：D.

8.(5分)已知数列(〃〃｝满足m=l,a“+i=3a〃+2”(〃WN*),bn.设正Z,若对于V〃EN*,都有%>r恒成

立，则/的最大值为()

A.3B.4C.7D.9

【解答】解：•・・a〃+i=3a〃+2”，

.1(1)

.数列是以为首相以为公匕的等比数列,

.““=3〃-2〃,

,VneN,

・3Vb〃W5,

对于MEN*,都有仇〉"亘成立,

.，的最大值为3,

故选:A.

多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）

（多选）9.（6分）公比为q的等比数列｛“〃）的前〃项和为5〃，若42+43=12,a\-a3=-6,则（)

A.ai=lB.q=2C.$4=31D.

【解答】解：02+43=12,41-43=-6,

则，4=2,41=2,

故，

即4C错误，BD正确.

故选：BD.

（多选）10.（6分）已知圆C：J+1）2+（厂1）2=16,直线/：X-纱+3〃-2=0,则以下几个命题正确

的是（）

A.直线。恒过定点（2,3）

B.圆。被），轴截得的弦长为

C.若圆上恰有三个点到直线I的距离等于1,则4=0

D.直线/被圆C截得的弦长最短时，直线/方程为3x+2y-12=0

【解答】解：直线/：x-ay+3a-2=0,即x+a（3-y）-2=0,

令,解得,

故直线尸恒过定点。（2,3）,故4正确：

圆C：（x+1）2+（y-1）2=16,

令x=0,解得y=l或1,

故圆C被），轴截得的弦长为1（1）,故B正确；

圆上恰有三个点到直线/的距离等于1,

则圆心到直线/的距离为3,

,解得。=0或a,故C错误；

直线/被圆C截得的弦长最短时，

则直线CQ垂直于直线

故直线/的斜率为，

故直线，的方程为），-3,即3,什2〉，-12=0,故。正确.

故选：ABD.

（多选）11.（6分）已知函数，，则（）

A./（x）与g（x）的定义域不同，/（x）与g（x）的值域只有1个公共元素

B.在/(外与g(x)的公共定义域内，/(x)的单调性与g(x)的单调性完全相反

C./(x)的极小值点恰好是g(x)的极大值点，/(x)的极大值点恰好是g(x)的极小值点

D.函数/(工)既无最小值也无最大值，函数g(A-)既有最小值也有最大值

【解答】解：/(X)定义域为NiWO},g(x)定义域为依Z},故定义域不同，

由，，且/,sin2x>0,

故在相同的区间内/(%)与g'(x)符号相反，即对应JO、g(A)单调性相反，B正确；

由上，/(幻、g(x)的极值点恰好相反，/(x)的极大值点为g(x)极小值点，

/<x)的极小值点为g(x)极大值点，C正确；

由，，均为偶函数，

只需研究在xW(0»+8)上/(%)、g(x)的性质：

由y=x-sin.r且()VxV1,则y'=I-co*20,故y递增，则y>yk=o=O,故x>sin.r>0,

而在(0,+8)上连续，且函数值在(-1,1)范围内波动，即函数值为正、负的区间交替出现,

结合知：/(%)取0时(x)趋向于无穷大(含正负无穷)，无最值，。错误；

f(x)极小值f(xo)G(-1,0),则为g(x)极大值，

f(x)极大值/(xi)E(0,I),则为g(x)极小值，

所以/(幻、g(x)值域不可能存在公共点，A错误.

故选：BC.

三.填空题(共3小题，满分15分，每小题5分)

12.(5分)圆/+)?-4x+4y+4=0与圆x2+>?2=4的公共弦长为.

【解答】解：法1：由题意可知两圆/+)?-4_r+4.v+4=0与圆/+)，=4均过点(2,0),(0,-2),

弦长.

法2：两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程A-y-2=0,

圆/+y=4的圆心(0,0)到直线x-y-2=0的距离，

故公共弦长为.

故答案为:.

13.(5分)已知函数/(4)=sinx-办在区间上单调递减，则实数。的取值范围为一.

【解答】解：因为函数/(e=sinx-〃x在区间上单调递减，

所以在区间上/'(x)=cosA-aWO,

即42cosA•在区间上恒成立，

因为，所以，

所以.

故答案为：.

14.（5分）定义：在数列伍“｝中，，其中d为常数，则称数列｛，“｝为“等比差”数列，已知“等比差”数

列｛〃〃｝中，0=42=1,。3=3,则399.

【解答】解：已知“等比差”数列｛。〃｝中，。1=。2=1，43=3,

所以，则，

则数列是首项为，公差为2的等差数列，

所以，所以，则

（2/7+1）（2/7-1）=4/72-1（〃WN”），

所以4X1（）2・1=399.

故答案为：399.

四.解答题（共5小题，满分77分）

15.（13分）已知函数/（X）=x9lnx.

（I）求这个函数的导数；

（H）求曲线y=/（x）在点/（I））处的切线方程.

【解答】接：（I）因为/（x）=x・lnx,

所以/（x）=//tr+l；

（n）由（I）可知/（।）=0,/（I）=1,

所以所求切线方程为y=x-1,即为K-），-l=0.

16.（15分）已知正项数列｛〃“｝的前〃项和为S〃，42=3且,

（I）求｛m｝的通项公式；

（2）若,求数列｛氏｝的前〃项和7；?.

【解答】解：（1）由“2=3且，

可得2,即2,

解得。1=1，

即有1,

可得数列｛｝是首项和公差均为1的等差数列，

则〃，即Sn=n~t

22

当时，cin=Sn-Sn-i=n-Cn-1）=2n-1»对n=1也成立，

则｛如｝的通项公式为4〃=2〃-I；

(2)11(),

则数列｛加｝的前〃项和。=〃（1...）=71（1）=〃.

17.（15分）在平面直角坐标系中，圆M是以，两点为直径的圆，且圆N与圆M关于直线），=x对称.

（1）求圆N的标准方程；

（2）设C（0,1）,D（0,4）,过点C作直线/I,交圆N于尸、Q两点,P、。不在y轴.匕

（/）过点C作与直线人垂直的直线/2,交圆N于£、厂两点，记四边形£PP。的面积为S,求S的最

大值；

（"）设宜线OP,。。相交于点G,试讨论点G是否在定直线上，若是，求出该直线方程：若不是，说

明理由.

【解答】解:（1）圆M是以，两点为直径的圆，

可得圆心M的坐标为（,）,即（2,0）,半径为2,

则圆M的方程为：（x-2）2+Y2=4,

因为圆N与圆M关于直线y=x对称，

可得MM关于直线y=x对称，

所以圆N的圆心N（0,2）,半径为2,

所以圆N的标准方程为：/+（y-2）2=4；

（2）依题意可知，直线外的斜率存在，

直线人过点C，可设直线人的方程为丁=辰+1,即阮・尹1=0,

由点到直线的距离公式，可得圆心N（0,2）到直线/I的距离，

所以|PQ=22；

（/）若k=0,则直线/2斜率不存在，则,阳=4,

则，

若20,则直线/2的方程为,即x+6・）=0,

则圆心N（0,2）到直线上的距离，

所以，

则S|M・|PQ=22

9

当且仅当即2=±1时取等号，

综上所述，因为，所以S的最大值为7；

（"）设尸（xi,.yi）,Q（%2,心），由直线），=仙+1与圆的方程『+（厂2）2=4联立，

消去），得（2+1）』-2丘-3=0,△=4&2+12（UH）＞。恒成立，

则，，直线OP的方程为，

直线。。的方程为，

联立，解得，

因为，，所以，

所以，

则

2,

所以G（,-2）,

所以点G在定直线y=-2上.

18.（17分）设S〃为数列｛〃〃｝的前〃项和,已知。2=1,2sL.

（1）求｛如｝的通项公式:

（2）求数列的前〃项和7k