江苏苏州市2025-2026学年高二年级上册期中考试数学试题（含解析）

江苏省苏州市2025-2026学年高二上学期期中阳光调研

数学试卷

一、单选题

1.在等差数列｛q｝中，若%+%=6,则4的值为（）

A.1B.2C.3D.4

2.直线/过点A（1,O）,8（0,6），贝I”的倾斜角为（）

K'兀八冗

A.—B.-C.—D.|兀

363

3.已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290,所有偶数项的和为261.则此数列的项数

为（）

A.10B.19C.21D.29

4.直线/与直线小》-3丁=。及直线/2：工+），-4=。相交于同一点，且（1,1）为/的一个方向向量，则/在了轴上

的载距为（）

A.-2B.-IC.1D.2

5.已知数列｛q｝满足4=2,%“="’,则生皿的值为（）

A.-2B.-]C.jD.2

6.已知点A（-1,9）,8（5,1）,点C在x轴上，V/WC是直角三角形，这样的三角形的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

7.已知等比数列｛4｝的首项为64,公比为记。为数列｛《,｝的前〃项积，则当时正整数〃的最大值

为（）

A.12B.13C.14D.15

8.已知点P是圆O：f+），2=2上的动点，点4（1,0）,则NORA的最大值是（）

兀c冗Cnc兀

A.-B.-C.-D.一

6432

二、多选题

9.正实数。，b,。不全相等（）

A.若a,b,。是等差数列，则1,1也是等差数列

abc

B.若“，b,。是等比数列，则,，y,'也是等比数列

«bc

C.若“，b,c是等差数列，则4b，&也是等差数列

D.若b,c是等比数列，则瓜,V?也是等比数列

10.已知直线/:(2〃7+1)工+(〃2+1)丁-1=0,圆。：％2+)尸=8()

A.对任意实数〃?，直线/恒过定点(-1,2)

B.对任意实数机，直线/与圆。相交，月./被圆。截得弦的长度最小值是4

C.存在实数〃?，使得直线/分圆。所得弧长之比为1:3

D.存在实数小，使得圆上有3个点到直线/的距离为1

H.已知数列｛%｝满足4=%=1，々肝2=«”+i।,其前〃项和为S“，则()

A.4=8B.5“=%,2-1

C.4%+/43+D.a；+a；++a；,=anan+i

三、填空题

12.过点尸(右,2)的直线/与圆+)3=4相交于A,4两点，且|AB|=2.请写出满足要求的一条直线/的

方程：.

13.已知数列｛qj满足4=1,61+%=4,"则%的值为.

14.如图，在一个大圆中放入两个半径之比为1：2的小圆，使得两小圆外切，且它们均内切于大圆，且三

个切点共线，记为一次操作.之后的每次操作，都在前一次放入的较大的圆中进行上述操作，现有一个半径

为1的大圆，则4次操作后图中最小的圆的半径为，〃次操作后图中所有圆的面积总和为.

第1次操作前第2次操作后第3次操作后

四、解答题

15.已知VABC的三个顶点分别是A(5,l),8(7,-3),0(2,-8).

⑴求48边上的中线所在直线的方程；

⑵求一/WC的外接圆的方程.

16.已知圆G：(x-&)+y2=1»圆：(戈一2)2+)3=3.

⑴判断并证明圆C，圆G的位置关系；

⑵若两圆。।与。2相交于4,8两点，满足。①，。/,则称圆01与圆。2正交.现有动圆M与圆C，圆G均

正交，自N(3,0)引动圆M的切线.求证：切线长是定值.

17.记数列｛4｝的前〃项和为S”，满足S.=2%-2.记数列也｝的前〃项和为(，满足a=1,4=2,

T」(1+a)

“2

⑴求数列｛〃”｝,低｝的通项公式；

⑵求数列｛。也｝的前〃项和

18.己知数列｛凡｝的第〃项是由八个1构成的〃位数，如：4=1，%=□，%=111，…数列也｝的第〃项是

由I或2构成的所有〃位数的和，如：々=1+2=3,^=11+12+21+22=66,

=111+112+121+122+211+212+221+222=1332,...

⑴求数列M的通项公式及其前。项和S.；

(2)试求出并直接写出数列｛〃｝的一个通项公式(无需说明理由)；

⑶求满足不等式4>10。《的正整数〃的最小值.(参考数据：怆2,0.30,Ig3«0.48)

19.已知圆。：％2+)，=1,点〃是圆。上一动点，点A是平面直角坐标系中一点，动点。满足AQ=4AP.

(I)若4=2,点A的坐标为(11)，求动点Q的轨迹方程;

(2)若4=不，点4为圆E:(x+4)2+(y+4『=9上的动点.试问：是否存在定点丁恒在动点。的轨迹上？若存

在，求出定点7的坐标；若不存在，请说明理由；

⑶若儿=〃，〃eN”,记S“为动点。在％=儿时轨迹的面枳，求满足春+9++奈々对任意〃eN’恒成

立的最小正整数

参考答案

1.c

【详解】在等差数列中，6+%=2&=6=4=3.

故选：C.

2.D

【详解】因为直线/过点人（L。），网所以直线/的斜率仆存微--6,

设直线/的倾斜角。，则ian6=—、自，又0«。＜兀，所以，二年，

所以直线/的倾斜角为1兀.

故选：D.

3.B

【详解】设项数为2〃-1,

则％=S奇-S假=29,

s…S奇+S偶=551=（2〃-1）%-=需=19.

二•此数列共有19项.

故迄B

4.A

x—3y=0[x=3/、

【详解】联立方程,八二直线/过点3,1,

x+y-4=0[y=l

又。，1）为直线的一个方向向最，贝]直线斜率为1,

直线/：＞=l-2,当x=0,y=-2,即/在V轴上的截距为—2.

故选：A

5.B

【详解】因为数列｛%｝满足q=2,—=1一十，

可得〃2=1-g=6=1—2=-1,4=1+1=2,...»

可得数列｛q｝是周期为3的周期数列，所以『25=4=T.

故选:B.

6.C

【详解】设。(芭0).显然直线AB,BC,AC斜率都存在.

若A为直角，则3B•砥c=T,所以点弓'±7=7,解得x=-13；

1-90-1,11

若3为直角，则阳48c=-1,所以三百乂0=-1,解得X=T：

若C为直角，则心4“：=一1，所以三*二三=一1，解得x=2.

x-5x+\

故有三个满足要求的直角三角形.

故选：C

方法二：若A为直角，则A8AC=(6,—8)U+-)4*6=,解得戈=一13；

若8为直角，则胡4C=(—6,8)工4一6-厚一S+=，解得

若。为直角，则C4C3=(T—x,9〃-x4)=^-x+2=(.O-『=,解得x=2.

故有三个满足要求的直角三角形.

故选：C

方法三：当A3为直角顶点时，显然有两个这样的直角三角形；

若C为直角顶点，・他中点。(2,5),AB=7(-1-5)2+(9-1)2=1(),则CO=；/W=5,而点D到'距离为

5,•••此时有唯一点C(2,0),符合要求.

故有三个满足要求的直角三角形.

故选：C

7.A

(IY_,1Y_7i

【详解】由题意q=641万=-J、：.％=?、a7=l，4=5

工|=或＞1,几=(%・%)'=2,＞1,汇3=碍=1,

二当，＞1时正整数〃的最大值为12.

故选A.

8.B

【详解】法一：如图，设过。，P，A三点的圆的半径为R,

所以NOR4<NQ4P,则/O%是锐角，可得/<=、./八…

2sinZ.OPA

故NOPA取最大，sin/O州最大，

贝1]。?=2/?时，式取得最小值也，此时sinNO0/l=立，

22

而/OPA是锐角，此时NOPA=:，

4

法二：如图，结合圆的性质设AP=X£[a-1,&+1],

2+x2-1_x2+1

则由余弦定理得cos/。州=

2x>/2XX"2y/2x

由基本不等式得菠=赤+忐之2^壶•忐=孝，

X|

当且仅当£7T砺’即皿时取等'

故NOPAe[°，：]，则^OPA的最大值是。；

OAOP

法三：设NQA尸=〃«0,兀],由正弦定理得

sinZOPAsin。

即』=磊,则"。*赞邛,

因为OA<OP,所以NOPAvNOl。,

故/。州为锐缸得到N。州的最大值为“

故选:B.

9.BD

【详解】对于A,取”也…则卜,冷,鸿,

所以12二不成等差数列，故A错误;

,所以，x，=-L=1=pL1],

对干B,若。，b,c是等比数列，则从=,(

acacb~\b)

11

所

以--

A

〃

对于C,取。=L-=2,c=3,则6=1,扬=&,五=6,

又无-1工6-夜，故&,匹,4不是等差数列，故C错误；

对干D,若a,b,C是等比数列，则从二讹，

又泥*«=&=后=H»,所以八,耳，人是等比数列，故D正确.

故选：BD.

10.ACD

【详解】直线/：(2/〃+1)工+(〃7+1”-1=0即〃?(2工+)，)+工+｝，-1=0,

令12f=°x=-\

解得c

x+y-\=0[y=2

所以直线/过定点(T2),故A正确；

(-1)2+22<8,故定点(-1,2)在圆。内，「•直线/与圆。相交，

设。(-1,2),由圆的几何性质，当直线/与OC垂直时，弦长最小，

。。=石，则最小弦长为2,8-(可=26，故B错误

对于C,若直线/分圆。所得弧长之比为1:3,则劣弧所对圆心角为

此时弦长为，(2及『+(2&了=4,而26<4<4&,故这样的直线是存在的,

•・・存在实数机满足条件，故C正确

对干D,圆。半径为2立，若圆上有3个点到直线，的距离为1,

则圆心到直线/距离为20-1，圆心。到直线/的距离d<OC,

而2播一1〈。。=石，.•・存在实数〃?满足条件，故D正确

故选：ACD.

11.ABD

【详解】0）=«2=1,%=2,4=3,%=5,&=8,故A正确；

对于B,由an+2=%+an=>an=a^2-an+[,/.Sn=%+%+%++%

=（%一生）+（。4-%）+一+（q+2-4+J=a“+2-4=4,+2-l,故B正确

对于C,当〃=2时，4%+%03=3,而4=4,，4/2+。2%工片，故C错误.

因为。向=4+2-4，=为“4+2-44川，

即4=%%一%%'a；=4%，…，a：=a”a”+i-勺-4

累加得G+。；++—％出=%。用一〃：

=>%2+片++4；=4闩向，故D正确.

故选：ABD.

12.x-4Gy+7G=0或犬=石.（写出其中一个即可）

【详解】由题意知过点P（6,2）的直线/与圆O:Y+），2=4相交于A,B两点,

当直线/的斜率不存在时，直线方程为x=G，代入/+），2=4中，

可得尸土1,即4,4坐标为（61）,（G-1）,此时|蝴=2,符合题意：

当直线/的斜率存在时，设方程为了一2=*1一6），即依一），一瓜+2=0,

设圆心。到直线/的距离为d,则他」一中+斗,

VPTT

由|阴=2,圆的半径「=2可得2=2户了，即2=2>/?^产，解得d=G，

故卜’+2],解得左=2，

VPT1Z3

故直线/的方程为'-6>：^^+2=（）,即工一45/5），+7>^=0,

故答案为：x-46,，+76=0或K=G.（写出其中一个即可）

13.29

【详解】由a“+i+《,=4〃,可得*2+4+1=4〃+4,两式相减4+2-4=4,

.・・{⑸^}是首项为1,公差为4的等差数列,

「％==%-+(8-l)^=1+?8=?9.

故答案为：29.

8712-12

14.

81(3

。

【详解】〃次操作后，小圆的半径依11次?为1?林9•《1•彳产,

大圆的半径依次为;，我，我q,4•（沪，

33333333

12

所以小圆半径是首项为公比为;等比数列，

大圆半径是首项为2:，公比为9:等比数列，

1<2\38

4次操作后图中最小的圆的半径为二

3⑴81

〃次操作后，小圆面积和为:

n-lx2(/r-1|

1(2n2(227T

7C2

553(393<33J9

大圆面积和为:

_4

14

221机£<94九2\

7T+••+=n-----­=—

扑<33>5TJ

*47r2Y"、

所以大圆与小圆面积和为11-K1

f⑶7

则所有圆的面积总和为兀+7T=712--

3）

Q

故答案为：—2-

O1

15.(l)7x-4y-46=0

(2)lx-2)2+(.v+3)2=25

_1IQ7

【详解】(1)线段A8中点为。(6-1),则A8边中线的斜率为A=又二；=；,

所以/W边上的中线所在直线方程为)，+8=#7.1-2)化简得7x-”-46=0,

(2)设VA4C外接圆一般方程为/+〉，2+八工+砌+产=o,代入三点坐标得，

52+l2+5D+E+F=0⑺=-4

<7?+(-31+7。一3七+/=0解得，£=6,

2:+(-8)2+2D-8E+F=0〔产=一12

即NABC的外、接圆方程为A2+y2-4x+6y-12=0,

BP(X-2)2+(.V+3)2=25.

16.(1)两圆内含，证明见解析

(2)证明见解析

【详解】(1)两圆内含.

证明：因为圆C1圆心(女,0),半径乙=1,圆Ca圆心(2,0),半径弓=6，

圆心距GC?=2-&<6—1,所以两圆内含.

(2)证明：设动圆M圆心M(%,为)，半径为R，动圆M与圆G交于A,B两点,由题意有C】A_LMA,

所以MT+GT=MC：,即R2+]=MC：,

动限1M与圆G交于C,。两点，同理可得必/)2+。2>="仁，即2+3=MC；,故MC；-MC：=2,

则有(%-2)2+)，；-10-夜『-)，：=2整理得％=。，即圆心"(0,%)，所以半径欠=病了1,

自N(3.0)引动圆M的切线,切线长/=JMM—2=j32+£—/=际=2收.所以切线长是定值20.

17.(1)«„=2%bn=n

(2)6=(〃T>2叫2

【详解】(1)an=SH-5n.!=2an-1an_x=>an=2an_｝(/i>2),当八=1时，q=2

二数列｛qj是首项为2,公比为2的等比数列，，q二2"

由小畔得华_(1)%叫"22).

整理得(〃-2应+1=5-1)%(〃22)①，二.("T应在+1=也屹

②•①得+(〃-1)%=2(〃-1)”(/?>2),即%+%=2bn(〃>2)

即数列出｝是等差数列，:4=1,b2-2f=:.bn=bl+(n-l)d=n

(2)。也

=1-2+2-22+3-23++n-2B,

2R“=l-22+2-23+3-24++〃•2"、

两式相减&=_(2+22+23+..・+2")+小2"+|=2-2"+1+小2向=(〃-1)・2.+2,

即数列｛。也｝的前〃项和4=(〃T>2同+2.

小10"-110^'-9/2-10

18.(1)。“=—^—，Sc“二-----------

20°一2n

(2)26664,b„

6

⑶7

10向一10"

【详解】3)依题意4+「%=10'=

~9~

10n+,10“口10।I

所以6%—=q一，又4F

9199―一履

所以数列〃“一可10为常数列，.•.与-1£0-”=-21

10"-1

.•・%=『，

10'—1IO?—]10"-11/|1s，.1l1

S=--------+----------+…+---------=-(10jn-1+10--1++101V-1

"9999、

=^(10'+102++10")-/

110'(l-10,r)1^10^-9/1-10

"9XPio9n31

(2)依题意2是由2"个〃位数相加，其个位上的数字和为(1+2)X2"T,

十位上的数字和为(1+2)X2"T,b,第〃位上的数字和为(1+2*2小，

,22

又4=1+2=3,Z?2=(1+2)X2'X10+2X3=66,=(1+2)X2xlO+2x66=1332,

所以a=(1+2)x8xIO,+组=24000+2664=26664,

々m=(1+2)x2"x10"+2b„=纹,+3x20"=»“+，x20""-gx20",

所以%20"」=2伍一!x20"),又4一底20:一1

6\bJ66

所以是以为首项，2为公比的等比数列，

6J6

所以。一1X20"=,—：X