江苏无锡2025-2026学年高一年级上册期末模拟测试数学试题+答案

江苏省无锡市2025-2026学年高一上学期期末模拟测试数学

试题

考试时间：120分钟满分：150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若a>b,则下列各式一定成立的是（）

A.a2>b2B.ac2>be2C.

11

滔亍

Y4-1

2.不等式—KO的解集为（）

x-\

A.（-1,1]B.（-1,1）C.[_1J）D.

3.已知4>0,8>0,则“他4〉炫8”是气泊4〉5诂8”的（）

A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件C.充要条件D.既不充

分也不必要条件

4.休育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引休向上运动，处于如图

所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为380N,则该学生的

体重（单位kg）约为（）惨考数据：取重力加速度大小为lOm",百之1.732）

C.64D.62

5.若角a的终边经过点?（2〃,一4）（。工0）,则sin2a-sinacosa-2cos2a=（）

459

A.-B.C.——D.-1

545

6.已知1<X<3,若Q=（k）g3X）2,6=log3x2,c=[0g3（]og3x）,则（）

A.c<b<aB.c<a<b

C.b<c<aD.a<c<b

7.如图，摩天轮的半径为60m,点。距地面的距离为70m,摩天轮按逆时针方向匀速转动,

每18min转一圈，若摩天轮上点尸的起始位置在最高点处，则在摩天轮转动的过程中，（）

A.转动9min后点尸距离地面8m

B.第16min和第38min点P距离地面的高度相同.

C.转速减半时转动一圈所需的时间变为原来的g

D.转动一圈内，点P距离地面的高度不低于100m的时长为5.5min

8.若函数/（x）+3e、为奇函数，/（x）-e-'为偶函数，下列关于函数/'&）的最值说法正确的

是（）

A.函数无最值B.只有最大值为-2亚

C.只有最小值为—2&D.最小值—28，最大道为2血

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0

分.

/]

—x<2

9.设函数/(x)=(2广，若/(工)=1,则%的取值可能是（）

log2(x-l),x>2

A.0B.3C.-1D.2

10.已知实数db满足。>0/>0且。+2b=l,则下列说法正确的有（）

A.若a>b,则对任意实数。，2>b2B.若a>力，则>

acca+1a

C.—H:的最小值是3+2J5D./+4〃的最小值是!

ab

2

11.已知定义域为卜1"4攵+2,我Z}的函数/⑴满足/(x+l)=与弃，/(2x-2)为

1-./W

奇函数，则下列说法正确的有()

A./(x)关于(—2,0)对称B./(x)的周期为2

C./(X)为奇函数D,若/⑴=1,贝iJ/(2023)=—1

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

TTTT

12.已知函数［(x)=sin(x+°)(9>0),若/--=f-，则。的一个取值为

I6J

13.如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCZ)截去同心扇形045所得部分，已知/Q=lm，

则此扇环形数雕的面积为m2

14.在平面直角坐标系xQy中，点P是单位圆上的动点，过点尸作1轴的垂线，与射线

/\

y=交于点。，与x轴交于点".记/MOP=9,且，则4。产。

k221

面积的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.

15.已知集合4={x——6不+540),B=^x\a-2<x<a+\^,

(1)若Q=1,求力cB,4U8；

(2)若“xw/T是“xwB”的必要条件，求实数Q的取值范围.

16.在平面直角坐标系xQy中，角。的始边为x轴的非负半轴，终边在第二象限与单位圆交

3

于点P,点P的横坐标为一《.

ecosO+3sin。

(1)求------------的值.

3sin8-cos。

3

(2)若将射线。尸绕点。逆时针旋转三，得到角求siYa—sinacosa—cos2a的值.

2

17.已知函数/(x)=sin(Gx+0)日的部分图象如图所示,

(1)求函数/(X)的解析式及单调递增区间；

I(2兀、(5兀、

(2)若/(几)=彳，求cos~2%+不--cos--2x的值.

3\3JI607

18.已知定义在R上函数=的图象关于坐标原点对称.

(1)求实数m的值；

(2)判定/(X)的单调性并证明；

(3)若实数。满足求。的取值范围.

xx

19.著名的“悬链线拱桥问题”与数学中的双曲函数相关.函数/(%)=e---eJ-叫做双曲正弦

X-X

函数，函数g(x)=叫做双曲余弦函数，其中ee2.71828…是自然对数的底数.

(1)下列两个命题中至少有一个为真命题，并证明其中的一个真命题：

①[g(x)F+[/(x)]2=l;®g(2x)=[g(x)]2+[/«;

jr

(2)证明：函数/?(工)=1111+5皿一%在(0,+00)上有且仅有一个零点工0，且

6

/.-3

个中。卜"

4

江苏省无锡市2025-2026学年高一上学期期末模拟测试数学

试题

考试时间：120分钟满分：150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若a>b,则下列各式一定成立的是()

A.a2>b2B.ac2>be2C./>/D.

11

kF

【答案】C

【解析】

【分析】取。=。=0>力=-1推翻人13口，作差判断C即可.

2

【详解】对于ABD»取c=a=0>b=—1,则/〈b?、ac-be?、—T无意义，故ABD

a~

错误；

(b\

对于C,若a>b,贝ija3-b3=(a-b)^a2+ab+b2)=(a-b)Q+一

I2j

由于。力不同时为0,所以/>〃，故C正确.

故选：C.

x+]

2.不等式一的解集为()

A.㈠5B.(-1,1)C.[-1,1)D,[-1,1]

【答案】C

【解析】

【分析】分式不等式可以转化为整式不等式，注意分母不为零.

…5.E、lX+laf(x+l)(x-l)<0f-1<X<1

【详解】因为——<0等价于八),解得：《，

X-1[工一1A0[x^\

即：-1<X<1,所以不等式「(0的解集为[—1,1).

九1

故选：C

1

3.已知4>0,8>0,则“Ig4>lg5”是“5出4>$出6”的()

A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件C.充要条件D.既不充

分也不必要条件

【答案】D

【解析】

【分析】利用对数函数单调性以及三角函数周期性对4〃取特殊值，可判断得出结论.

5717T

【详解】根据对数函数单调性由lgZ〉lg8可知，不妨取力二",8=；,

63

此时sin/=」,sinB='3，不满足sin力〉sin8,即充分性不成立；

22

TT5兀

若sin4〉sin8,不妨取4=一,8=一,

36

Jr57r

此时lg—<lg—,不满足lg/>lgB,即必要性不成立；

36

所以“lg/>1g8”是“sin4>sin夕的既不充分也不必要条件.

故选：D

4.体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动，处于如图

所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为380N,则该学生的

体重（单位kg）约为（）（参考数据：取重力加速度大小为10m/s2,73«1.732）

A.68B.66C.64D.62

【答案】B

【解析】

【分析】利用向量的数量积求得两只胳膊的拉力的合力大小，再依据物理定理即可求得该学

生的体重.

【详解】由物理定理可得，该学生的重力与两只胳膊的拉力的合力大小相等方向相反

2

两只胳膊的拉力的合力大小为J3802+38（）2+2X380X380X；=380G

则该学生的体重约为出叵=386。66（kg）

10

故选：B

5.若角。的终边经过点尸（2凡一。）（。h0）,则sin2a-sinacosa-2cos2a=（）

459

A.—B.—C.--D.—1

545

【答案】D

【解析】

【分析】根据三角函数的定义求出tana,再根据同角三角函数的基本关系将弦化切，最后

代入计算可得.

—a1

【详解】因为角。的终边经过点尸（2。,-。）（。=0）,所以tana=——二——,

2a2

.2-2sin2a-sincrcosa-2cos2a

所以sm-sincrcostz-2cos**a=---------；-----------------

sina+cosa

tan2a-tana-2（2）（2）1

tan26f+l（IV

——4-1

I2）

故选：D

6.已知1cx<3,若Q=（k）g3X『，b=logjVc=logs（］083］），则（）

A.c<b<aB.c<a<b

C.b<c<aD.a<c<b

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数歹=10g3%的图象性质，先可得0<lOg3X<l，从而可判断。<10g3X，

h>log3x,c<0,从而得解.

【详解】根据函数歹=1呜］为增函数，

由于1cx<3,则0<log3X<l，

3

所以0<(log3X)2VlogjX，即。<logs',

因为％2〉x，所以地3工2＞地31,即人＞唾3%，

c=log3（log3x）＜0,所以C＜Q＜b.

故选：B

7.如图，摩天轮的半径为60m,点。距地面的距离为70m,摩天轮按逆时针方向匀速转动,

每18min转一圈，若摩天轮上点尸的起始位置在最高点处，则在摩天轮转动的过程中，（）

A.转动9min后点P距离地面8m

B.第16min和第38min点P距离地面的高度相同.

C.转速减半时转动一圈所需的时间变为原来的g

D.转动一圈内，点尸距离地面的高度不低于100m的时长为5.5min

【答案】B

【解析】

【分析】设转动过程中，点尸离地面距离的函数为/（/）=4sin（0+0）+，7,曰题意求得

解析式，然后逐项求解判断.

【详解】设转动过程中，点〃离地面距离的函数为：/（，）=4sin（①f+0+〃，

由题意得：/=60,〃=70,7=18,刃=巫=工，又/（0）=60©11。+70=130,

189

兀

即sin0=l,故°=2hi+—,keZ,

2

（TT7rl

所以/（，）=60sin—%+2E+—+70

\92）

，兀兀、

所以/”）二60sin—t+—+70,

、92）

4

jrjr

选项A,转到9min后，点尸距离地面的高度为/(9)=60sin-x9+-+70=10,故A

\92)

错误；

(jr7T1167r2兀

选项B,因为/(16)=60sinPxl6+-l+70=60cos-^-+70=60coSy+70,

2TT

/(38)=60sin-x38+-+70=60cos—+70=60cos—+70

')(9299

所以〃16)=/(38),

即第16min和第38min点P距离地面的高度相同，故B正确；

选项C,若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的2倍，故C不正确;

71兀1

选项D,令/(，)=60sin—t—+70之100,贝!!cos—tN—,

、92j92

7TIT7T

由一一十2knJ—t42kli+—,ksZ,解得一3+18左4/W18k+3,KEZ,

393

考虑第一圈时，点尸距离地面的高度不低于100m的时长，可得

当〃=0时，0</<3,当％=1时，15</<18,

即摩天轮转动一圈，点。距离地面的高度不低于100m的时间为6min,故D错误:

故选：B.

8.若函数/(x)+3e、为奇函数，/(x)-e-x为偶函数，下列关于函数/,(x)的最值说法正确的

是()

A.函数无最值B.只有最大值为—2亚

C.只有最小值为-2/D.最小值一2行，最大值为2后

【答案】B

【解析】

【分析】令g(x)=/(x)+3ex,A(x)=/(x)-e-\利用奇偶性得到关于/(x)、/(一月的方

程组，求出/(x)的解析式，再利用基本不等式计算可得.

【详解】令g(x)=/a)+3e”,A(x)=/(x)-e-\

则g(x)=/(x)+3e'为奇函数，A(x)=/(x)-e-Y为偶函数,

5

所以g(-X)=/(f)+3C-A=-f(x)-3c',A(-x)=/(-x)-cr=/(x)-e-t,

解得/3=一心-21，

因为e、>0，eT>0,所以/(x)=—e-x-2e'=-卜一*+2e')W-2♦2e，=-20,

当且仅当e-x=2ev，即x=—LIn2时取等号，

2

所以/(x)只有最大值为-2JI.

故选：B

【点睛】关键点点睛：本题关键是根据函数的奇偶性得到关于/(')、/(-X)的方程组，

从而求出〃x)的解析式.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0

分.

—v<2

9.设函数/(x)=j,若/(x)=l,则x的取值可能是()

log2(x-l),x>2

A.0B.3C.-1D.2

【答案】AB

【解析】

【分析】对'分类讨论解方程即可求解.

/］、工

【详解】若x<2,/(x)=-二1,解得x=0,

若工22,/(工)=1082(工-1)=1，解得x=3.

故选：AB.

10.已知实数。力满足。>0党>0且。+26=1,则下列说法正确的有()

A.若a>b,则对任意实数Jac2>he2B.若。>b,则竺

C.:的最小值是3+20D./+4〃的最小值是:

ab2

【答案】BCD

6

【解析】

【分析】应用特殊值c=0判断A；作差法判断B；应用基本不等式“1”的代换求最小值判断

C；由/+4b2=8S-』)2+!旦0<b<!求最小值判断D.

422

【详解】A：当。=0,此时Q/=/比2,错；

b+\bah+a-ah-ha-b八〃+ib

B：由分，则一-一一=——;---=—―->0,即-对:

Q+1aa(a+1)々(々+1)a+1a

-111I、，…、c2b12barr

C：—i—=(z—i—)(。+2b)=3H----1—23+2d—•一=3+2。2,

ababab\ab

当且仅当。=后一11=三叵时取等号，对；

D：由4=1-2〃>0,则Ovbv,，故/+4力2=8*-4/5+1=83-Ly+I,

4

当〃=，时，/+4〃取得最小值;，对；

42

故选：BCD

H.已知定义域为｛'Ixw4左+2,丘Z｝的函数/(x)满足/(x+l)=皆察，/(2x-2)为

1-/(x)

奇函数，则下列说法正确的有()

A./(x)关于(一2,0)对称B.7(x)的周期为2

C./(刈为奇函数D,若/⑴=1,贝iJ/、(2023)=-1

【答案】ACD

【解析】

【分析】推导出/(工+2)二从而得到/(x)的周期性，即可判断B,再由“2x-2)

为奇函数，得到/(一工一2)+/(工一2)=0,即可得到了(%)的对称性，即可判断A,结合

周期性与对称性判断C、D.

【详解】因为/(x)的定义域为｛x|xw必+2#wZ｝,

7

1।1+/(国

1+/G)1+/G+1)]

又囚为/G十1)=贝I」/('十2)

-1)11+/")7W，

1-/W

所以/(X+4)=—/(X+2)=/(X)，所以/(x)的周期为4,故B错误;

又力2.2)为奇函数，所以/(—2x—2)=-〃2..2),所以/(一工_2)=-/(工一2),

所以/(一工一2)+/(工一2)=0,所以“X)关于(—2,0)对称，故A正确；

因为/(x)关于(一2,0)对称，所以/(X)=一/(一4一"，又〃x+4)=/(x),

所以/(x+4)=—/(—4—x),即W(r),所以/(x)为奇函数,故C正确;

若/(1)=1，则/(2023)=/(4乂506-1)=/(-1)二一/(1)二一1,故D正确.

故选：ACD

【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论

(1)f(x+a)=f(b-x)nf(x)关于x=轴对称,

(1\

(2)/(x+a)+/(b-x)=2c=/(x)关丁一一,c中心对称，

I27

(3)/(x+〃)=/(x+b)n/(x)的一个周期为丁=|"耳,

(4)/(X+。)=一/(工+的一个周期为T=2\a-b\.

可以类比三角函数的性质记忆以上结论.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知函数/(x)=sin(x+0)(0〉0),若/--=/-,则。的一个取值为

<6)\2>

兀

【答案】一(答案不唯一)

3

【解析】

【分析】利用和角的正弦公式和诱导公式化简，求出tan0=JJ即可求解.

8

.兀.兀

【详解】V/-7=/7，sin——+0=sin

I6JI2I6)

।/J

即一5Coso+-^-sin°=cos°，解得tan°=,

兀

。>0,.,<(p=—+kTi,%EN.

・.•夕的一个取值为四.

3

7T

故答案为：y(答案不唯一).

13.如图是一扇环形砖雕，可视为扇形0C。截去同心扇形所得部分，已知4)=lm，

2

弧=弧CQ=^m,则此扇环形砖雕的面积为m.

【解析】

【分析】由条件，根据圆心角的弧度数与弧长和半径的关系列方程求04。。，结合扇形面

积公式求结论.

/-、X--------、

【详解】设圆心角为。，则。二空二必

0DOA

2兀兀

所以丁二3，

0A+\~~0A

解得04=lm,所以OQ=2m,a=-,

3

1,—~--1，-

所以此扇环形砖雕的面积为-CD-OD--ABOA

22

兀

故答案为：一.

2

14.在平面直角坐标系xOy中，点。是单位圆上的动点，过点，作X轴的垂线，与射线

9

(-工乙)

二瓜(工20)交于点。，与X轴交于点M.记/例。尸=6,且。

yI2,2),则△OP0

面积的最大值为.

【答案】,+立

24

【解析】

【分析】由二角函数的定义可得。点的坐标，再利用。的正余弦值表示三角形的面积，利

用三角函数的性质可得其最值，即为三角形面积的最大值.

【详解】由三角函数定义，得P(cose,sine),从而°(cosaJJcos。),

=^-|cos^|-V3cos6^-sin^=^-|V3cos2^-sin^cos^|

所以S,△PO0-

1

3+38s立+sin--20

222222(3

y/31

<—1+一.

-2~T2

因为。£(一5,：〕所以当8=一2时取等号，所以△OPQ面积的最大值为且+」.

I22J1242

故答案为：&L

42

四、解答题：本题共5小题，共77分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.

15.已知集合力={工工2—6x+5W0},5={x|tz-2<x<a+l|.

(1)若。=1,求4c8,4U8；

(2)若“XE/T是“XEB”的必要条件，求实数。的取值范围.

10

【答案】(1)AHB=[\,2]f/U8=[—1,句

（2）3<a<4.

【解析】

【分析】（1）首先求解集合A和4,再根据交集和并集的定义，即可求解;

（2）根据必要条件的定义，转化为集合的包含关系，即可列式求解.

【小问1详解】

x2-6x+5<o1=1<x<51

当a=l,S=|x|-l<x<2!

所以4n8=[l,2],AUB=[-[,5]

【小问2详解】

因为“xE/”是“x£8”的必要条件，所以874,

a-2>\

所以

a+\<5

解得3<4«4.

16.在平面直角坐标系xQy中，角。的始边为x轴的非负半轴，终边在第二象限与单位圆交

3

于点尸，点尸的横坐标为一

,、cos6+3sin。

(1)求「---------的值.

3sin6—cos。

兀

（2）若将射线。。绕点。逆时针旋转一，得到角a,求sin?a—sinacosa—cos2a的值.

2

【答案】⑴|

【解析】

【分析】（1）根据三角函数的定义可得cos。的值，利用同角三角函数的基本关系可求得

tan。的值，结合齐次式求解即可得到结果.

3

（2）根据诱导公式求得tana二:，利用齐次式求解即可.

4

【小问1详解】

11

3

根据三角函数的定义得，cosO=—

I(3Y4I八sin。4

・・•角。终边在第二象限,・・・sine=Jl—--=-，故tan，=--=

y{5)5cos，3

cos9+3sin。_1+3tan。_3

3sin9-cose3tan-15

【小问2详解】

7T

由题意得，a=e+—,

2

4

兀］J71

sina-sin夕+—=cos0=——,cosa=cos，+一二一sin，=5-

<2J5k2J

sina3

/.tana=-------=—

cosa4

•22

..2?sina-sinacosa-cos。

.•sina-smofcosa-cosa=-----------；-------丁

si•n7a+cos2a

tan?a-tana-119

tan2tz+125

17.己知函数/（x）=sin（3x+0）。〉0,|同＜々的部分图象如图所示,

（1）求函数/（X）的解析式及单调递增区间;

2兀、

(2)若/(/)=；,求COS?一cos——2x的值.

I607

jr\jr、兀

【答案】(1)/(x)=sin2x--,单调递增区间为kn-—,ht+—,kwZ

\J1/1/

(2)i

【解析】

12

【分析】(1)结合函数图象及周期性求出。，再由函数在X==处取得最大值，求出0,

即可得到函数解析式，最后根据正弦函数的性质计算可得；

(目1

(2)依题意可得sin2x0--再由诱导公式计算可得.

【小问1详解】

兀71

--1--

由函数图象可知函数图象关于_32_5兀对称,

x-------=—

212

5冗兀

一+I—JI

又x=-62=T2n,即函数关于1—3,0J对称，

TG。

所以——-------——,则7=兀，又0〉0,所以—二兀，解得。=2,

43124

571

又函数在x=—处取得最大值,

12

所以/—=sin—+（p=1,贝IJ」+O=4+2E,4EZ,解得一四+2E,左EZ,

又所以夕=一(所以/(x)=sin

令2*兀一乙W2x-—<2kn+—,kGZ,解得版一工WxWE+',左eZ,

232[2]2

jr5冗

所以/（X）的单调递增区间为^-―,^+—,keZ.

【小问2详解】

I（兀）1

因为/（%）=、，即sin2x0--=—,

JI375

所以cos

=1-sin

13

18.已知定义在R上函数=的图象关于坐标原点对称.

(1)求实数〃7的值；

(2)判定/(%)的单调性并证明；

(3)若实数。满足/(2/一2]>一^,求。的取信范围.

【答案】(1)加=2；

(2)/(x)在R上单调递减，证明见解析；

(3)0<a<2.

【解析】

【分析】(1)根据奇函数性质求参数，注意验证即可；

(2)利用函数单调性定义及指数函数性质证明函数单调性；

(3)法1：根据函数的单调性有2"2-2“<1，由指数函数单调性求参数范围；法2：应用换

元法及函数单调性求参数范围.

【小问1详解】

因为在R上/(同=不与1-1的图象关于原点对称，所以/(%)为奇函数，

所以/(0二1^---1=0,即加=2,检验如下，

此时/(x)=g，所以/(x)+/(—X、1—5'l-5'x1—5、5:1,

）5、+15-1+15X+15、+1

故/(X)是奇函数，满足耍求.

所以加=2.

【小问2详解】

/(X)在R上单调递减，证明如下：

任取玉,12£R且不＜/，则

(2、(2斗产：丁）

1"八"(5*+1,(5叼+1）（5V,+1）（5A2+1）

14

因为玉</，所以5演v5"，又5』+1>0，5叼+1〉0，

所以/（X）-/伍）>0，所以/（X）在R上单调递减.

【小问3详解】

法1：因为=所以/（2/一2。）>_：可化为

JJ

因为/（X）在R上单调递减，所以242“<1，

即2『-2a<2°，所以/一2〃<0，解得0<a<2.

法2：在/（242〃）>—|中，令242“=工，则

22

即彳1―1>—§，即工<1,所以2/一2。<1，

即-2a<2。，所以/—2QV0，解得0<”2.

X-JV

19.著名的“悬链线拱桥问题”与数学中的双曲函数相关.函数/（幻=三匚叫做双曲正弦

ex+

函数，函数g（x）=叫做双曲余弦函数，其中e=2.71828・••是自然对数的底数.

（1）下列两个命题中至少有一个为真命题，并证明其中的一个真命题：

①[g（X）F+[/（刈2=1；②g（2x）=[g（X）]2+[/（%）]2；

TV

（2）证明：函数尸（工）=Inx+sin^x在（0,+8）上有且仅有一个零点小