期末解答题新题（40题）原卷版-2025-2026学年九年级数学上学期（人教版）

期末解答题新题速递(40题)

一.解答题

1.定义：如果关于1的一元二次方程苏+版+《=0满足。-“。=(),那么称这个方程为“联合方程”.

(I)判断一元二次方程2，+9.什7=0是否为“联合方程”，说明理由；

(2)己知3X2-〃次+〃=0是关于x的“联合方程”，若-2是此“联合方程”的一个根，求〃?和〃的值.

2.已知关于x的一元二次方程4『+A+。=0,如果。，b,。满足3〃・2b+c=0,我们就称这个一元二次方程

为美妙方程.

(1)判断方程2x2-x-8=0是否为美妙方程，并说明理由.

(2)已知关于x的美妙方程G2+2X+C=0的一个根是-1,求这个美妙方程.

3.“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应

变能力和创新能力.定义：方程。X2+尻+4=0是一元二次方程°”+入+°=0的倒方程，其由a,b,C为

I

常数（且a,cWO）.根据此定义解决下列问题：

（1）一元二次方程-41+3.计1=0的倒方程是；

（2）若x=-I是一元二次方程，-2x+c=0的倒方程的解，求出c的值；

（3）若〃？是一元二次方程-6X2+X+1=0的倒方程的一个实数根，则m3+ni2-6叫+2025的值

为.

4.已知关于x的一元二次方程x2-2kx+k2-1=0.

（1）求证：无论《取何值，此方程总有两个不相等的实数根；

（2）设该方程的两个根为X],X2，且满足37）（x2-I）=8,求k的值.

5.阅读材料：从教材第24页例题1,我们知道：对于一个分式，当分子的值是0且分母的值不为。时.，分

式的值为0.对于非零实数a，江若关于x的分式的值为零，那么（x-a）(x-/?)=0,

x

2

(x—a')(x—b')x2-(a+b}x+abx2(a+b}xabab

从而求得它的解得xi=a,、2=氏又因为1--~~'=----——-△+—=%+—

一(a+b),所以关于/的分式方程'一=0就变成了分式方程x+弓=a++它的解为勺=小

X2=b.

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(1)理解应用：方程％+—=7的解为：u=_______,X2=_______;

X

2、、

(2)知识迁移：若关于x的方程％I-=5的解为x1=a,『b,求〃2|房的值；

2mx1—m

(3)拓展提升：若关于x的方程x+■5=m+4的解为X],X2，(m>2,勺>X2)求超的值，

6.关于x的一元二次方程/+〃a-1=0,当〃?=1时，该方程的正根称为黄金分割数.宽与长的比是黄金

分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的

优选法中也应用到了黄金分割数.

3

（1）求黄金分割数：

b

（2）已知实数a,8满足。2+〃以=1,F_2加＞=4,且8W-2a,请证明：a,—/是一元二次方程，+心

-1=0的两个根；

（3）已知两个不相等的实数p,q满足p?+叩-l=q,（j2+nq-I=p,求pg-〃的值.

7.某著名旅游景区在2023年春节长假期间，共接待游客70万人次，2025年春节长假期间，接待游客84.7

万人次.（1）求该景区以2023-2025年春节长假期间接待游客人次的平均增长率；

（2）该景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季、若每杯定价25

元，则平均每天可销售300杯.若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯.现在店家决定进行降

价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可使此款奶茶变现平均每天6300

元的利润？

8.推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴，某合作社着力发展乡村水果网络

销售，据统计某电商平台10月份的水果销售量50000修，12月份的水果销售量是72000检.

（1）若该平台10月份到12月份销售的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？

4

（2）某水果店以6元/校的单价进了一批水果，若售价为10元/依，每天能销售2004g.为了尽快减少库

存，决定降价销售，市场调查发现，售价每降价0.1元，每天可多售出20攸，水果的售价为多少元时，

每天可获利润为1200元.

9.随着国家对地摊经济的支持，各地的夜市逐渐火爆.某小型夜市为改善环境,融入地方特色，对夜市摊

位摆放位置进行升级改造，改造后的布局如图所示.已知在矩形/8CQ中，AD=60m,48=30〃?，阴影

部分为夜市摆摊位，其余部分是等宽的人行过道，摊位的总面积为10（）0〃?2.

（1）人行过道的宽是多少米？

（2）该夜市有60个摊位对外出租，每个摊位的月租金为30。0元时，摊位刚好全部租完.夜市升级改造

后对每个摊位的月租金进行适当调整，每个摊位的月租金每上涨100元，就会少租出1个摊位.在尽可

能让利于摊主的条件下，当每个摊位的月租金为多少元时，该夜市的月租金总收入为1925Q0元？

10.己知二次函数y=aH+以+6QW0）与工轴交于48两点（点力在点4的左侧），点力、点8的横坐

标是一元二次方程12=0的两个根.

（1）求点力、点6的坐标：

（2）请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标.

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11.已知抛物线y=（x+1）2-4与x轴正半轴交于点儿顶点为工

（I）求音线力8的表达式：

（2）过点尸（［,0）作x轴的垂线，交抛物线于点M,交直线48于点M当MN的长为3时，直接写

出，的值.

12.已知抛物线-取（aWD）经过点（6,0）.

（I）求该抛物线的对称轴；

（2）点力（xprV|）和85，及）分别在抛物线尸加-云和y=F-x上（44与原点都不重合）.

①若Q=9且xi=X2，比较J'l与yi的大小；

…6y2X2X2

②当”时，若;;是一个与勺无关的定值，求。与人的值.

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13.已知一次函数y=x-5的图象与x轴，y轴分别交于点儿B.将点/向左平移4个单位，得到点力'，

且点H恰好在二次函数》=尔2+--3(°、力是常数，。£0)图象的对称轴上.

(I)用含。的代数式表示力.

(2)求证：二次函数与一次函数图象交于一个定点，并求出该点的坐标.

(3)若二次函数图象与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求。的取值范围.

14.在平面直角坐标系中，二次函数)-一-十〃经过点力(1,0)与点6(2,〃).

(1)求m,n的值.

(2)若点C(a,-2),D(b,-2)为该二次函数图象上的两个不同点(其中〃，b为常数，a<b),

求△88的面积.

7

15.已知二次函数y=『+4x-5的图象经过点3(2,7).

(I)若将点4(2,7)向上平移9个单位长度得到当，作点的，使小、%关于抛物线的对称轴对称,

再将夕2向左平移〃？(m>0)个单位长度后，恰好落在了=--4入-5的图象上，求〃?的值.

(2)当〃WxW2时，二次函数歹=『+4x-5的最大值与最小值的和为-2,求〃的取值范匡.

16.已知二次函数j，=-(x+1)斗人(〃为常数)的图象经过点.4(-2,3).

(1)求此二次函数的表达式.

(2)将抛物线先向左平移〃(〃:>0)个单位，再向上平移5个单位，函数图象恰好经过原点，求〃的值.

(3)已知点(p,w),(q,m)在二次函数y=-(x+1)2+万的图象上，且-7V2p+3g<2,求机的

取值范围.

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17.已知关于x的二次函数y=F+2x+2.

(1)当・IWXW/时，)，有最大值4,求,的值;

3

(2)当fWxW什1时，y有最小值J,求Z的值.

乙

18.在平面直角坐标系X0F中，已知二次函数y=4(X-1)2-4(oWO).

(I)求二次函数与y轴的交点坐标(用含有。的代数式表示)；

(2)当0<“在1.5时,，y的最大值为-3,请求出a的值；

(3)在(2)的条件下，若点P(x,y)是二次函数图象上一点，满足加(/>0),若y的最大

值与最小值之差为4,求/的取值范围.

9

19.如图，抛物线J，=x2+bx+c经过4(-2,0)、8(4,0)两点.

(I)求抛物线的解析式和顶点坐标；

(2)当时，求y的取值范围；

(3)点P为抛物线上一点，若求出此时点尸的坐标.

20.已知二次函数yuad+bx+c(a,b,。是常数，HW0)的图象经过(1,0).

(I)若二次函数图象经过力(-1,4),5(0,-1),求该二次函数解析式：

(2)若二次函数图象的顶点落在x轴上，求证：a=c；

(3)若二次函数图象的对称轴为直线％=早，当bNc时，求的最小值.

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21.如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10机时，桥洞与水面

的最大距离是5%

3）根据（1）所建立的平面直角坐标系，求出抛物线的解析式;

（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6〃?，求水面上涨的高度.

22.某水果店计划销售当季沃柑，经市场调研发现：沃柑的单价x元/千克与日销售量歹千克满足一次函数

关系，且当单价为11元/千克时，日销售量为130千克；单价为14元/千克时，日销售量为70千克.已

知沃柑的进货成本为7元/千克，水果店每日的固定运营成本（如房租、水电）为240元.设每日销售沃

柑的利润为w元.

（1）求日销售量y与单价x之间的一次函数表达式：

（2）求利润W与单价x之间的二次函数表达式；

（3）为保证盈利且符合市场定价规则，该沃柑单价需满足15（x为整数），求此时水果店每日可

获得的最大利润.

23.如图，点忆N分别在正方形"CO的边AC,CD上,且.NMAN=45°,把△AON绕点力顺时针旋

转90°得到△力

(1)求证：AAEM父/XANM；

(2)若"M=6,QN=4,求MN的长.

24.如图，在四边形力4c。中，，4C,4。是对角线，是等边三角形.线段CO绕点。顺时针旋转

60°得到线段CE,连接力£

(1)求证：AE=BD\

(2)若N/IDC=30°,彳0=3,80=5,求8的长.

E

BC

25.在△48C中，点。是8C边上一点(不与端点重合)，连接力将线段月。绕点力逆时针

旋转a得到线段力£,连接

(1)如图1,a=ZBAC=60°,ZEAC=20°,求N4Q8的度数；

(2)如图2,a=/5/C=9()。，BDCCD,过点。作OG_L8C,QG交。的延长线于G,连接4G.点

F是。E的中点，，是8G的中点，连接“，CF.用等式表示线段"7与C户的数量关系并证明.

图1图2

26.在平面直角坐标系中,点413,0),点8(0,4),把△力绕原点O逆时针旋转，得△COQ,其

中，点C,。分别为点力，8旋转后的对应点，记旋转角为a(0“

(1)如图，当a=45°时，求点C的坐标;

(2)当CO〃x轴时，求点。的坐标(直接写出结果即可).

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27.在平面直角坐标系中，0为原点，点［(3,0),点8(0,4),把△480绕点8逆时针旋转，得^

图①图②备用图

(1)如图①，若a=9()。，求44'的长；

(2)如图②，若a=45°,求点。的坐标.

28.如图，。0中，OC_L48于点E,点。为上一点.

1

(1)求证：4BDC=yAOC；

(2)若CE=2,AB=6,求0c的长.

29.如图，44是OO的一条弦，。。_1_力4于点C,交。。于点。，点E在。。上.

(1)若点4是血的中点，求证：AB=DE；

(2)若CD=2,AB=\2t求0。的半径二

30.如图，，44为。。的直径，点C在0O上，延长AC至点。，使。C=C2,延长D4与0。的另一个交

点为，连接AC,CE.

(1)求证：NE=/D；

(2)若为8=6,BC-AC=2,求CE的长.

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31.如图，48是半圆。的直径，力8=10,点C在半圆。上，。为4C的中点，连接0。并延长交半圆0

于点E.

(1)如图1,若力。=OQ-1,求力C的长;

(2)如图2,过点E作七/J_/8,垂足为凡若4c=8,求//的长.

32.如图，力4为。。的直径,。为。。上一点，。为力。的中点，过C作。。的切线交0。的延长线于£,

交AB的延长线J-F,连接EA.

(1)求证：EA是。。的切线；

(2)若CE=6,CF=4,求OO的半径.

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33.如图，8C为OO的直径，点彳在。。上，的平分线交于点£,交8C于点M.248M的平

分线BD交力E于点D,过点E作叮〃8C,交48的延长线于点足连接8E.

(1)求证：EE是OO的切线;

(2)若BE=8,求DE的长.

34.如图，川？为。。的直径，点C在。。上，/力。8的平分线CQ交。。于点。，过点。作D〃〃月4,交

CB的延长线于点E.

(1)求证：。“是0O的切线：

(2)若/月QC=60°,BC=4,求CO的长.

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35.已知，如图，彳8为OO的直径，△48。内接于。。，8O.4C,点P是△力8C的内心，延长CP交。。

于点。，连接8P.

(1)求证：BD=PD；

(2)已知。0的半径是3VLCO=8,求8。的长.

A

D

36.如图，正方形488内接于OO,M为弧力。中点，连接8W,CM.

(1)求证：是等腰三角形：

(2)若48=2,求点〃到4c的距离.

37.如图，四边形"8co内接于0。，力。为直径，过点。作CE_L48于点£,连接/C.

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(1)求证：/CAD=NECB；

(2)连接OC,若OC〃AB,/E力。=60°,AD=4,求阴影部分的面积.

38.如图，△48C是等腰三角形，AB=AC,作一圆过点力和点B,交8c于。点，交4c于E点,且BD=

DE.

(1)求证：44是该圆的直径；

(2)若E是/。的中点，力"=10,求劭的长度.