泸溪某中学2025-2026学年高二第一次期末模拟考试数学试卷

泸溪一中2025-2026学年高二第一次期末模拟考试

数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

I.欧拉公式：/=cos，+isin6将复指数函数与三角函数联系起来，在复变函数中占有非常重要的地位,

根据欧拉公式，复数十在复平面内对应的点所在的象限为（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.」知等比数列｛册｝的各项均为E数，且log3al+log3a2+log3a3+…+log3a10=10,则a5a6的值为（）

A.3B.6C.9D.18

7..22

3.两个正数4、人的等差中项是不，等比中项是26，且则椭圆=+==1的离心率为（）

2a-b-

A2B0c3D近

3443

4.双曲线C的两个焦点为&、F2,以C的实轴为直径的圆记为D,过FI作圆。的切线与。的两支分别交于M、

N两点，且COSNF]NF2=，则双曲线C的离心率为（）

A.逗B.叵C.V3D.2

2313

5.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层

有I个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第〃层有每个球，则数歹可今｝的前5项和为（）

6.已知椭圆C:9+y2=1的左、右焦点分别为F2,直线y=%+TH与C交于点A,3两点,若△外48面

积是△FzAB的2倍，则m=（•

A.3V2B.，或3五C.?D.后

7.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖膈”，在鳖脯4-BCD中，481平面8。。,

且＜8=8C=C0=2,股为40中点，N为。。中点，则直线CM与平面所成角的余弦值为（）

A.立B—C.叵D.包

4355

8.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离

是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点41,0）,以0,2）,且

AC=BC,则△ABC的欧拉线的方程为（）

A.4x+2.v+3=0B.2A-4v+3=0C.%—2.v+3=0D.2K—y+3=0

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

9.如图，在正方体力8。0-818传1。1中，E是棱CD上的动点.则下列结论正确的是()

A.〃平面4当8/B.EBX1ADr

C.二面角E—48i—力的大小为:D.直线E/与平面/BCD所成角的大小不变

10.设等差数列｛%｝的前〃项和S“=2/_u〃(〃口N"),则()

A.该数列的公差为4B.为1=21C.S〃有最小值-15D.S”有最小值-生

11.已知等比数列｛〃”｝的前〃项和为s“，且2s5,3跖，4s8成等差数列，则数列｛勺｝的公比可能为()

11

A.1B.-C.——D.-1

22

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若向量〃=(1,(),2),力=(0,1,-1),则〃在6方向上的投影向量的坐标为.

13.若两圆X2+/=4,X2+)，2+2。)，-16=0(6/>0)的公共弦长为2厉，则公共弦所在直线方程为.

14.将自然数0,1,2,3,4…按照如图排列,我们将1,3,6,10...称为“拐弯数”,则第50个“拐弯数”

是.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.已知圆C的圆心在直线2%-y-5=0上,且经过点4(0,3),3(4,-1).

(1)求圆。的标准方程；

(2)求过原点且与圆。相切的直线方程.

16.已知数列｛«,｝是各项均为正数的等比数列，且劣=2,4是24和3%的等差中项.

(1)求数列｛q｝的通项公式;

2

(2)若数列间满足求数列也｝

前2025项和52025.

17.如图，在三棱台DEF-ABC口，AB=2DE,G、，分别为4C、BC的中点.

(1)求证：BO〃平面FG"；

(2)若CF_L平面/BC,△4BC为等腰直角三角形，ABIBC,CF=DE,求平面EFG与平面FGH所成的锐二面

角的大小.

18.已知曲线/(%)=e*=+1).

⑴求/(%)在x=1处的切线方程.

(2)若函数g(x)=fM-3ex-m有两个零点，求实数m的取值范围.

19.已知双曲线。:5一3=1(。＞0溥＞0)的离心率为半，4B分别为其左、右顶点，点(3a,1)在C上.P

为直线％=2上的动点，P力与双曲线C的另一交点为M,P8与双曲线。的另一交点为N.

(1)求双曲线C的方程；

(2)证明：直线MN过定点.

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数学试卷参考答案

1.【答案】B【详解】由题意可得：e3i=cos3+i-sin3对应的点为(cos3,sin3),・・・3《/冗)，则8s3v0,sin3>0,

故(cos3,sin3)位于第二象限.故选：B.

2.【答案】C【解答过程】解:••,等比数列]〃｝的各项均为正数,且log3al+log3a2+log3a3+…+log3a10=10,

5

・•.log3(QiQ2a3a4a5a6a7a8a9%o)=log3(a5a6)=10,；.a5a6=9.故选：C.

3【答案】C【分析】根据已知条件可得出关于〃、h的等式组，解出〃、〃的值，可得出。的值，由此可得

7

出该椭圆的离心率的值.【详解】因为两个正数。、〃的等差中项是等比中项是2月，且。>。，

a+b=l(

<7=4.---------,_____—〃、万

则<〃。=12,解得1,所以c=册万=屈二=币，故《=£=”.故选：C.

,八b=3v丫丫a4

4.【答案】A如图：/I'设直线MN与圆。的切点为4作尸23〃。力，交MN于点B,则。力J.MN.

因为|0&|=c,\0A\=a,所以MF/=a.又。为F/z中点，所以旧居|=2b,\BF2\=2a.

又COS"INF2=|,MN1BF2,所以可设：|BN|=33|^F2|=4t,|NFzl=5t.由2a=4t=£=/

根据双曲线的定义：INF/-INF21=2a=y4-2ZJ-=2a=>2b=3a.所以9a?=4b2=4(c2-a2)=

13a2=4c2=乌=±所以e=-=运.故选：A.

a24a2

5.【答案】A【解答过程】由题意得，Qi=1,当nN2时，。2-%=2,%—。2=3,…，M一%-1=几，

以上各式累加得：an=1+2+3+-+n=>2),经检验由=1符合上式，所以册="罗，

所以£=1=2&-W)设数歹脸｝的前几项和为当,则又=2](1—今+©-”…+(；+]=2-

占所以S5=2V故选:A.

6.【答案】C【解题思路】根据面积公式结合定义计算求解得出血=-苧或-3&,再联立方程结合判别式

计算求解.【解答过程】设直线y=x+m与x轴的交点为M,则M(-m,0).所以S%.二段时用|以一城，

S「2AB=TIMF2IM-加.因为品必=2S"B，所以IMF=2|MF2|.由?+/=1得c=立,即6(一企,0),

F(X/2,0),|FIF|=2V2.所以I-或+m|=2|a+解得7九=一黑或一3VL因为y=%+m与C有两

22«5

y=x+m

｛m十y2_i消>得轨2+6mx+3m2-3=0,则A=36m2-16(3m2-3)>0,解得m2<

7【答案】D【解题思路】将三棱锥4-BCD放入正方体中，建立.空间直角坐标系，利用空间向量求直线CM与

平面A8N所成角的余弦值.

【解答过程】由题可知两两垂直，且48=BC=CD=2.因此，如图所示正方体内的三棱锥力-BCD

即为满足题意的鳖嚅4-8。。，以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，正方体棱长为2,

则8(0,0,0),71(0.0,2),C(0,2,0),M(l,l,l),N(l,2,0),则由二(1,-1,1)，丽=(0,0,2),

则｛瓢二刎篇故可则=(2T。).设

BN=(1,2,0).设平面ABN的法向量为抗=(%,y,z),

直线CM与平面力BN所成角为氏则$也。=舄需=嬴=?，故cosO=』一(¥?=千，故选：D.

8【答案】B【分析】等腰三角形的欧拉线即为底曲上高线.求出A8中点和A3的斜率后可得.【详解】因

为AC=BC,所以欧拉线为AB的中垂线，又A(l,0),B(0,2),故48的中点为(1,1),口8=-2,故AB

2

的中垂线方程为了一i=g1、

—,即2x—4y+3=0.故选：B.

2)

9.【答案】ABC【解题思路】由平面〃平面氏4,QEu平面CDD】G，即可判断A；建立空间直

角坐标系计算西•河即可判断选项B；先找出二面角的平面角为乙。力团即可判断选项C,利用向量方法

求直线EB】与平面4BCD所成角的大小判断D.【解答过程】因为平面5GCD〃平面4&B4。住u平面

CODC，所以〃平面故选项A正确;如图建立空间直角坐标系，设正方体

的棱长为1,则4(1,0,0),E(0,m,0),0<m<l,当(1,1,1),。式0,0,1),4(1,0,1),两=(1,1一刑,1),而二

(-1,0,1)，因为西・丽=(1,1一瓶,1)・(一1,0/)=-1+0+1=0,所以西J■袍，即£务上4。1，故选

项B正确；因为为从〃。。，E在棱CO上，所以二面角E--4即二面角。--A,因为14/，

AA11Blf。力1<=平面£;414，44iu平面所以4。4厂4即为二面角E—44—4的平面角，在正

方形40D14中，乙力4遇二：,所以二面角的大小为:，故选项C正确，直线E%的方向向量为

西=(1,1一m,1),平面/BCD的法向量为元=(0,0,1),所以cos(西㈤=/,所以

1'1Jl+(l-m)2+ixlV3-2m+7n2

直线EB1与平面;48CC所成角的的王弦值为序言的，随m的值的变换其正弦值也变化，故直线E以与平面

4BCO所成角也变化，D错误.故选：ABC.

10【答案】AC【解题思路】利用%、S〃关系先求出通项公式，由此判断A、B,再利用数列函数的性质判断

C、D.【解答过程】设等差数列｛aj的公差为d,因为S〃=2〃2-11〃GEN'),S1=al=2-ll=-9,当后2时，有

S„.i=2(/?-1)2-11(ZJ-1)=2/72-15n+13»得。”=5"§/=2〃2-11〃-2〃2+15〃-13=4〃-13(后2),检验。]=-9符合上式，所

以°〃=4〃-13,对于A,d=a,^।-a,=4(n+1)-13-4??+13=4,A正确,定义B,au=4x|1-13=31,B错误，对于C,

22

根据S〃=2〃2-11〃=2(〃-2)-斗(7iON*),可知〃=3时，S”有最小值$3=2(3-・、=•(=/5,

所以C正确，D错误.故选：AC.

11【答案】AC【分析】255,35,4s&成等差数列，得6s7=2SS+4S8,利用前"项和与通项的关系，

化简得2%—%—%=0,化简得2d-4-i=o,求解可得.【详解】设数列｛%｝的公比为/因为2s5,

3S,,4s成等差数列，所以6s7=2S$+4S8，M＜3S7=S5+258,BpS7-55=258-2S7,所以

2%-%-4=0,又小工0,两边同除以〃6得，2/一与一1二0,解得。=1或夕=一;•故选：AC.

12【答案】(0,—1,1)【详解】向置：a=(l,0,2),Z?=(O,l,-l),则〃为二一2,|加二及，所以。在匕方向上

的投影向量为丝•与=一〃=(0,-1,1).故答案为：(0,-1,1)

13【答案】y=\【分析】先将两圆方程作差求得公共弦所在直线方程，然后利用勾股定理列方程，解方程

求得。的值，再代入即可.【详解】将丁+丁=4,冗2+,2+2缈-]6=0(。＞0)两圆方程相减，得公共

弦所在的直线方程为@-6=0,圆产+尸=4的圆心为(0,0),半径为〃=2,圆心(0,0)到直线

ay-6=0（a>0）的距离d=-=解得。=6,此时x2+y2+lay-16=0为

a

/+)，2+[2)-16=0,即《?+(),+6『=52,圆心为(0,-6),半径为R=J豆，易得两圆心距离为6,

且尺一广＜6＜尺+＞所以两圆相交，满足题意，所以公共弦所在直线的方程为y=l.故答案为：y=\

14.【答案】1275【解题思路】根据“拐弯数”找出规律，设数列1,3,6,10,……,可推出得数列的递推

公式外+1—%=n+1，利用叠加法求解即可.【解答过程】设数列1，3,6,10,...,故Qn+i-出1=九+L

利用叠加法：an=(a7l—an-i)+(an-i-an-2)+…+(a2—aj+%=1+2+3+…+(zi—1)+n=

殁》，故=等=1275.故答案为：1275.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.【答案】(1)(%-4)2+(y-3)2=16(2)%=0或7x+24y=0

【解答过程】(1)线段48的中点(2,1),直线48的斜率以8=痣=一L则线段4B的中垂线斜率为户=1,

方程为7一1二%一2,即y=x-l,由解得％=4,y=3,因此圆C的圆心C(4,3),半

I乙人yJU

径r=MC|=4,所以圆。的标准方程为(x-4)2+(y-3)2=16.

(2)过原点且斜率不存在的直线为％=0,点C(4,3)到直线％=0的距离为4=丁，即直线3=0与圆。相切；

当切线斜率存在时，设切线方程为y=kx,即此一y=0,点C(4,3)到该直线距离为磊=4,解得k=一分

因此切线方程为7x+24y=0,所以经过原点且与圆C相切的直线方程为％=0或7x+24y=0.

2(P5

16【答案】(1)%=2"(2)

1013

【分析】(1)利用等差中项公式与等比数列的通项公式即可求解；

(2)利用裂项相消法结合对数运算公式求数列的前项和即可.

1］数列｛4｝是各项均为正数的等比数列，设公比为9,则9>。，因为%是2卬和3%的等差中项，则

2%=26+3勺，即2q/=2q+3〃q,因为q=2,所以2寸-3q-2=0,又q>0,解得夕=2,所以

a〃=qxL=2x2"T=2”.

2^^=21

［2］由（1）知例二2",则包-------：-=---l-o-g-2z,.log2,,+l

22/?（724-1）\n

log2«„-logA+I/?+1>

11111

所以=21-―•

22334nn+\）In+\）〃+1尼2025+11013

17•【答案】⑴证明过程见详解；(2斤.

【解题思路】(1)根据三棱台的性质，先证面面平行，再证线面平行即可；

(2)根据条件建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向是，再求两平面所成二面角的大小.

【解答过程】(1)在三棱台0"—力BC中，AC//DF,ADEF〜AABC,所以蔡=蓝=2,因为G为AC的中

点，所以4G〃/)Fit4G=D几所以四边形力GFD为平行四边形，所以4D〃GF,因为GFU平面力BDE,ADc

平面48DE,所以GF//平面ABDE,又G、“分别为AC、8c的中点，所以GH//48,因为GHU平面A8DE,ABu

平面4BDE,所以GH〃平面A8GE,因为G"介尸G=G,所以平面尸GH〃平面A/DE,又8。u平面ABDE,

所以B。//平面/G”.

(2)因为CF1平面ABC,△4BC为等腰直角三角形，AB1BC,故以C为原点，以CB为％轴，以CF为z轴，

则48=2,平面EFG与平面FG”所成的锐二面角为税则8(2,0,0),C(0,0,0),广(0,0,1),6(1,-1,0),"(1,0,0),

所以丽=(2,0,0),~FE=^CB=(1,0,0),FG=(1,-1,-1),而=(0,1,0),设平面EFG的法向量为近二

(卬月2),平面FGH的法向量为设=(七，%，22)，则但•竺二°，即，解得后=(0,1,-1),

51•FG=0Wi—%一句—u

2.竺=°,即L孑=?解得放=(L(M),所以平面"G与平面FGH所成的锐二面角余弦值为

I而•FG=0(M-%一々一。

cos。=|cos〈E，砧I=哥篙=点=%又6£(o,3所以平面“G与平面FGH所成的锐二面角为全

18.【答案】(l)y=3ex-e(2)｛m|-e<m<0｝

【解题思路】(1)求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出力线的斜率，从而求出切线方程；

(2)将题设等价转化为曲线〃(无)=e^.(x-2)与直线y=小有两个交点，利用导数与函数单调性、极值的关

系确定函数"(%)=e*•(x-2)的图象，即可数形结合求实数m的取值范围.

【解答过程】(1)因为/■(%)=眇。+1),所以r(%)=心(％+2),/(l)=2e,即切点为(l,2e),

又/'(1)=3e,所以切线方程为y-2e=3e(%-1),即y=3ex-e；

<2)因为g(%)=fM-3cx-m=cx(x-2)-m,函数g(%)=cx(x-2)-?九有两个零点，

相当于曲线iz(%)=ex-(x—2)与直线y=m有两个交点,又if(%)=ex•(x-2)+ex=ex(x—1),

当父W(—8,1)时,uz(x)<0,所以〃(%)在(-8,1)上单调递减,当％e(l,+8)时，u'(x)>0,所以“(x)在

(1,+8)上单调递增，所以％=1时，”(%)取得极小值〃(1)=-e,又x->+8时，u(x)-»4-00,且当