人教A版高二数学上册选择性必修2《导数的概念及其几何意义》同步练习题（含答案）

人教A版高二上学期数学（选择性必修2）《5.1.2导数的概念及其几

何意义》同步练习题（含答案）

基础巩固

L瞬时变化率（导数）的概念：如果当以一0时，平均变化率曹无限趋近于一个----------的

值，即竺有极限，则称），=/（幻在x=x。处可导，并把这个确定的值叫做y=/（x）在户人处

Ax

的（也称为瞬时变化率），记作

-----------或儿/即八%）=lim包=lim/（=*）-■/（朝）.

ASOaAr->o©

2.导数的几何意义：函数），=f（x）在x=/处的导数就是在点尸（不，/'（%））的

斜率k,即2=lim/（/+&）-/（%）=f，（x）.这就是导数的几何意义.

△t->oAx

回归教材

①练习

1.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热已知在第xh时,

原油的温度（单位：℃）为y=f（x）=f—7x+15（0W8）.计算第3h与第5h时，原油温度的

瞬时变化率，并说明它们的意义.

2.设/（幻二不，求广⑴.

3.一质点A沿直线运动，位移y（单位：m）与时间f（单位：s）之间的关系为歹⑺=2产+1,

求质点人在/=2.7$时的瞬时速度.

4.设函数/（幻=/_］求：

（1）当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率；

（2）函数在x=l处的导数.

5.如图，描述曲线〃⑺在f=G（附近增（减）以及增（减）快慢的情况.

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6.函数f（x）的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）.

A.r（i）＞r（2）＞r（3）＞oB，r（i）＜/⑵＜r⑶＜。

c.o＜r（i）＜八2）v/⑶D.r⑴,八2）＞o＞八3）

7.求曲线y=-21+1在点处的切线方程.

8.吹气球时，气球的半径,•（单位：dm）与体积V（单位：L）之间的函数关系是r（V）=

利用信息技术工具，画出OWPW5时函数的图像，并根据其图象估计V=O.6,1.2L时，气球的

瞬时膨胀率.

②习题

1.圆的面积S（单位：cm?）与半径R（单位：cm）的关系为5=兀炉.求R=5cm时面积关于半径的

瞬时变化率.

2.已知车轮旋转的角度。（单，立：rad）与时间/（单位：s）之间的关系为0«）二等已求车轮转动

开始后第3.2s时的瞬时角速度.

3.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时诃加快速度

行驶.与以上事件吻合得最好的图象是（）.

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4.如图，试描述函数/(x)在工=_5,-%・2,0,1附近的变化情况.

6.一个质量为加=3kg的物体做直线运动，设位移)，(单位：m)与时间*单位：s)之间的关系为

)«)=1+产，并且物体的动能线求物体开始运动后第5s时的动能.

7.已知函数/(X)的图象，试画出其导函数(*)图象的大致形状.

8.在高台跳水运动中，fs时运动员的重心相对于水面的高度(单位：m)是〃⑺=_4.9r+4.8f+11.

高度力关于时间，的导数是速度办速度□关于时间，的导数M的物理意义是什么？试求心/

关于时间，的函数解析式.

9.根据下列条件，分别画出函数y=/(x)的图象在这点附近的大致形状：

(1)/(1)=-5r(i)=-l;

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⑵/(5)=10/'⑸=15;

(3)/(10)=20尸(10)=0.

提升训练

1.已知f（x）=-x2+10,则f（x）在X=T处的瞬时变化率是（）

A.3B.-3C.2D.-2

2.若函数），=/（x）在x=处可导,则lim一（)

/i->0h

A/Go)B.2r(x。)C.-2/U)D.O

3.已知函数/（x）在R上有导函数,/（X）图象如图所示,则下列不等式正确的是（）

A.f\a)<f(b)<f(c)

C.fXa)<fXc)<f(h)D.r（c）＜r（a）＜/'（〃）

4.曲线/(x)=g/+2在点处的切线的倾斜角为（）

A.史

4

5.已知函数/（©在x=2的附近可导，且1沛%立工=-2,/（2）=2则曲线/（x）在（2J（2））处

12X-2

的切线方程为（）

A.2x+y-6=0B.2x-y-2=0C.x+2y—6=0D.;t-2y+2=0

/(-1)-/(-1+Av)

6.已知函数/*）在x=—l处可导，且八一1）=一3,则lim=()

AXTO3AY

A.-3B.-lC.lD.3

7.已知函数7a)=Mx-1)•(x—2)……(x-100),则f\0)

8.已知曲线贝J曲线。上横坐标为2的点处的切线方程为

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参考答案及解析

一、基础巩固

z

1.确定导数/(x0)

2J'(x。)

二、回归教材

①练习

1.答案：在第3h和第5h时，原油温度的瞬时变化率分别为-1和3.意义见解析

解析:在第3h和第5h时，原油温度的瞬时变化率就是广⑶和八5).

根据导数的定义，.出±^=”也:更竺巴色…

SxAxZ

所以，八3)二|im包=lim(AY-1)=-1.同理可得/⑸=3.

Ar->0八丫AVTO

在第3h和第5h时，原油温度的瞬时变化率分别为T和3.

这说明在第3h附近，原油温度大约以l℃/h的速率下降；在第5h附近，原油温度大约以3℃/h

的速率上升.

2.答案：1

二，，/ry(1+A^)—/(I)..14-Ax—1

解析：f(1)=lim-----八=lim-------=1.

Av->0Ar->0八T

3.答案：10.8m/s

解析：由题知y=4/

当r=2.7时y=4x2.7=10.8

故质点A在/=2.7s时的瞬时速度为10.8m/s.

4.答案：(1)2.1

(2)r(i)=2

解析：(1)Ax=l.l-l=o.lAy=l.l2-l-(l2-i)=0.2l.

所以函数的平均变化率为包=八")一>⑴=—=2.1.

AT1.1-10.1

(2)/(x)=x2-1-2x

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.・/⑴=2.

5.答案：。⑺在，=4附近单调递增，。⑺在，=乙附近单调递增；4«）在G附近比在L附近上升

得快

解析：如图所示.

（1）当时，曲线〃⑺在4处的切线，3的斜率公＞0

所以〃'&）＞（）,在附近曲线上升

即函数/?（/）在f=4附近单调递增.

（2）当，乜时，曲线〃⑺在Q处的切线4的斜率&〉0

所以〃乜）＞0,在f=q附近曲线上升，即函数/"）在"4附近单调递增.

由图可以看出，直线4的倾斜程度大于直线力的倾斜程度

这说明曲线万。）在A附近比在乙附近上升得快.

解析：由图象可知，函数y=/3）在［0,转）上单调递增

所以当x20时/V）＞0

即广⑴＞0/'⑵＞0r（3）＞0

又因为曲线在点（xj（x））处切线的斜率随着X的增大而减小

即y=/*）在点（乂/（幻）处切线的斜率随着X的增大而1成小

故广⑴＞尸（2）＞/'⑶＞0.

故选：A.

7.答案：4x+y-3=0

解析：由题意知：）/=Tx,则My=-4.

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所以曲线y=-2x2+1在点(1,-1)处的切线方程为

y+1=-4(x-])n4x+y-3=0.

8.答案：/(0.6)«0.3/(1.2)»0.2

解析：r(V)=:佟函数图象如下所示:

则/(0.6)。0.3产(1.2)b02

②习题

1.答案：10兀cm'/cm

解析：R=5cm时面积关于半径的瞬时变化率为Si=lim兀0+4*—

依=5A.v->0kR

=lim(KA/?+10兀)=1Oncm2/cm.

Ar->0

2.答案：20Krad/s

解析：依题意有好答

25兀i

25兀/入x2------r

25TI

夕⑷=lim3---------8——t

A-*oAr4

?5TT

夕(3.2)=——x3.2=20兀(rad/s)

4

即车轮转动开始后第3.2s时的瞬时角速度为20兀rad/s.

3.答案：C

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解析：考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示距学校的距离，由此可知，图象应为下降

趋势，A不符合，排除选项A.由题意可知，小明骑车上学，开始时匀速行驶可知图象开始一

段是沿直线下降，又途中停留了一段时间，故此时有一段函数图象与x轴平行，D不符合，排

除选项D.之后为了赶时间加快速度行驶，这一时间段图象下降速度的比一开始的下驿速度快，

因此B选项不正确，C选项正确.

4答案:见解析

解析：函数/3)在l=一5处切线的斜率/(-5)>0,曲线是上升的，即函数/(幻在y=-5附近

是单调递增的.

函数/(x)在x=-4处切线的斜率八-4)>0，曲线是上升的，即函数/*)在x=T附近是单调

递增的.

函数/*)在/=-2处斜率为0,所以函数/*)在％=-2附近几乎没有变化.

函数/(刈在x=O处切线的斜率/(0)<0,曲线是下降的，即函数/(x)在工=0附近是单调递减

的.

函数/(幻在l=1处切线的斜率/⑴<0,曲线是下降的，即函数在附近是单调递减

的.

5.答案：0=45。

।(1

22

解圻：切线的斜率-(l+Ar)-2--xl-2=limI—A.r4-1=1

k=lim-----------------——---------AI)12)

AIOAx

设切线倾斜角为a,则％=m|々=1

又口£[0。,180。].”=45。.

6.答案：150J

解析：s«)=limW/坦=2厂所以物体在第5s时的瞬时速度为s'(5)=10m/s，所

ATTOA/

2

以物体开始运动后第5s时的动能为Ek=lx3x10=150(J).

7.答案：见解析

解析：第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其函数尸。)的图

象如图(1)所示.

第二个函数的导数r(用恒大于答，并且随着x的增加，的值也在增加(如图⑵所示).

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第三个函数，当X小于零时，尸(X)小于零，当X大于零时，广(X)大于零，并且随着X的增加,

,(工)的值也在增加(如图(3)所示).

以下给出了满足上述条件的导函数图像中的一种.

布丑而7，/、1./?(，+△，)-〃⑺

解力：v=//(/)=hm—-----———

Av->0△/

[V.9(f+Ar)2+4.8(，+Az)+ll]-(^.9r2+4.8,+11)

Ar->0Af

v=-9.8r+4.8-

glim[-9.8(，+&)+4.8]-(-9.8"4.8)=.㈠⑻=_9>8

Ar->02AITO

.-.)/=-9.8.

9.答案：见解析

解析：由题意可知，函数/(用的图象在点(1,-5)处的切线斜率为-1,所以此点附近曲线呈下降

趋势，首先画出切线的图象，然后画出此点附近函数的图象.

同理可得(2)(3)某点处函数图象的大致形状.

下图是一种参考答案.

三、提升训练

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1.答案：B

/3AI

f_+AYI__I

解析：因为包=3——1―业=-心-3,所以lim包=—3.

ArAvAT。AX

2.答案：B

解析：lim"x°+”卜/。°一)

/i->oh

=1/2」伉+〃)一小。一功

，叫2/?

=2lim心止小则

…2/?

=2/5).

3.答案：A

解析：分别作曲线在/=〃x=bx=c三处的切线心/?和《，设切线的斜率分别为占，心

和勺.易知人<&<&,且/'(“)=《，f'3)=k?f\c)=k.所以广⑷v(S)〈:(c).故选

A.

4.答案:A

解析：・・・小)=所

Ar

一(x4-Ax)"+2—x2—2/j、

=lim---------------------=lim—Ax+x=x

Ar->oAr->012,

曲线/。)=匕+2在点处的切线的斜率为T,.•.切线的倾斜角为生.故选A.

2k2J4

5.答案：A

解析:由题知vlim^(X)~2=-2,曲线f(x)在x=2处的切线斜率为4=-2.又・・・/(2)=2,

XT2x-2

.•・切线过点(2,2),代入直线的点斜式方程得y—