人教A版高二数学上册选择性必修2《等比数列的前n项和公式》同步练习题（含答案）

人教A版高二上学期数学（选择性必修2）《4.3.2等比数列的前n项

和公式》同步练习题（含答案）

基础巩固

等比数列的前〃项和公式：Sn=（qW1）或Sn=（qW1）.

回归教材

①练习

1.已知数列｛《,｝是等比数列.

（1）若q=3q=2n=6求S”；

（2）若q=-2.7q=一；4=专求加

（3）若求与与

n+\_in+\

2.已知。。人，且他W0.对于“wN*,证明：/+，-%+优一2〃+.."i+/=n^———.

a-b

3.设等比数列｛4｝的前〃项和为S”，已知生=6,64+%=30.求。“和S”.

4.已知三个数成等比数列，它们的和等于14,积等于64.求这个等比数列的首项和公比.

5.如果一个等比数列前5项的和等于10,前10项的和等于50,那么这个数列的公比等于多少？

6.一个乒乓球从1m高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的0.61倍.

（1）当它第6次着地时，经过的总路程是多少（精确到1cm）?

（2）至少在第几次着地后，它经过的总路程能达到400cm?

7.其牛奶厂2015年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到

50%.每年年底扣除下一年的消费基金后，剩余资金投入再生产.这家牛奶厂每年应扣除多少消

费基金，才能实现经过5年资金达到2（）00万元的目标（精确到1万元）？

8.已知数列｛〃〃｝的前〃项和为S,,若S〃=2a〃+1,求S〃.

②习题

第1页共14页

1.已知数列｛q｝是等比数列.

(1)若4=64求《与S4；

(2)若％-q=15,a4-a2=6求〃3•

2.求和：

(1)(2-3x5-)+(4-3x5-2)+・・・+(2〃-3x5-”)；

(2)l+2x+3/++i.

3.已知S”是等比数列｛4｝的前〃项和，S3和SvS6成等差数列.求证：的和。8,生成等差数列.

4.求下列数列的一个通项公式和一个前〃项和公式：

1,11,111,1111,11111,....

5.若数列｛可｝的首项q=l,且满足《川=2%+1,求数列｛q｝的通项公式及前10项的和.

6.在流行病学中，基本传染数凡是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一

个感染者平均传染的人数.凡一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触

过程中传染的概率决定.假设其种传染病的基本传染数4=3.8,平均感染周期为7天，那么感

染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要几轮传染？需要多少天？(初始感染者传染&

个人为第一轮传染，这9个人每人再传染凡个人为第二轮传染……)

对于勺＞1,而且死亡

率较南的传染病，一般要隔

离感染者，以控制传染源，

切断传播途任.

7.已知数列｛q｝为等比数列q=1024,公比q.若7；是数列｛《,｝的前〃项积，求7；的最大

值.

提升训练

117

1.已知正项等比数列｛%｝中q=l,其前〃项和为S“，且'=巳，则§6=()

%%为

A.31B.32C.63D.64

2.设正项等比数列｛q｝的前〃项和为S”.若3s3=8生+5q,则数列｛q｝的公比是()

第2页共14页

A.2B.-，或2C.-D」或一2

333

3.已知数列｛〃〃｝满足q=1,log2a/J+1-log2an=1则数列｛4｝的前〃项和S”=（）

A.2,,+1-lB.2/,+,-2C.2n-1D.2n-2

4.英公司为庆祝公司成立九周年，特意制作了两个热气球，在气球上写着“九年耕松，硕果累

累”8个字.已知热气球在第一分钟内能上升30米，以后每分钟上升的高度都是前一分钟的2,

3

则该气球上升到70米高度至少要经过（）

A.3分钟B.4分钟C.5分钟D.6分钟

5.已知数列｛4｝满足凡*=3勺且q=-1,则数列+2〃｝的前5项和为（）

A.-151B.-91C.91D.I51

6.在公差不为零的等差数列｛qj中q=l,且4,小和小成等比数列，设数列｛2"“出｝的前〃

项和为7.，则4=（）

A.3X29+2B.11X27+8C.13X2X+2D.13X27+4

7.（多选）设S“是公比为正数等比数列｛〃〃｝的前〃项和，若%=；，则（）

264

19

A.4=—B.S,=—

4834

C.%।S“为常数D.｛S“-2｝为等比数列

8.（多选）设5“为数列｛叫的前几项和，已知q=3,V/n,//GNf顺）

A.&｝是等比数列Bq=54

C.%+/+%+%+“9=3'D.S“=3"

9.已知等比数列｛q｝的前〃项和为S“，若4-出=12,%-%=24则/-二.

10.给出定义：使数列｛4｝的前&项和为正整数的称为“好数”.已知数列｛《｝满足

=log,—,则在［1,2023］内的所有“好数”的和为.

一口启~助力1（）、"口［%+2,〃为奇数，

11.己知数列｛%｝满足4+2=化〃为偶数且4=1%=2.

（1）求数列｛凡｝的通项公式;

第3页共14页

（2）求数列｛生,一出“｝的前〃项和小

12.设数列｛an｝的前〃项和为S”,且满足S〃=24-1（〃G\）.

（1）求证：数列｛4｝是等比数列；

（2）数列也｝满足%且4=3.

（i）求数列出｝的通项公式；

（ii）若不等式1。82（，-2）＜±〃2+2对〃£2恒成立，求实数2的取值范围.

参考答案及解析

一、基础巩固

4（1W）a「a“q

"ql-q

二、回归教材

①练习

1.答案:（1）189

91

(2)

45

1

(3)«1=—,q=1或《=6q=—

22

解析：(1)因为q=34=2/?=6

4。一小）3x（l-26）2

可得反二看二-^二吃.

(2)因为〃]=一2.7,q=且a='•

3"90

第4页共14页

(3)设等比数列｛q｝的公比为q,因为%=]

当3=1时，可得为=〃3=]，此时§3=5，满足题意；

23

6=44=-

4

当夕W1时，可得

------------------------

\-q2

2.答案：证明见解析

nxn

解析：证明：记S“=a”+/-%+/=〃++ab~+b

因为且必产0,所以两边同乘以色，得：

b

〃+1

-S=—^an+an-b+abn

b"b

所以「/户

所以S“二

"+1_LH+I

所以〃〃+an~1b+an~2b2+…+abn~'+b"=，即证.

3.答案:当q=3,g=2时《=3x21\=3x（2w-l）；

;/

当q=2,4=3时an=2x3"“Sn=3-1

。q=6

解析：设｛〃”｝的公比为夕，由题设得＜

6%+。q-=30

解得1士或4=2

q=2[<7=3

n

当q=3,4=2时4“=3X2"TSn=3x（2-1）；

当4=2,g=3时Q=2X3"TS„=r-\.

4答案:见解析

解析：设这三个数分别为-y,z,则满足/=立

由题意可得x+y+z=14xyz=64

第5页共14页

联立方程组，可得x=2y=4z=8或x=8y=4z=2

当这三个数为x=2y=4z=8,可得这个等比数列的首项为2,公比为2；

当这三个数为x=8y=4z=2,可得这个等比数列的首项为8,公比为;.

5.答案：q=4,

解圻：依题意设数列的首项为4,公比为

q(i-0

则S,=10%

i-q*U

《01力

所以尸:5,即上W=5,所以(「</)。+'/)=5

.(1*)51-q'

"q

解得1+d=5,即“5=4,所求4=4；

6.答案：(1)386cm

(2)第8次

解析：(1)由题可知，每次落地的高度形成以1为首项，0.61为公比的等比数列

则当它第6次着地时，经过的总路程为

+0.6)l+2x吧13

1+2(0.61+0.612+h3.86m

71-0.61

所以当它第6次着地时，经过的总路程是386cm；

(2)由题意得l+2(0.61+0.6F+4-0.6r,-1)=l+2x°，61^1^1^>4

整理得0.61”0.025,所以〃28

则至少在第8次着地后，它经过的总路程能达到400cm.

7.答案：424万元

解析：设这家牛奶厂每年应扣除1万元消费基金，则：

第一年剩余资金为：1000(1+50%)-x=1000x2-x

2

第二年剩余资金为：fl000x--^x--x=1000xf->|-fl+-L

I2)2⑶I2)

第6页共14页

3

以此类推，第五年剩余资金为：1000XV+图++x

由题意知，1000x（|

1+刿-+扑眇©x=2000

5

3I-1

Li3

即x=IOOOx--2000,解得：x«424

3

2

故这家牛奶厂每年应扣除424万元消费基金.

n

8.答案:Sn=\-2

解析：当〃=1时：£=2q+1=>q=-1

当〃22时：S,=2〃”+l①

%=2%+1②

①-②-―nt2・

所以数列｛4｝为以-1为首项，2为公比等比数列.

所以S”=—------^=1-2M

1-2

②习题

1、(1)答案：q=-4S4=51

解析：由解得q=Y.

_q-。应_-1+64x4

==1—DI.

"q1+4

（2）答案：a.=-4

i

_q=15,i或'

解析：由题意知q=%

a4—%q=6,q=1

%=-16.

第7页共14页

当q=2,q=1时2=4;

当g=；a}=-16«3=-4.

2、(1)答案：〃(〃+1)一((1一5一”)

解析：(2-3X5-')+(4-3X5-2)+.-+(2〃-3乂5一”)

=(2+4++2〃)-3(57+5-2++5-")

=n(n+l)-3x------=n(n+1)—(1-5-”).

1-5一14，)

(2)答案：X~x，'--

(1-x)~1-J

解析：设S=l+2x+3d+…+加1，①

贝IxS=x+2工2+…+(〃-1)^1+nxH®

①•②，W(l-x)S=l+x+x2+•-+x,,_|.

当E时5=1+24-3++〃=〃5+1)；

2

当；vwl时(1-x)S=-nxn-WS=』一-

\-x(If1-x

3.答案：见解析

解析：证明：当q=l时§3=34Sg=9q$6=64不成等差数列不合题意舍去.

当"1时・.・邑S9§6成等差数列.•.2S9=S3+S6

.以4。-力，。-/)「(1-/)

.•4X--------------------------d--------------

\-q\-q\-q

：.2q9=q3十(『2/=l+q'两边同乘qq26/=qq+q/

/.2%=a2+a5：.a2ai%成等差数列.

4.答案:见解析

;,

解析：(方法一)。〃=11，・111=10"7+10"2+10”-3+.+1=i-io'io=2/10,,_1\

1-109、)

Sn=a]+a2+%+…

第8页共14页

=1[(101+102+103+

1O-1O,ZX1O)lO^'-lOn10n+,-9n-10

-----------------n=----------------=-----------------

911-10J81981

lll—4x99.・999一”(10〃-1).以下同方法

（方法二）4-11

k91L9、

5.答案：%=2"-100=2"-12

解析：令。什]+攵=2(。〃+%)《田=+k:.k=\

.•・•^^=2.•.{q+1}为等比数列，首项q+l=2,公比为2

n

.•.%+l=22i=2"/.an=2-l

2,0

，o=4+a2+'*+al0=（2'-l）+（2-1）+-••+（2-l）=

（2'+22++2l0）-10=22<2-10=2U-12.

\）1-2

6.答案：见解析

解析：由于一轮传染中，1人平均传染人人，那么由1个初始感染者经过一轮传染后有（1+%）

人被传染，经过两轮传染后有（1+与+后）人被传染，经过三轮传染后有（1+0+后+咫）人被

传染，……经过〃轮传染后有（1+/+咫+总++凡）人被传染.

〃〃

%=3.8,得1皆D」+1=上1O出Q_+l

由1+4+R；+咫+•・+《；=1000=1(X)()

一凡—2.8

1g2801.c

3.8'川二2801「•〃二।-1工471.9.

1g3.8

又〃EN，故当〃=5,即大约需5轮传染可使感染者增加到1000人.

需要5x7=35（天）.

55

7答案:2

(I.7-1

解析:4=4/=]024x-I=2,l-n

12

w(IO+ll-/i)-/r+2ln

_oio.29.28•2,l-w—2,0+9+8++("-〃)_22_2~

第9页共14页

当〃=10或11时7“最大，最大值为255.

三、提升训练

1.答案：C

I7

解析：设正项等比数列｛凡｝的公比为名">0）,由题意可得1-]=/，即夕2-4-2=0,解得

1_?6

4=2或4=-1（舍去），则$6=不二"=63做选C.

2.答案：A

解析：设等比数列｛4｝的公比为?因为3s3=8%+5%,圻以3（4+生+4）=8%+5q，所以

3生=5a24-2“，所以3。闻2=5〃闯+2q.又因为>0,所以3/=5〃+2,解得q=2或夕=—；（舍）,

故选A.

3.答案：C

Cl10a

解析：因为lOg?n+\~§2„=1

所以log,如=1,则如=2,所以数列｛%｝是以4=1为首项，2为公比的等比数列，所以

-a„an

1_0〃

S”=——=2n-l,故选C.

”1-2

4答案:B

解析：设%表示热气球在第〃分钟内上升的高度，由题意可得（〃之2,〃£N_）

4=30.所以前〃分钟热气球上升的总高度S〃=因为

SM—S〃=9O1|J—9（）停J=9（）1|）（1一|）>°,所以数列｛S〃｝为单调递增数列,又

«63.3<70S=901--«72.2>70所以该气球至少要经过4分钟才

4、3J

能上升到70米高度，故选B.

第10页共14页

5.答案：B

解析：数列｛q｝满足。向=〃〃，且4=-1，.•・数列｛《J是首项为-1，公比为3的等比数列,

狐=-1X3”T=-3〃T数列｛an+2〃｝的前5项和为

§5=(-3。+2)+(-3'+4)+(-32+6)+(-33+8)+(-34+10)

TX(1-3)+(2+[0"5=_]2]+3()=_9].故选8.

=(-30-31-32-33-34)+(2+4+6+8+10)=

1-32

6.答案：C

解圻：设等差数列｛4｝的公差为或1。0)由q%生成等比数列得代=卬93即

(\-2d)2=l+12d解得d=2或d=0(舍去)所以凡=2〃-1从而=(2〃+1)-2".故

1=3x21+5x2?+7x2，+…+(2〃+1>2"27；=3x2?+5x23+…+(2〃-1>2"+(2〃+1)・2向

两式相减得—7；=3x2i+2x2?+2x23+…+2x2"—(2〃+1)・2向

,2_)"+1

=6+2x—一(2〃+1)・2用=一(2〃-1)-2向一2所以7；=(2〃-1)-2田+2所以

7；=13X28+2.

7.答案：ACD

解析：设｛q｝公比为q(g>0)

则见。,生解得9

VzT乙

1

故图=。2。2”-1

1

！

则%=1S”=2”=2

,4

对A,4=*=(故A正确;

对B,=-故B错误;

224

对C,%+S〃=F+2一Q/l-\I=2为常数，故C正确;

对DS「2=—5鸟让2

,-22

第II页共14页

故｛5“-2｝为等比数列，故D正确;

故选：ACD

8.答案：BD

解析：令〃2=1,得S“+[=S〃S]=S“q=3S〃，又S]=qwO,所以｛S〃｝是首项为3,公比为3的

等比数列，所以S“二3〃，所以D正确.4=54-53=34-33=54,所以8正确.由生=52-工=6,

a3=53-52=l8可得蟾工q6，所以｛q｝不是等比数列，所以A错误.

%+%+/+%+。9=S9-S4=39-34=3S>38,所以C错误.

9.答案：3

解析：由数列｛4｝为等比数列，设其公比为小又4-4=12,则

%-%=4q-%q=8一%)q=12q=24，解得4=2，所以q-%-44=64=12,则q=2,

5

所以q=q/T=2",.「"J")=2(1—2)=2〃+-2所以％=8S4=2-2=30所以

1-q1-2

工=-3.

4+62+8

1().答案：2026

解析：设数列｛为｝的前〃项和为S”，则S〃=

34〃+234〃+2

5%+4-10g—=10g-X—X,•X-----------

2223n+\

〃+2

=1呜=log(n+2)-log2=log(n+2)-1,所以&=log2(2+2)-l.因为％wN,所以

2222

>0一定成立.要使耳为正整数，需log2（女+2）为正整数,令m=log2（2+2）,znwN*则

k=2m-2,因为攵w[l,2023],所以2'"w[3,2025]因为y=2'为增函数且2:2

22=4...2'°=10242"=2048所以〃，£[2,10]mEN，所以[1,2023]内的所有

72_O10v?

“好数”的和为22-2+23-2++2,0-2=----------2x9=2026.