江苏省南通某中学2025-2026学年高一年级上册第二次月考数学试卷（解析版）

南通第一中学2025-2026学年度第一学期第二次月考

高一年级学情调研(数学)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四十选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设全集U与集合M,N的关系如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是()

U

A.MCNB.MuNC.(“W)cND.(Q")5V

【答案】C

【解析】

【分析】根据Venn图研究集合之间的运算即可.

【详解】根据图中所示，阴影部分表示的是从集合U中去掉"，

然后与集合N的公共部分，即(a“)cN.

故选：C.

2.函数/(x)=k)g2(x+2)+L的定义域是()

x

A.{x\x>-2}B.{x|x>-2}

C.{x|xN-2且xwO}D.口口>一2且XH()}

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可.

【详解】解：函数/(x)=log,(x+2)+L,

X

&+2>0

则：.,解得x>-2且XHO.

故选:D.

3.“a＜力”是“sina〈sin尸”的()条件

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A.充分不必要B.必要不充分C.既不充分也不必要D.充要

【答案】C

【解析】

【分析】根据充分性、必要性的定义判断即可.

【详解】由a<夕得不到sinavsin/J,

7F

如二=一，/3=虱,满足二<〃，但是sina>sin尸，故充分性不成立；

6

由sin。<sinP也得不到a<p,

如。=手，/?=-,满足sina<sin〃，但是a>/,故必要性不成立；

62

所以“a<p”是“sina<sin的既不充分也不必要条件.

故选:C

4.若4>0,y>0,〃WN*，则下列各式中，恒等的是（）

A.lgxlgj/=lgx+lg^B.

_.-InxInx.x

C.Inx"=---D.——=ln-

nnn

【答案】C

【解析】

【分析】

根据对数的运算法则，逐个选项验证即可

【详解】对于A,Igx+lgy=lg.ry,所以，A错；

对于B,lgf=21gx,所以，B错;

对干c,lnx«=lln.r=—,所以，C对：

nn

Inx—

对于D,—=lnx%所以，口错・；

n

故选：C

5.下列区间中，一定存在函数/（iQOot零点的是（）

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A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

【解析】

【分析】判断出函数的单调性，根据零点存在定理判断即可.

【详解】因为函数xeR,

又因为y=e*与y=x-4在R上均单调递增，

所以函数/QQOOI在R上单调递增，

又因为/(l)=e-3<0,/(2)=e2-2>0,

所以函数的唯一零点在区间(1,2)内.

故选:B.

6.函数/(x)=log°(4x-3)+l(4>0且a工1)的图象定点”(〃?,〃)，若对任意正数也几都有机x+，沙=3,

则一1十，的最小值为()

x+1y

A.4B.2C.yD.I

【答案】D

【解析】

【分析】由log.1=0得/(x)过定点(1/)，则x+y=3,再由“1”的代换，利用基本不等式求最值.

【详解】S/(x)=loga(4x-3)+1(4〉0且awl),

令4x-3=l,则x=l,/'(l)=log,」+l=1,

即了⑴的图象恒过定点4(1/)，则〃?=1,〃=1,

由阳x+〃y=3,所以x+y=3,-------=1,

4

又x+l>0,y>0,

111(\

则］+—=注+1+>)-

x+1y4l^x+1yJ

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1(,ix+1yx+\y

.1+1+----4-^—2+2=1,

yx+1yx+1

当且仅当x下+\二六y？叫X=1

，时，等号成立.

y=2

故选：D.

7.已知，b=log20.3,a",则。,b,c的大小关系是

A.a<h<cB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b

【答案】C

【解^5]

【分析】由指数函数的性质可得;<。<1,由对数函数的性质可得6<0,化简=0.3-，由指数函

4

数的性质可得03《>03。=1，从而可得结果.

1\0.5

【详解】•:a=>b-log,0.3,c=ab

2；

1\0.51

<=1,Z)=log20.3<log2l=0,

2J

।\0.5xlog0.3-10g10.32

21—1=0.33>0.3°=1

-T-r

2;22

/J\logi0-30.3彳

'-h<a<c.

故选:C.

【点睛】本题主要考查利用对数函数和指数函数的单调性比较大小，考查逻辑思维能力和运算求解能力,

属干常考题.

|log2x|,0<x<4

8.函数/(x)=,

.71兀4<E<14,若方程/（"）=〃'有四个不等的实根玉广2，毛，/，且

4Asin—x+一

(66J

X,<x2<x3<x4,则下列结论正确的是（）

A.0</«<2B.王玉=2C.x3+x4=16D.七与取值范围为（°，5）

【答案】C

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【解析】

【分析】利用对数函数与正弦函数的性质作出/(X)的图象，结合图象对选项逐一分析即可得解.

【详解】对于A,当Ovxvl时，log2x<0,则/(x)=Tog2X=bg1x,

2

易得/(x)在(0,1)上单调递减，且/(X)>/(1)=0,

当lWx<4时，log2x>0,则/(x)=k)g2X,

易得/(x)在［1,4)上单调递增，且/⑴4/(x)</(4),lip0</(x)<2,

当44x414时，/(x)=4sin+7

(66；

则由正弦函数的性质可得/'(x)在［4,8)上单调递减，在［8,14］上单调递增，

且f(4)=4sin得+今)=2,/(5)=4sin(*S=0,/⑻=4sin倍+高=-4,

7n兀］1IK7t

/(14)=4sin一+—=4,/'(ll)=4sin---4--=0,

36)<66

因为方程/。)二加有四个不等的实根，所以/("与>=机的图像有四个交点,

所以07m<2,故A错误;

对干B,结合选项A中分析可得Tog?%1=log2x2,

所以1。82玉工2=0，则再々=1，放B错误；

对于C,由正弦函数的性质结合图像可知(七,〃?)与(乙，〃?)关于X=8对称,

所以演+占=16,故C正确;

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对于D,当0cx<1时，/(%)=1吨产，

2

令/(x)=2,得x=;,所以;<玉<1,4<x3<5,

又由图像可知内,七同增同减，所以王七€(1，5)，故D错误.

故选:C.

【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断有以下方法，

(1)直接求零点：令/(x)=0,如果能求出解，则有几个解就有几个零点；

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间［。力］」二是连续不断的曲线，且/(。>/伍)<0,还必

须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；

(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不

同的值，就有几个不同的零点.

二、选择题：本题共3小题.每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，

9.下列命题中正确的是()

A.点(3，0)是函数/(x)=tan的一个对称中心

12I3,

B.函数/(x)=lg(x2+〃x+a)的值域为凡则.24或

C.若圆心角为£的扇形的弧长为左，则该扇形面积为空

33

D.tan1.5>sin1.5>cos1.5

【答案】ABD

【解析】

【分析】由正切函数的对称中心方程可验证A,由复合型对数函数值域为R可得;/=/+办+。的值域包

含(0,+8),则△="—4〃20,可解B选项；由扇形的弧长与面积公式可求C,利用三角函数的图象与性

质可求D.

【详解】对于A,令2乂-三=空,ksZ,得工=乞+色，keZ,

3246

当i=l时，x=y|,所以点是函数/'(X)的图象的一个对称中心，故A正确;

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对于B,因为函数/（x）=lg（x’十4X十。）的值域为K,所以△=后一4〃2。，解得。£0或。24,故B

正确；

兀

7T----=J2

对于C,圆心角为；的扇形的弧长为兀，所以扇形的半径长为兀

3

13兀

则该扇形面积为一'3乂兀=——，故C错误；

22

对于D,因为一<1.5V—，

32

所以在<sin1.5<1,0<cos1.5<—,tan1.5>>/3，

22

所以tanl.5>sinl.5>cosl.5,故D正确;

故选：ABD.

10.将函数/（x）的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移?个单位，得到函数g（”=sin（2x+e）

（0<°<、）的部分图象（如图所示）.对于V*,X2且芮，Z若8（菁）=8（与），都有

g（X[+x2）=成立，则（）

..71

/(x)=sin

I4x---3-

y上单调递增

C.g(x)在

448"

函数/(%)在

D.0,--的零点为占，工2，L,X”,则X]+2占+2X3+…+2尤“_]+x,r

1乙

【答案】ABD

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【解析】

【详解】对于A,由题意可知函数g(x)=sin(2x+0)(0<ev]的图象在区间可上的对称轴为直线

x=''；%，又g(X+X2)=W,所以g(0)=g(F+/)=§,所以sin°=*,0<①

①唉,故g(x)=

sinI2x+—3j,A正确;

对于B,g(x)=sin(2x+(71J右移。个单位得到函数y=sin(2x-q71J的图象，再将其横坐标缩短为原来

33

71\

的g得至U/(x)=sin14x-§J的图象，故B正确:

5乃

对于C,令---F2A乃<2x+一<一+2A4，keZ,得一vk/r<x<—+k7rksZ,当％=1时,

2321212f

/、77137r上单调递增，而，鸟310号者

，所以g")在—,故C错误,

12121乙1乙2

对于D,令f=4x-7TX,则Z£—£,5乃,函数y=sinf在一9，54上有6个零点

，L，〃，则

33

‘I+'2=4，GG=3)，G+/4=54，6+&=77,&+%=9不,

故％+2r,+2j+24+2j+，6=4(2+2x,+2x^+2x4+2x§+4)-10x—=257r,

85

所以X]+2々+29+…+2七1+xn=;乃，故D正确;

1乙

故选：ABD.

H.空旷的田野上两根电线杆之间的电线有相似的曲线形态.这些曲线在数学上称为悬链线.悬链线在工程上

有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为/(x)=〃ev+加(其中。，/)为非零常数),

则对于函数歹=/(x)以下结论正确的是()

A.若a+b=O,则y=/(x)为奇函数

B.若。=11=2,则函数y=/(x)-3的零点为ln2

C.若仍=1,则函数y=/(x)的最小值为2

D.y=/(x)为奇函数，旦3xe(-8,0),使得€2、+©2+/(%)40成立，贝I」。的最小值为2&

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【答案】AD

【解析】

【分析】由奇偶性判断A,直接解出零点判断B,利用基本不等式求值域判断C,由奇函数求得力=-0,对

不等式能成立，进行分离参数转亿为求函数的最值得参数范围，从而判断D.

【详解】对于A,当。=一。时，f(x)=acx+bex=acx-ae\函数定义域为R,

所以/(・x)=。口+加'=四-"・，/(x)+/(-x)=0,为奇函数，故A正确；

对于B,若a=l,b=2,/(x)=e'+2e',

则函数尸e'+2eT—3=0,整理得(e'『-3e'+2=0,即(/f(e'-2)=0,

解得x=0,x=ln2,所以函数y=/(x)—3的零点为0和M2,故B错误；

对于C,若ab=1,则/(无)=。炉-1——,

当〃>0时，acx+—!—32.aex=2,当且仅当〃e'=-即x=-ln。时等号成立，

*V/府

当。<0时，四"+二一£・2」(・/)二-2,当且仅当一起'即x=・ln(-q)时等号成立；

aexV)・ae一一*

所以/(x)1(-¥,-2]U[2,+¥),故C错误；

对于D,若y=/(x)为奇函数，则/(x)+/(—x)=0,

所以ad+6。"+〃e-x+bcx=(a+b)ex+(a+b)e'x=0,

所以a+8=0,则/(x)=ae'-oe'

若女e(e,0)使e2v+eqx+/(”<0成立，

则e2、+e-2x+qex—ae-'WO，

若工£(YO,0),则x<-x,e'C

所以e'-e-'<0，即〃N_cf=卜一,七)+2=K-X_e\+2能成立，

ev-e-xe-x-evv)ex-QX

又⑹、一e,)+322新一门：=2血，

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当且仅当（eT-e'）=-；j时，即1=>一加时,等号成立，

所以2近，则。的最小值为2夜，故D正确.

故选：AD

【点睛】方法点睛：对不等式恒成立或能成立问题，常用方法是分离参数，例如化为然后求/（X）

的最值,如果是恒成立，«>/（A）limx,如果是能成立,则42/（注皿,其他形式类推.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知函数/（0是定义在R上的奇函数,当X£（TO,0）时，/（x）=2F-3x+l,则/（3）=.

【答案】44

【解析】

【分析】根据奇函数的定义运算求解.

【详解】由题意可得：/（3）=-/（—3）=-（-54+9+1）=44.

故答案为：44.

13.若幕函数>=/八2吁3（机wN"）的图象关于P轴对称，且在（0,+8）上单调递减，则满足

（。+l）-w>（3-2〃尸的a的取值范围为.

【答案】卜

【解析】

【分析】先由函数单调性得〃，一2〃7-3<0,进而求出〃7=1或2,接着由哥函数奇偶性得加=1,再结合

函数y=X-1的单调性分类讨论即可解不等式（a+>（3-20。

【详解】因为寻函数y=xnt2-2m~\m£N*）在（0,+8）上单调递减，

所以加2—2m—3<0»解得-1<w<3,

又用wN*，所以机=1或2,

当加=1时，，塞函数为y=<4,图象关于），轴对称，满足题意；

当加=2时，幕函数为>二厂3,弱象不关于》轴对称，舍去，

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所以m=1,不等式(Q+l)f>(3—2〃)f为(。+1尸>(3-2。尸,

因为函数》=.「在（一8,0）和（。,+8）上单调递减,

所以。+1＜3-2。＜0或3-2。〉。+1＞0或3-2。＜0＜。+1,

23

解得一1<〃<一或—.

32

14.若对于小R,总举，使得SM―,则实数机的最小值为

2

【答案】学

4

【解^5]

7T

【分析】根据正弦函数性质解不等式'由题意4+夕〃7+°C—+2ZTC,—+2XTT#0,列不等式求

44

解即可得解.

【详解】因为sinxW也，所以一2+2依:=+2而:火EZ,

244

所以sinxW■的解集为——42Z^i,—+2^71,kE.Z,

2L44J

兀

对干W，wR,总—+0,m+0使得sinx<—，

42

色+a〃?+ec2+247i,q+2ATTW0,keZ，

所以VOwR,

444

所以（〃?+夕）一；+夕）=〃7—：2一手+2（%+1）兀一；+24兀）=],

所以加之丁，即实数”的最小值为:

44

故答案为：—

4

四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤.

3兀110

15.已知一＜a＜n,tana+----=---.

4tana3

(1)求tana的值;

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sin信+a]—cos偿+a

（2）求（2J12的值;

sin（兀-a）+cos（兀-a）

（3）求2sin?a-sinacosa-3cos2a的值.

【答案】（1）

3

（2）--

2

⑶.U

5

【解析】

3兀

【分析】（1）由题意可得3tan%+l°tana+3=°’结合彳＜°＜兀,解一元二次方程即可得出答案;

（2）由诱导公式、弦化切可化简为匕华，可得答案;

tana-1

（3）将所求式子利用同角三角函数的平方关系恒等变形后除以cos?a化为2tan?tana-3,即可得出

tan~a+1

答案.

【小问1详解】

,110r乃2,10

由lana+-------------可得：tan'a+\=-----tana,

tana33

即3tan?a+10tana+3=0，解得：tana=-§或tana=-3

3兀1

因为一＜。＜兀，所以一l＜tana＜0,所以tana=一—

43

【小问2详解】

7171

sin—+a-cos—+a

22cosa+sina1+tana

sin（兀-a）+cos（兀-c）sine-cosatana—1

【小问3详解】

c.2.c22sin2«-sinacosa-3cos2a2tan2a-tana-3

2sina-sincrcoscr-3cosa----------------------------；-------------=------------；-------------

sin~6?+cos~atan~a+l

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16.已知函数/（x）=J5si•nc2x+—兀.

<4，

(1)求/(x)的对称中心及/(x)的单调递增区间；

(2)求/(x)在区间0,；上的最大值和最小值，以及取最值时x的值.

(3)已知。£佰，等)，/佟」］=在，求cosja-J的值.

11212)/6J5I12J

37r.71,._

（发］⑴0eZ;——+E,—+E,ArGZ

jr^r88

(2)x=9时/(x)有最大值0；x=§时/(x)有最小值一1.

82

⑶亚

10

【解析】

【分析】(1)结合正弦函数的对•称中心和单调性求解;

71

⑵求出2"”勺范围，结合正弦函数图象可得;

(3)根据条件求出sina-2—,再结合。的范围以及同角三角函数的关系求出即可.

I1210

【小问1详解】

令2x十工二依，4cZ,得工=一'+红，4wZ,

482

(TTK7TI

则/'(x)的对称中心为|一1+万,0.€Z；

令一工+2E<2x+—<—+2kji,keZ,得——-+kTt<x<—+kji,keZ,

24288

故/,（X）的单调递增区间为-9+伍不+〃兀、kwZ;

OO

【小问2详解】

八兀r,八71兀5兀

XW°,不，则2x十:,

L2J4|_44」

结合正弦函数图象可知，当2"；二弓即x=9时，/(力有最大值近；

42o

当2x+：=■^即工4时，/(X)有最小值—1.

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I2j5

过点P的一直线与走廊的外侧两边交于

7T

4B两点,且与走廊的一边的夹角为。o<6^<-

【2）

（1）将线段的长度/表示为6的函数；

（2）一根长度为5米的铁棒能否水平（即铁棒与地面平行）通过该直角走廊？并说明理由.（铁棒的粗细忽略

不计）

【答案】（1）+cos夕,其中0<。<生（2）长度为5米的铁棒能水平通过该直角走廊.见解

singcos。2

析

【解析】

【分析】

（1）由题意可知/二三十三=2（涧8+co*,即可求得答案；

sin0cos〃sin6/cos（7

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(2)因为/=2(sin2+c°s"),设，=sing+cos。=亚sin(6+f],结合已知，即可求得答案.

sin夕•cos夕<4J

【详解】(1)由题意可知/二三十七=2®n8+co*,其中0<。〈工

sin夕cos夕sin6/cos6/2

.,_2(sing+cos。)

.•/一■

sin。cos。

.2(sin，+cos。)

(2)I=-------------------

sincos0

设z=sin8+cos<9=^2sin0+—

\4

冗

v0<O<-,

2

n八冗3九

二.—<0+—<——

444

V/G(1,V2]

At4

I=------=------

•••/_11

l---

t

•・•/—；在(i,J5]上是增函数,

••i—的最大值为

t2

,=4

.」一】的最小值为4匹

I---

I

4亚>5，

故长度为5米的铁棒能水平通过该直角走廊.

【点睛】本题解题关键是掌握三角函数基础知识和灵活使用“还原法”，考查了分析能力和计算能力，属于中

档题

18.已知函数/（x）=2、-祟是定义在R上的奇函数.

（1）求。的值，判断并用定义证明/（X）的单调性；

（2）若空0,解关于x的不等式/（a?-枕）+/（l—x）＜0.

（3）若对任意的再，丫卜羽时，不等式|/（菁）|-|/（讣〃?+£恒成立，求实数〃?的取值范围.

【答案】（1）。=1；见解析.

第15页/共19页

3、/31

(2)见解析(3)(-8,-3]U--,0U|o，aU[3,十8)

【解析】

【分析】(1)由奇函数的性质/(0)=0求得解析式，然后根据单调性的定义证明单调性；

(2)利用奇偶性与单调性转化问题为解不等式分，=1,r〉l解一元二次不等式

即可；

9

⑶问题转化为〃?+茄"$一〃内"+2,1],再解一元二次不等式即可.

【小问1详解】

因为函数/")=2"一卷是定义在R上的奇函数，所以/'(0)=0,

即2°-*=0,解得。=1,所以/。)二2、一(，

即/3)=2、-2一、，则/(-工)=2-、-2、=一/(%)，符合题意,

1&$)=⑵-2力(1+d),

VXj,x2wR,令再<%2,则/区)一/(12)=2*

因为王<々，所以2%<2电，则2士一2、2<0，因为1+…>°，所以/(不)一/(x2)<。，

21-22

所以/(X)在R上单调递增.

【小问2详解】

因为/(%)在定义域上单调递增,又为(力是定义在R上的奇函数,

由f一拉)+/07)<0可得：/,一一及)〈一=

即以2-a<X-l，即(戊一1)(工-1)<0,

若2>0,方程(戊-1)(1)=0为两根为玉=)2=1,

当1=1时，不等式变为(X-1)2<0,不等式的解集为空集；

当1〉1时，则，<1,不等式的解集为化11；

iV

\(1、

当0<£<1时，则；>1,不等式的解集为],力；

第16页/共19页

综上；当，=1时，不等式的解集为空集;

/>1时，不等式的解集为

当0</<1时，不等式的解集为

【小问3详解】

若对任意的心与£卜2,1］时，不等式|/(玉)卜|/(%)上〃?+*恒成立,

贝情m+'h川/⑺卜小忆恒成立，

因为/(x)在R上单调递增，

当xu［-2,1］时，/(x)c,所以|/(x)|u0,3,

所以(|/(占)卜|/仁)%=*所以卜+.卜学恒成立，

9153

当〃7>0时，W+--—>化笥得4〃尸一15”?+920,解得〃!23或0<机W;，

4m44

9153

当用<0时，有-〃?-丁2二，化简得4〃，+15”+920,解得一或〃2«—3,

4/〃44

综上得〃?的取值范围是(一%-3卜-［，。［。(。怖0以+⑹，

19.已知函数/(x)满足/(x)+2/'(—x)=3d+2x+3,函数g(x)="».

x

(1)求函数/(X)的解析式；

(2)若不等式g(log2X)-8og/WO在X£［4,8］上恒成立，求实数A的取值范围；

(3)若关于x的方程2g(|lnx|