天津和平区2025-2026学年上学期八年级数学期末卷（解析版）

和平区数学2025-2026第一学期期末考试

本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分.第I卷为第1页至第3页，第n

卷为第3页至第6页.试卷满分100分.考试时间100分钟.祝你考试顺利！

第I卷

注意事项：

1.每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点.

2.本卷共12题，共36分.

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是•）.

知物由。学

【答案】c

【解析】

【分析】本题考杳了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.根

据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫

做对称轴进行分析即可.

【详解】解：A、B、D选项中的汉字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能

够互相重合，所以不是轴对称图形；

C选项中的汉字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称

图形；

故选：C.

2.如图，为了估计池塘岸边A,8的距离，小天在池塘的一侧选取一点O,测得OA=9米，03=5米，

A,3之间的距离可能是（）

A.4米B.13米C.14米D.15米

【答案】B

【解析】

【分析1本题考查/三角形三边关系，正确理解题意是解题的关键.

连接AB，根据三角形的三边关系，可得到AB的取值范围即可获得答案.

【详解】解：如下图，连接

解得4vA8vl4，

综上所述，A选项、C选项、D选项错误，不符合题意，选项B正确，符合题意.

故选:B.

3.在全球范围内，我国北斗卫星导航系统授时精度优丁0.00000002s,用科学记数法表示0.00000002

为()

A.2x10-7B.2xl()TC.0.2x10-7D.0.2x10-8

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法表示较小的数时，形式为axl(T，其中1«时＜1(),

〃为原数中第一个非零数字前所有零的个数即可.

【详解】解：•原数0.00000002的第一个非零数字是2,其前面有8个零，

=8,且。=2满足1«时＜10,

・•・0.00000002=2x10-8.

故选：B.

4・计算—的结果等于()

CT-1＜7+1

D.1

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查分式的加法运算，先通分化为同分母，再进行计算，最后约分化简即可.

21

【详解】解：原式=(”次+产］

=----------------------1-----------------------

(a-!)(«+1)+

_2+(〃-1)

(。-1)(。+1)

_a+1

---1--•

a-\

故选A.

5.如图，在V43c中，ZBAC=9(r,4。是斜边5c上的高，DEJ.AB于点E.若NC=58。，则

/ADE的度数是().

A.29°B.30°C.32°D.58°

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查，直角三角形中，两锐角互余，根据题意可得NBA0=NC=58。，再结合。石_/4区,

则ZAOE+NE4O=90。，BPZADE=90°-58°=32°.

【详解】A。是斜边8C上的高，

ADA.BC,

NC4O+NC=90。，

•.ABAC=NCAD+/BAD=90。，

ZBAD=ZC=58°，

：DELAB,

:.ZADE+ZEAD=90°,

,\ZADE=90°-58°=32°.

故选：C.

6.下列计算正确的是()

A.B.（-3a）~=6c/

C.(-2x)(x2-x)=-2x3-2x2D.（。+2）（2-4）=4一/

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查整式的运算，包括同底数幕乘法、积的乘方、单项式乘多项式以及平方差公式的应用，掌

握相关运算法则是解题的关键.

根据运算法则逐项计算判断即可.

【详解】解：选项A：〃./=1+3=/0.3,故A错误；

选项B：(―3。)2=(—3)2・/=9。2w6a2,故B错误；

选项C：(-2x)(x2-x)=(-2x)•x2+(-2x)-(-x)=-2x3+2x2^-2x3-2x2,故C错误；

选项D：(4+2)(2—4)=(2+〃)(2—a)=2?—/=4一片，故D正确.

故选：D.

7.如图，AC±BC,BD±AD,垂足分别为C,。，添加下列条件中的一个后，能判定VABC与

■84。全等的有()

®/ABC=ABAD,②4BAC=/ABD；③47)=BC；®AC=BD.

A.I个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【解析】

【分析】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理.

根据已知条件与全等三角形的判定定理即可分别判断求解.

【详解】解：・・・NC=NO=90。，AB=AB,

:.①ZABC=/BAD,可用AAS判定YABC与aBAD全等;

②ABAC=ZABD,可用AAS判定&BAC与全等即VA8C与_BAD全等；

③A0=3C,可用HL判定VABC与一皿)全等；

@AC=BD,可用HL判定VABC与二84。全等.

故选:D.

8.如图，点。在/AOB的边03上，用尺规作图：

①以点。为圆心，以任意长为半径画弧，交。4于点O,交OB千点、E；②以点。为圆心，以OO的长为

半径画弧，交CB于息F；③以点尸为圆心，以OE的长为半径画弧，交前弧于点P；④作射线CP.下列

结论不一定正确的是()

A.DE=OEB.OD=CPC.AO//CPD.ZAOE=^PCF

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及角的尺规作图，熟练掌握全等三角形的性质与判定及角

的尺规作图是解题的关键；由题意易得，石乌“Y>(SSS),则有NAOE=NPb,然后问题可求解.

【详解】解：由作图可知：0D=0E=CP=CF、DE=PF,

ADOE^：POF（SSS）,

・•・4OE=/PCF,

：.AO//CP.

综上所述：DE=OE不一定成立;

故选A.

9.下列计算正确的是（）

A3"0.5J3a+5”

0.2a-b2a-b（x+y）-x+y

c（）

--2x-2=-4D.（67—3）°=1（a工3）

X

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查分式的恒等变形，涉及分式性质，熟记分式性质，逐项验证是解决问题的关键.

逐一验证各选项，A、B、C选项均存在计算错误，D选项符合零指数制定义.

【详解】对于A,取。左边=三"二兰=一4.375,右边二之地=8,不相等:

0.2-1-0.82-1

|1）211

对于B,取x=2,y=l,左边=3=二，右边=彳，不相等；

⑶-93

左边（一2"~G=3,右边，不相等;

对于c,

对千D,当时，。一3H0,（«-3）°=1,正确.

故选：D.

10.某工厂现在平均每天比原计划多生产a台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机

器所需时间相同，设现在平均每天生产x台机器,可列方程为（）

600450600450―600450600450

A.——=----B.----=——C.----=----D.——=----

xx-ax-axx+axxXA-a

【答案】A

【解析】

【分析】此题主要考查了列分式方程的应用，根据现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的

时间相同，列出方程即可.

【详解】解：设现在平均每天生产x台机器，则原来平均每天可生产X-。台.

……曰600450

依题总得：----=-------

xx-a

故选：A.

11.如图，由4个全等小长方形与1个小正方形拼成一个大正方形图案.分别用dbka>b）表示小长

方形的长和宽，已知。+匕=9,阴影部分小正方形的边长为3,则下列关系式中错误的是（）

A.（a-b）2=9B.a2-b2=27C.a2=81D.4ab+9=81

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了完全平方公式的应用，利用数形结合分析问题是解题的关键.

根据完全平方公式及图形的特点找到长度与面积的关系即可依次判断.

【详解】解：由图可知大正方形图案边长为。+人=9,面积为（。+。）2=81,

A、阴影部分小正方形的边长为〃一〃=3,则面积为（。一〃I=9,故A正确，不符合题意；

B、a2-b2=（a+b）（a-b）=9x3=27,故B正确，不符合题意；

C、由（。+6）2=/+2（出+/=81①，（〃一〃）2=々2-2。6+62=9②，

史卢得：4/2+/72=1（81+9）=45,故C错误，符合题意；

D、①一②得：44b=81—9=72,则4。〃+9=81,故D正确，不符合题意；

故选：C.

12.如图，在VA3C中，NA8C和NAC3的角平分线交于点。，A3经过点。与3C交于点O,以

AO为边向两侧作等边VAOE和等边△/!£）「，分别和A4,AC交于点G,H,连接G”.若

ZMC=60%AB=x,AC=ytAD=z.有下列结论：①N3O。等于120。；②二4G月是等边三角

形；③。G=；z；®SABC=—[x+y）z.其中，正确的结论的有（）

A.I个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，三

角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键.

先求出NABC+NAC3=120。，再根据角平分线的定义得NOBC+NOCB=L（NABC+NA。），根据

2

三角形内角和定理解答①；先说明40平分/84C,可得N8AO=NC4O=30。，再根据“角边角”证

明aEAG会△£4”,得出AG=A〃，解答②；根据含30。直角三角形的性质解答③；先说明

DG=DH=；Z,再根据5人腕=5"/>+548=；八306+；400〃解答@即可.

乙乙乙

【详解】解：・.・NK4C=60。，

・•・ZABC+CZ?-180°-60°-120°.

，：AABC,NAC3的角平分线交于点。，

・•・AOBC=-NABC,NOCB=-ZACBt

22

・•・/OBC+NOCB=1(ZABC+NACB)=60°,

・•・4BOC=180。一(NOBC+NOCB)=120°.

则①正确；

*/ZABC,/AC8的角平分线交于点O,ZBAC=60°,

・・・4。平分/84。，

・•・ZBAO=ZCAO=30°.

•・•尸都是等边三角形，

AAD=AE=AFZDAE=NDAF=60。=NE=NF=ZADG,

:./E4G=NE4H=30°,

A,EAG^FAH(ASA),

AAG=AH,

・・・LAGH是等边三角形.

则②正确：

VZA£>G=60°,ZDAG=30°.

:.ZAG。=90。.

在RtuADG中，DG=-AD=-z.

22

则③正确；

由上述可知ZAGD=ZAHD=90°,

・.•AO平分NK4C,

:.DG=DH=-z,

2

・•・S.ABC=SABD+S++=)Z.

乙乙乙乙乙乙•

则④不正确.

所以正确的有①@共3个.

故选：c.

第n卷

注意事项：

1.用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上(作图可用2B铅笔).

2.本卷共13题，共64分.

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

13.点(—2,3)关于x轴对称点的坐标是.

【答案】(―2,-3)

【解析】

【分析】本题考杳了关于工轴对称点的性质，正确记忆横坐标和纵坐标的符号是解题关键，关于工轴对称

点的坐标特点，横坐标不变，纵坐标互为相反数.直接利用关于x轴对称点的性质得出答案.

【详解】解：点(-2,3)关于工轴对称时，横坐标-2保持不变，纵坐标3变为其相反数-3,因此对称点的

坐标为(-2,-3).

故答案为:(-2,-3).

14.若分式凶二3的值为0,则x=.

3-x

【答案】-3

【解析】

LI-3t|%|-3=0

【分析】由分式□—的值为0,可得R1,再解方程与不等式即可得到答案.

3-xp-x?0

【详解】解：•・•分式匹士值为o,

3-x

、时3=0①

h-%?o②

由①得：x=±3,

由②得：XH3,

综上：x=-3.

故答案为：—3

【点睛】本题考查的是分式的值为0的条件，掌握“分式的值为0,则分子为0,而分母不为0”是解本题

的关键.

15.如图，一棵竖直的树在一次大风中离地面2.5米处折断倒下，倒下部分与地面成3()。角，这棵树在折断

【解析】

【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解•.

根据含30度角的直角三角形的性质求得斜边长，再求这棵树在圻断前的高度.

【详解】解：•・•一棵竖直的树在一次大风中于离地面2.5米处折断倒下，倒下部分与地面成30。角，

・••斜边长为2.5x2=5米，

即这棵树在折断前的高度为2.5+5=7.5米，

故答案为：7.5.

16.如图，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板上的点O处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形

薄板正好保持水平.如图②取下薄板后测得A4OE的面积为3,则.80。的面积为.

图①图②

【答案】6

【解析】

【分析】本题主要考查三角形中线的性质，根据题意可证出六个小三角形面积均相等，据此即可求解.

【详解】解：由题可知。为三角形中线的交点，

.•.A。是VA3C的一条中线，

是△O8C的中线，

•q―q

…°^ORD~*八OCD'

问理可得，OAE=S.OBE，心=»

=CC

,△A08S4ABD~S4OBD'^△4PC=S4ACD~~S40CD'uABD=-JACD，

•v―q

••°AOR~°.AOC，

-S^QAE=SA（）BE~mS小AOB=S八AOC~S^OAF~S40cF，

问理可得，S&OCF==S△OBD=^^OCD，

^q^OAE~一°q4OBE~一0q40AF--*q4OCF~_°q△OBD~_°qAOCD'

=AQE

••SBOC2sOBD-2S-6.

故答案为：6.

17.已知3"'=x，81"=y,则33"5”=.（用含-），的代数式表示）

【答案】丁）,2##）,2工3

【解析】

【分析】本题主要考查事的乘方及同底数幕的乘法进行变形，正而解决问题.利用指数运算性质，将

33M〃分解为卢乂3即,，再分别用x和y表示各部分.

【详解】由已知3"'=x，得33M=（3W,）3=X3；

由81"=），，且81=3,得81”=（3。"=34”=），，

所以38,,=（34n）2=r；

因此33W+8M=3痴X38M=X3X），2=J/.

故答案为：X3/.

18.如图，在每个小正方形边长为1网格中，点A,B,C均在格点上，点。是线段BC上的一点（点。

不在格点上）.请用无刻度的直尺，画出AC边上的高8W；在直线A3上求作一点M使。N+MN的和

最小，并简要说明点M,N的位置是如何找到的（不要求证明）.

【答案】见解析

【解析】

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质.

取格点E,作射线先交AC于点M,8M即为所求；取格点F.作射线8/L连接RW交A6于点G,作

射线EG交BF于息H,连接0/7，交A8于点N,点N即为所求.

【详解】解：如图，取格点E,作射线8石交AC于点M,

•/BN=AN=4,EN=CN=1,NBNE=NANC=90°,

BNEmAANC(SAS),

:.ZACN=/BEN,

ZACN+/EBN=/BEN+ZEBN=90°,

ABMC=180°-(ZBEN+ZEBN)=90°,即3M_L4C,故8W即为所求；

取格点凡作射线M,连接FM交AB于点G,作射线EG交所于点“，连接交A8于点N,

BF=BE=Vl2I4~=J17，A尸=Af=3»AB=AB.

.-.AAFB^ZVIEB(SSS),

:"FBA=NEBA，

•・•BG=BG,BF=BE,

AFG^AEGB(SAS),

:"BFG=/BEG,FG=EG,

:.匕GFH=4GEM,

・：NFGH=/EGM,FG=EG,

/XFGH^/XEGM(AAS),

FH=EM,

RF+FH=BE-4-EM»即BH-BM,

二•点H是点M关于AB对称的点，

:.NM+ND=HN+ND,

当H,N,D三点共线时NM+ND最小,故点N即为所求.

三、解答题(本大题共7小题，共46分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)

19.计算：

(1)(2x-5)(2x+5)-(-2x+5)2：

(2)[(x-y)(^-2y)-(3x3-6x2y)-3x]4-2y.

【答案】(1)20x-50

(2)--x+y

2-

【解析】

【分析】本题考查了整式的乘除法，掌握其运算法则是解题的关键.

(1)运用平方差、完全平方公式化简，再合并同类项即可；

(2)先计算括号，再计算除法即可.

【小问1详解】

解：原式=4戈~—25-(4r-20A+25)

-4x2-25-442十20尤一25

=20x-50；

【小问2详解】

解：原式=x2-2xy-xy+2y2-(x2-2xy2y

=(x2-2xy-xy+2y2-f+2⑹+2)，

=(_孙+2y2)+2y

=-]+)，.

20.分解因式：

(1)9X2-16/；

⑵X2+2X-8；

(3)-4ax2+24or)f-36ay2.

【答案】(1)(3x+4y)(3x-4y)

(2)(x+4)(x-2)

(3)-4«(x-3y)2

【解析】

【分析】本题考查了因式分解.

(1)根据平方差公式因式分解即可求解：

(2)根据十字相乘法因式分解即可求解；

(3)先提公因式-4。，再根据完全平方公式因式分解，即可求解.

【小问1详解】

解：9x2-16/=(3x+4>')(3x-4y)；

【小问2详解】

解：x2+2x-8=(x+4)(x-2)；

【小问3详解】

解：-4ax2+24axy-36ay2

=-4a(x2-6冲+9y2)

21.计算：

(42

(1I))-----；

I6b)[2a)

(2)、xT

x-2yx2-4xy+4y2

cI

【答案】(1)一一

8。

(2)-^―

【解析】

【分析】本题考查了分式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

（1）先计算乘方，再算乘法即可解答;

（2）先计算除法，再算减法即可.

【小问I详解】

原式=得若23b

解:

【小问2详解】

解：原式一1一

x-2y^x-ly'y

-x+3(尢-2»

x-2y(x+y)(x-y)

二1一二

y

工一），

22.已知，如图，点8,E,C,尸在同一直线上，AB//DE,且AB=DE，=C77.问AC和力尸的

关系.

【答案】AC//DF.

【解析】

【分析】欲证两三角形全等，已经有两个条件，只要再有一个条件就可以了，而AR〃DE可以得出

ZABC=ZDEF,条件找到，全等可证，故可得到NACB=NDFE,由平行线性质即可求解.

【详解】解：・・・A8//DE,

/.ZABC=ZDEF

•;BE=CF,

BC=EF,

在ZSABC和ADEF中

AB二DE

/ABC=/DEF,

BC=EF

QABCADEF（SAS）

:.ZACB=ZDFE，

s.ACUDF.

故答案为：/.AC//OF.

【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和全等三角形的对应边相等；要牢固掌握并灵活运用这些知识.

23.某校机器人社团制作了两台遥控小车，分别为“小天号”和“小津号”.在100m跑道测试中，两车

从起点同时出发，“小天号”到达终点时.，“小津号”离终点还差10m.

（1）已知“小天号”的速度比“小津号”的速度快lm/s,求两车的速度；

（2）两车重新测试，“小天号”从起点向后退10m.若以（1）中的速度行驶，两车能否同时到达终点？

若能，求出两车到达终点所用的时间；若不能，将快车的速度降低c/m/s,使两车同时到达，求出。的

值.

【答案】（1）“小天号”的速度是10m/s,“小津号”的速度是9m/s

（2）不能；。=0.1

【解析】

【分析】本题主要考查分式方程的应用，找准关系、准确列出方程是解题的关键.

（1）设“小天号”的速度是jvm/s,则“小津号”的速度是（％-1）016，再列方程得」=^一山求解

xx-\

即可;

（2）先计算两车所用时间即可判断，再结合快车的速度降低czm/s，两车同时到达，可得10°+1°=122,

10-tz9

继而解方程即可.

【小问1详解】

解：设“小天号”的速度是xm/s,则“小津号”的速度是（x-l）m/s,

根据行驶时间相等，得竺2=幽了，

Xx-\

方程两边乘工（戈-1）,得100（x-l）=90x,

解得x=10,

经检验，原分式,方程的解是x=10,

x-1=9，

答：“小天号”的速度是10m/s,“小津号”的速度是9m/s；

【小问2详解】

解：“小天号”所用时间：100+1°=11,

10

“小津号”所用时间：—=14，

99

11^11-,

9

・•.两车不能同时到达终点，

100+10_100

10-«~~9~解得〃=0.1.

经检验，原分式方程的解是4=0.1.

/.d=0.1,

答：两车不能同时到达终点；4=0.1.

24.已知：VABC是等边三角形，点0是宣线8c上方的一点，连接40,BO,CO,并且

/BOC=6Qc

图1图2

(1)如图1,B0交AC于点M,若CO_L3C,求证：ZCAO=ZACO^

CO-BO

(2)如图2,CO交AB于点N,作AZ）_LCO于点力，求的值.

DO

【答案】（1）见解析（2）2

【解析】

【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，轴

对称的性质；

（1）证明NA8C=60。，证明5MJ.AC，AM=CM,即可得到结论.

（2）在CO上截取CE=8O,连接AE,证明AACEg"80（SAS）,得出OE=2DO,即可求解.

【小问1详解】

证明：TCOLBC,

\?8co90?.

•.•ZBOC=60°,

ZOBC=30°,

•1/3。是等边三角形，

/.Z4BC=60°.

:.^OBC=-ZABC.

2

.•.8例平分/ABC.

:.BM1AC,AM=CM.

」.OM是AC的垂直平分线.

:.AO=CO.

ZCAO=ZACO；

【小问2详解】

解：如图，在CO上截取CE=4O,连接AE，

•・•一ABC时等边三角形，

AAC=AB,ZBAC=60°,

・・・4WC=〃MAABAC=ABOC=60°,

^ACE=ZABO.

AC=AB

在AACE和乙ABO中，＜NACE=ZABO,

CE=BO

z.ACEMABO(SAS).

:.AE=AO.

vAD1CO,

OE=2DO.

•-C--O-----B--O--=--C--O-----C--E--=--O--E-=2r

DODODO

25.工人师傅常用角尺(已知角尺的夹角NMPN=90。)平分一个任意角.

图3

（1）如图1,NAO3是一个任意角，在边OA上分别取0M=OV,移动角尺使角尺两边相同的

刻度分别与点M，N重合，即PM=7W.过角尺顶点P的射线OP便是NAO3的平分线.判断0P是

NAOB的平分线，需先判定AMOP也△NQP.其中判定入1/0总△NOP的依据是；

（2）如图2,小天认为，当工人师傅把角尺放入平面直角坐标系中，只要直接移动角尺，使角尺的两边分

别与），轴，x轴相交于点M,N,且满足PM=7W,便可以得到OP平分x轴正半轴与y轴正半轴的夹角

（即NMON）.判断小天的观点是否正确，并说明理由；

（3）如图3,OQ平分x轴正半轴与），轴正半轴的夹角，点P是射线OQ上的一点，过点。作收_Lx轴

于点E,。石=6,点C在y轴正半轴上运动，过