人教版八年级数学下册《勾股定理及其应用（第1课时）》教案

20.1勾股定理及其应用

第1课时

一、教学目标

【知识与技能】

1,了解勾股定理的文化背景，了解利用拼图验证勾股定理的方法.

2.能说出勾股定理，并能应用其进行简单的计算.

【过程与方法】

1.在勾股定理的探索过程中，经历观察——猜想——归纳——验

证的数学发现过程.

2.发展合情推理的能力,体会数形结合思想、由特殊到一般的数学

思想、分类讨论思想.

【情感态度与价值观】

通过对勾股定理历史的了解和实例应用，体会勾股定理的文化价

值;通过获得成功的经验和克服困难的经历,增强学习数学的信心，激

发学生的民族自豪感和爱国情怀.

二、课型

新授课

三、课时

第1课时共3课时

四、教学重难点

【教学重点】

探索和验证勾股定理，并能应用其进行简单的计算.

【教学难点】

用拼图的方法验证勾股定理.

五、课前准备

教师：课件、三角尺、直尺、方格纸、三角模型等.

学生：三角尺、铅笔、练习本、方格纸、三角模型.

六、教学过程

(-)导入新课(出示课件2)

引导学生观察勾股定理相关图片，引出本节要学知识

(二)探索新知

1.出示课件4-14,探究勾股定理的认识与证明

如图，红色直角三角形的三边长分别为3,4,5,分别以这三边

为边向外作正方形，所得正方形的面积分别为9,16,25,且9+16=25.

从边的角度看，这个直角三角形的三边满足「两条直角边长的平方和

等于斜边长的平方.

教师依次展示下列问题：

看图完成下面的题目：

(1)A中含有一个小方格，即A的面积是个单位面

积.

（2）B的面积是个单位面积.

（3）C的面积是_______个单位面积.

教师找三个学生回答.

学生1答：（1）A中含有9个小方格，即A的面积是9个单位

面积.

学生2答：（2）B的面积是9个单位面积.

学生3答：（3）C的面积是18个单位面积.

教师问：三个正方形A,B,C的面积有什么关系？

学生回答：图1中三个正方形A,B,C的面积之间的数量关系

是：SA+SB=Sc.

教师问：SA+SB=Sc在图2中还成立吗？

学生讨论后回答：仍然成立.

教师问：你是如何得到结果的呢？

学生答:A的面积是25个单位面积.B的面积是9个单位面积.C

的面积是34个单位面积.

教师问：你是怎样得到止方形C的面积的？与同伴交流交流.

学生答：如下图所示：

教师问：至此，我们在网格中验证了:直角三角形两条直角边上

的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积，即SA+SR=Sc.去掉网格

结论会改变吗？

学生答：不会.

教师问：式子SA+SB=SC能用直角三角形的三边。、b、c来表示

吗？

师生一起解答：如图所示：

教师问：去掉正方形结论会改变吗？

学生答：不会.

教师问：那么直角三角形三边。、b、C之间的关系式是什么呢？

学生答：a2+b2=c2

教师讲解：如果直角三角形的两直角边长分别为。，b,斜边长为

c,那么tz2+b2=c2.

b

教师讲解：是不是所有的直角三角形都具有这样的结论呢？光靠

实验和猜想还不能把问题彻底搞清楚.

这就需要我们对一般的直角三角形进行证明.下面我们就一起来

探究，看一看我国古代数学家赵爽是怎样证明这个命题的.

教师依次展示各种证明方法；

(1)赵爽拼图证明法：

以直角三角形的两条直角边。、b为边作两个正方形，把两个正

方形如图1连在一起，通过剪、拼把它拼成图2的样子,你能做到吗?

试试看.

小组活动：仿照课本中赵爽的思路，只剪两刀，将两个连体正方

形，拼成一个新的正方形.

教师展示剪、拼过程.

教师问：如何进行证明呢？

师生共同讨论后解答如下：

证明：VS大正方=S小正方形=(b-〃)2,

S大正方形=4S三角形+S小正方形，

(2)毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图

示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.

教师问：观看拼图过程演示后，你能证明吗?

师生共同讨论后解答如下：

证明：VS大正方形=(〃+b)2=〃2+b2+2〃b,

S大正方形=4S直角三为形+S小正方形

=4x-1ab+c-o

2

=c2+2«b,

^2+b2+2«b=c2+2«b.

/.tz2+b2=c2.

b

b

(3)美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.

如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：6Z2+b2=c2.

教师问：你能证明上边的问题吗?

学生讨论后回答:

证明：S梯形=(o+b)(〃+b),

S梯形

/.a2+b2=c2.

教师总结归纳;(出示课件15)

勾股定理

如果直角三角形两直角边长分别为4、b,斜边长为C,那么4+b2

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

表示为：RtAABC中，ZC=90°,则a2+b2=c2.

教帅总结点拨：(出示课件16)

公式变形

勾股定理给出了直角三角形三边之间的关系，即两直角边的平方

和等于斜边的平方.

出示课件17,学生口答，教师订正.

考点1：利用勾股定理求直角三角形的边长

如图，在Rt/kABC中，NC=90。.(出示课件18)

(1)若a=b=5,求c;

(2)若c=2,求b.

B

师生共同讨论解答如下:

解：（1）据勾股定理得C=+12=J52+52=同=5值

（2）据勾股定理得b=y/c2—a2—V22-l2=V3.

出示课件19,学生自主练习后口答，教师订正.

考点2：勾股定理和方程相结合求直角三角形的边长

在RtAABC中，ZC=90°.（出示课件20）

（1）若a：b=l：2,c=5,求a\

（2）若b=15,ZA=30。,求4c.

学生独立思考后，师生共同解答.

解：⑴设昕x,b=2x,根据勾股定理建立方程得x2+（2x）2=52,

解得％=V5,x=-V5（舍去）a=V5.

（2）VZA=30°,15,/.c=2a.

因此设斫x,c=2x,根据勾股定理建立方程得（2XFX2=152,

解得％=5A/3,x=-5A/3（舍去）

a=5A/3/C=IOA/3.

教师总结点拨：

已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方

程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.

出示课件21,学生自主练习后口答，教师订正.

教师：学了前面的知识，接下来做儿道练习题看看你掌握的怎么

样吧。

（三）课堂练习（出示课件22-27）

练习课件第22.27页题目，约用时2（）分钟.

（四）课堂小结（出示课件28）

内容

如果直角三角形的两直角边长分别为Q,b,斜边长

勾股定理

为c,那么a2+b2=c2.

1.在直角三角形中

2.看清哪个角是直角

注意

3.已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要

分类讨论

（五）课前预习

预习下节课（20.1第2课时）的相关内容.

会用勾股定理解决实际问题.

七、课后作业

1、教材第30-32页习题20.1第1,7,8,13题.

2、培优练习20.1第1题.

八、板书设计

勾股定理及其应用

第1课时

1.勾股定理的认识与证明

考点1考点2

2.例题讲解

九、教学反思

成功之处：本节课从知识与方法、能力与素质的层面确定了相应

的教学目标.把学生的探索和验证活动放在首位,一方面要求学生在老

师的引导下自主探索，合作交流，另一方面要求学生对探究过程中用到

的数学思想方法有一定的领悟和认识,达到培养能力的目的,整节课以

“问题情境——分析探究——得出猜想——实践验证——总结升华”

为主线，使学生亲身体验勾股定理的探