数列、不等式交汇及其最值范围与新定义题型全析（重难专练）-2026年高考数学二轮复习解析版

专题L4数列、不等式交汇及其最值范围与新定义题型全析

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*速度提升/技巧掌握6手感养成

目分析考情•探趋势

锁定核心，精准发力：快速锁定将要攻克的最核心、必考的重难点，明确主攻方向，聚焦关腱目标

目破解重难•冲高分

方法引领，突破瓶颈：系统归纳攻克高频难点的解题策略与实战技巧，并配以同源试题快速内化

国拔尖冲优•夺满分

巅峰演练，锤炼题感：精选中高难度真题、模拟题，锤炼稳定攻克难题的“顶级题感”与应变能力

。今析考情也

近三年：数列是高考数学的核心考点，命题形式灵活多样，覆盖基础与综合应用。小题侧重考查等差、等

比数列的基本概念、性质及递推关系，常与函数、导数等知识融合，体现综合性趋势。解答题难度多为中

等或略高。此类题目通常先考查数列通项和数列基本性质，继而深入至求和问题，并与不等式、函数、最

值等交织融合。在掌握等差、等比数列求和的基础上，重点考查“裂项相消”“错位相减”等进阶求和方法，

尤其强调“放缩法”的运用与思想渗透。同时，数列与数学归纳法的结合亦具考查潜力，值得重点关注与准

备。

预测2026年：

考向01利用数列的函数特征求最值项

考向02等差数列前n项和的最值

考向03数列不等式恒成立求参数范围

考向04数列不等式能成立（有解）求参数范围

考向05数列求和与不等证明

考向06数列定义新情境

考向07数列定义新性质

考向08数列定义新概念

冲裔「场

9破斛♦雍4

考向01利用数列的函数特征求最值项

求解数列通项最值问题，需依据通项公式形式，将其视为关于n的函数，结合函数单

调性、二次函数性质（对称轴、开口方向）、分式函数性质等分析，同时兼顾n为正整数

的限制，通过计算相邻项或结合函数性质确定最值。

1.（2024・上海•模拟）数列为的最小项的值为.

【答案】-6

6?969Q

【详解】令凡=广三<。，得八<子，令%=h%>。，得八?，所以当〃47时，4<0,当〃28

4n-2944〃-294

时，/>0,而函数），=/^在[1,刀上单调递减，所以当〃=7时，4取得最小值-6,即数列

4=了』（〃£"）的最小项的值为Y.故答案为：-6.

4„-199

2.（2024・安徽•模拟）已知则这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是（）

2n-99

A.4,%0B.«|>^100C.“49，。50D.49，4100

【答案】C

，"一,4«-1994/198-1。I

[rr-wJa„=------=---------=2-------，

"2H-992〃-992/7-99

当1K〃K49,〃eN•时，2〃-99<0,^=2--^—>2,且随着〃的变大，/变大，

2〃-99

当50工〃4100,时，2〃一99>0,all=2--^—<2,且随着〃的变大，为变大，

2/7-99

故这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是〃物，〃如.

故选：c

3.（2025•浙江•模拟）已知数列｛可：满足6=-贝!数列｛q｝中的最小项为（）

。凡+1an

A.a2B.%C.a4D.a5

【答案】B

【详解】由一二一‘=2可知为等差数列，且公差为2,首项为一5,因此」-=2（〃-1）-5=2〃-7

a

4+Inan

=>/=---,由于生=一!，4=-1且V〃之4。>°，故｛〃”｝中的最小项为小，故选：B

2〃一73

4.已知数列｛4｝的前〃项和为S,,若3szi=%-2,则%的最大值为（）

A.—IB.—C.!D.1

22

【答案】C

【详解】出题意知3S”=%-2,故〃=1时，3%=%=-1,当〃之2时，3S”=%-2,

35,E一6”-2,则3（，一=,即故a“=-34.1，（〃之2）,又％--1，。，

所以应｝为首项是4=7,公比为-g的等比数列，故q=7X1£|“'=（7）"X（£|"’’£「随〃的增

大而减小，且数列的奇数项均为负值，偶数项为正值，故〃=2时，%取最大值，最大值为故选C

5.（2024・湖北•模拟）（多选）无穷等比数列｛q｝的首项为％公比为q,下列条件能使｛4｝既有最大值，乂

有最小值的有（）

A.%>U,0<67<1B.>0,-1<（/<UC.«1<0,“=-1D.<0,q<-\

【答案】BC

【详解】4>0,0<”1时，等比数列｛4｝单调递减，故｛可｝只有最大值4,没有最小值；G>0,

-1<夕<0时，等比数列｛4｝为摆动数列，此时4为大值，应为最小值；«.<0,“=-1时，奇数项都相等

且小于零，偶数项都相等且大于零，所以等比数列｛q｝有最大值，也有最小值；4<0,9<-1时，因为

|司>1，所以｛4｝无最大值，奇数项为负无最小值，偶数项为正无最大值.故选：BC

6.已知数列｛&｝的首项％=3,且满足4rM=1空外+2,L1（〃CN.）,则｛4｝中最小的一项是（）

乙〃。

A.a2B.%C.%D.%

【答案】B

2/?-1所以数列岛是以Wr—3为首项,

【详解】由凡“a+2〃-1n_i_=11为公

-2-〃--一-3,2n-\2〃-3

差的等差数列,即4^=-3+（…1）/=.“=（2〃-3）（〃-4）,所以有/=-29=-3,显然当

•时，«„>0,因此｛q,｝中最小的一项是的,故选：B

7.（2024.河南.模拟）已知数列｛〃,，是单调递增数列，〃£川，则实数机的“又值范围为

（）

A.（2,+09）B.（1,2）C.（|，+3）D.（2,3）

【答案】C

【详解】由题意可得为=皿2"-1）-后由于数列｛可｝为单调递增数列，即V〃eN,

4一一q=机（27一1）一（〃+1）2-[小（2”-1）一〃2]=/〃.2"一2“一1>0,整理得令“小与1,则

%-么=竽3-罗=M<。，〃eN.，所以数列帆｝单调递减，故々号是数列也｝的最大项，则

，"的取值范围为（看+8）,故C正确.故选：C.

8.（2024•辽宁•模拟）数列｛%｝中，6=5,%=9,若数列,“十叫是等差数列，则｛%｝最大项为（）

A.3B.3或4C.D.11

4

【答案】D

【详解】若数列｛4+叫是等差数列，则数列的首项为％+『=6,公差为（％+22）-（4+产）=7,所以

22

an+n=64-（//-1）X7=7W-1,则/+7“-1,所以。“+]-47=[—（〃+1）一+7（〃+1）_]-（-n+7zi-1）

4.1-4,=[一（〃+1『+7（〃+1）-1卜（一〃'+7〃-1）=-2〃+6,则当〃=1,2,3时，all+l-an>0,则

%-%>%>/；当〃时，%.]-〃“<0,故此时数列｛%｝单调递减，则为>^5>%>%>

综上，｛〃”｝最大项为4=。4=11.故选:D.

9.（2024.山东.模拟）已知｛q｝是各项均为正整数的递增数列，｛%｝前〃项和为S”，若S.=2024,当〃取最

大值时，凡的最大值为（）

A.63B.64C.71D.72

【答案】C

【详解】因为S“-2024是定值，要使当"取最大值时％也取得最大值，｛丐｝需满足各项尽可能取到最小

值，又因为｛〃”｝是各项均为正整数的递增数列，所以q=l，。产2%=3,...，4=川，即｛%｝是首相为1,公差

为1的等差数列，其中〃2=〃-1;｛册｝的前加项和为2喂；当相=63时，&=普工=2016<2024；当

〃厂64时，小产丁）=2080>2024；又因为2（）24—2（）16=8<63,所以〃的最大值为63,此时

q=L%=2,%=3,…，%=62,a”取得最大值为%=63+8=71.故选：C.

10.（2025•河南•模拟）（多选）已知等比数列｛4｝不是递增数列，其前八项和为工，且邑+4，$6+4，

3

$5+，“成等差数列，生=-1，则（）

3

M,

A.%=4。6B.an=（-l）~

1Q15

c.数列s“一k的最大项为;D.数列丁的最小项为g

\J3Sn]6

【答案】ACD

【详解】设等比数列几｝的公比为夕.对于A,由题意得2（S6+%）=S4+a4+Ss+%，则

a4=256+2cz6-54-S5-a5=2t/6+2（S6-55）=4«6,故A正确；对于B,由A项，可得夕？=&=；,，

a44

好±3，当g时，=£，此时%+「可与_募=—>。可知数列｛q｝

为递增数列，故舍去；故9=-g，♦・・4=（i|）x（-f"2=1^r，故B错误；对于C,

S“=T——L=--------f—=2U-(--rj,当〃为奇数时，S.=2[l+(b”],而指数函数)，=(：)，在R上

1-q1-(-1)222

单调递减，・・・s〃=2[l+(；)”]«¥=3；当〃为偶数时，\=211-(1)"1,而指数函数y=(g)x在R上单调递

减，••.S,=2[1-W)”]NS2=£,故得S,C弓,3，乂••・函数)，=工-上在((),+g)上单调递增，，

z乙L,」x

518]815

“一当”=1时，S”-不=三时为最大项，故c正确，当〃=2时，S”一k=公为最小项，故

6S„3Sn3Sn6

D正确.故选：ACD.

II.已知数列｛qj中，q=；4=2-一—(«>2,«eN*)t数列｛々｝满足N)

,an-lan

⑴求证:数列也｝是等差数列，写出也｝的通项公式；

⑵求数列｛%｝的通项公式及数列回｝中的最大项与最小项.

C1111+1.I

【详解】(1)・・・卬=2——,.・・%-1=^—,・・・—7=^~~-=1+------7,

*4“凡一1%-1%-1

・・.」7一~二=1，又"=」7(〃cN*),所以“一%=1(〃22),

仆-1/-I、7v7

・•・数列｛〃｝是以1为公差的等差数列：

・•・｛"｝是以〃=-4三为首项，4=1为公差的等差数列,

工2=一彳+(〃-1)x1=〃一彳，〃wN”；

另解：因熄,二二+1+不7,

3

当1W〃W2时，数列伍，是递减数列，H。”vl,%=；,%=-2,

当刀23时,数列｛4｝是递减数列,且可＞1，

所以在数列伍”｝中，最大项为％=£，最小项为生=”.

12,已知等比数列｛4｝的各项均为正数，且凡=2,%+%=12.

(I)求数列｛〃“｝的通项公式；

(2)设呵%”.1，«eN*,求数列｛e｝的最大项.

【详解】(I)设等比数列｛为｝的公比为9,因为4=2,a4+a,=\2,

所以/+%=为+8=r0+—2=12,所以6g2_q_]=(2g-1)(初+1)=0,

qq①q

icIY-6I

因为4“〉。，所以00,所以q=],所以％=叱6=2'位)=六,

所以数列也｝的最大项为&=4=4096.

।/।、2〃-8/[\2n-8

法二：因为%=正7，所以生小=-•由•4，得44.

所以数列也｝的最大项为伉=a=4096.

考向02等差数列前n项和的最值

求等差数列前n项和最值，常用两种方法：

1.函数法：将等差数列前n项和S”化为二次函数，根据抛物线顶点确定最值位置，取邻近正整数:

2.通项符号法：分析通项〃”的符号变化，找正负转折点，项由正转负时和取最大，反之取最小。

函数法直观，适合参数明确；符号法重单调性，利于判断趋势，据题选用更高效。

1.（2025・山东・模拟）已知，为等差数列｛4｝的前〃项和，«.=-2l,S7=515,则S”的最小值为（）

A.-99B.-100C.-110D.-121

【答案】D

q=-21

【详解】设｛6｝的公差为d,因为4=一21,S产Sr,可得7x615x14,,解得d=2,

7q+—^―dy=1I5C4+---d

所以勺=2〃-23,可得5〃=-21〃+〃、（〃7）x2二川-22〃，所以当〃=11时，5”取得最小值

2

S“=112-22xll=-121.故选：D.

2.（2025・河北•模拟）已知等差数歹的公差小于0,前〃项和为S.,若生="当，&=44,则S“的

四一1

最大值为（）

A.45B.52C.60D.90

【答案】A

,、出+13

【详解】设等差数列｛4｝的首项为4,公差为dS＜。），由』二七「得到%%=%+%+13①，由

07T

S8==*，得到4+4=11②，由①②得到，％%=24,又4+4=%+/=U，d＜0,由

生生=24□,a?-出3—8_（）八fi（fi-l）1219

ii，解得。2=8,0；=3,所rcL以rld=—~~=---=—1»q=9,Sc=9/?-----=+~n•

4+%=117-25n222

又因为〃eN’，所以当〃=9或〃=10时，S”的值最大，最大值为45,故选：A.

3.已知等差数列｛《,｝公差4＜0,“汹=24,%+4=1（），记该数列的前〃项和为S“，则S”的最大值为（）

A.20B.24C.36D.40

【答案】C

【详解】等差数列｛qj中，公差d＜（）,即数列乩｝是递减等差数列，显然％+。5=4+4=10,而

%的=24,且4＞为，解得。3=6,%=4,则d="；?=_],/=%+（〃-3）d=-〃+9,由巩20,得

5—3

因此数列｛q｝前9项均为非负数，从第10项起均为负数，所以S“的最大值为

$8=59=9（4；“9）=9%=36.故选:C.

4.（2025・湖北・模拟）已知公差为负数的等差数列｛4｝的前〃项和为S”，若如是等比数列，则当3

取最大值时，〃=（）

A.2或3B.2C.3D.4

【答案】B

【详解】设等差数列｛%｝的公差为4，/＜。），由%，％，％是等比数列，得（6+3d）2=（q+2d）（q+6d）,解

得4=一；a则4=4+（〃—l）d=（〃—显然等差数列｛4｝单调递减，当〃42时，例＞0,当〃23

时，4＜0,所以当S”取最大值时，〃=2.故选：B

S

5.（2026・浙江・模拟）已知等差数列｛4｝的前〃项和S“满足：S2025VS*＜S2026,则数列的最小项是

第（）项.

A.2026B.2027C.4048D.4049

【答案】A

【详解】由S2025Vs2024Vs2026,则“2025=S2G25-S2024<0，6026=§2026一S202s>0,。涧+“2CQ广S2n$-S附>0，因此

等差数列｛q｝为递增数列，而s珈9=竺华吧城=4049%您<0,小=里出产』=2025（。刈/6%）>（）.

则〃K2O25时，%<（）,S„<0,即2>0；当〃22026时，%>0,要使&最小，则鼠<0,此时

n

2026S〃S4049,数列｛S“｝为递增数歹ij,则随着，，的增大，勺增大，减小，S”增大，但>0,

nn

ss

S“<0,则上■增大，因此，当〃=2026时，口•最小.故选：A.

《勺

6.已知数列｛4｝的前〃项和为S,,满足3=/+3"+2,则下列判断正确的是（）

A.数列｛〃”｝为等差数列B.%=11

C.数列｛s.｝存在最大值D.数列存在最大值

【答案】D

【详解】由5”=〃2+3〃+2可知，当〃?2时，S』=（〃-1）-+3（〃—1）+2,因为凡、所以

nzr-l9

故数列｛〃”｝是从第二项开始的等差数列，故A错误.将〃=5代入｛牝｝的通项公式可得

%=2X5+2=I2,故B错误.由£=/+3〃+2知，数列｛，｝为递增数列，S”不存在最大值，故C错误.

由j~=〃2+；〃+2知，数列，为递减数列，故存在最大值，故D正确.故选：D.

7.（2025・湖南•模拟）设，是等差数列｛〃”｝的前“项和，4=-1凡=4,则内的最小值为.

【答案】4

,.a+3f/=-l[a,=-10i、

【详解】设等差数列｛4｝的公差为d.由题意可知QICQ,4解得4J,，则｛4｝的前〃项和

+Zoa—4a=3

s„=四十〃>]"=#一争，而函数小）=%一冬的库点为a=（）和工后，故当〃接近o或g

时,图取得最小值.又图=10居|=7,国=4,所以当1=8时，同|的最小值为4.故答案为：4

8.设数列｛《,｝的前〃项和为S”，且勺>0,4S”=d+2a“-8,则S“一3a”的最小值是.

【答案】-8

2

【详解】当〃=1时，4Sl=4«l=«l+2a1-8,即a；-2q-8=0,解得％=4或q=—2.因为4>0,所以《=4.

当我2时，4S.T=4+2q,「8,所以4q=4+2q-8-（a+初广8）,即a：-24-2%=。，即

(«+(%)(«,-《1-2)=().因为q,>°，所以。“+%>0，所以见一4T-2二°，即凡—%=2,贝ij

222

an=2n+2tjfnSn=n+3n,^Sl-3all=n+3n-3(2n+2)=n-3n-6=｛n---—»当〃=]或〃=2

k2J4

时，S“-3%取得最小值，最小值是-8.故答案为：-8

9.已知公差不为0的等差数列｛q｝的前〃项和为S”，若小,S5,S7e｛-5,0｝,则S”的最小值为.

【答案】-6

【详解】S”取得最小值，则公差d>0,4=-5或%=0,当q二。时，5,=74=0,所以醺=-5,又

Ss=5%,所以外=-1,所以，a4-a3=(/=l>0,故〃“二〃-4,令凡2。，则〃W4,所以S”的最小值为

54=-6.当《=-5,S7=7a4=-35,不合题意.综上所述：％=0,S$=-5,S7=0rS”的最小值为

-6.故答案为：-6.

10.已知f(x)为R上单调递增的奇函数，在数列上｝中，4=20,对任意正整数”，/(%)+/(3-。“)=0,

则数列｛qJ的前〃项和3的最大值为.

【答案】77

【详解】因为/(4讨)+〃3-4)=0.且/'(X)为R上的奇函数.所以/(4+I)=〃4-3).又〃x)在R上

单调递增，所以。,向二为-3,即%“-4=-3,所以｛q｝为等差数列，且公差为-3,首项为20,所以

7x6

%=23-3〃，所以……，所以S?最大，且S：=7x20+^-x(—3)=77.故答案

为：77

II.(2024・四川•模拟)已知数列｛q｝的前项和为S“，且

(1)证明：数列｛q｝为等差数列；

⑵若心，〃9，旬成等比数列,求S”的最大值.

【详解】(1)数列｛4｝满足工一心=/(〃一1)①，

当〃22时，有[一(〃-1)%_I=g(，;-1X〃-2)②，

①一②可得：S,-S“_i—，町,+(，L1)(*=g〃(〃-1)一：(〃一1)(〃-2),

g|J(1-n)atl+(/?-1)«„.!=i(??-1)[«-(«-2)],

变形可得4「4“=T(〃N2),故数列｛q｝是以-1为等差的等差数列：

(2)由(1)可知数列｛&｝是以-1为等差的等差数列，

若为，”9，成等比数列，则有G=%xq],

即(4-8)2=©-4)应-10),解得q=12,

所以q=4+（n-\）d=\3-n,所以｛《,｝单调递减，

又当1“<13时,%>0,当〃=13时，%=0,当〃>13时，4<0,

故当〃=12或13时，S。取得最大值，

且⑸)2=/=品=12、12+誓、(一1)=78・

12.记S”为数列｛4｝的前〃项和,已知；j+〃=2q+1.

(1)证明：｛%｝是等差数列：

⑵若4，%，%成等比数列，求S”的最小值.

29

【详解】(1)因为j+〃=2a“+l,gp25+/r=2/?^+«@,

nrt

当〃22时，2S“_1+(〃-②，

①-②得，25,+n2-25“_1-(〃-1/=2〃%+〃-2(〃-1)。*-(〃一1),

口［J为“+2〃-1=2natl-2(/1-1)(/„_)+1,

即2（〃一1）4一2（〃-1）4_［=2（n-l）,所以凡-=1,«>2KneN*,

所以｛4｝是以1为公差的等差数列.

（2）［方法一］:二次函数的性质

由（1）可得&=4+3,%=4+6,%=q+8,

又出,“7，%成等比数列，所以％

即（4+6）2=（q+3）-（«）+8）,解得“=一12,

所以S.=T2〃+磅尹=3251(25丫625

所以%-13,—〃=-n---------

22\2)8

所以，当〃=12或〃=13时，（SJ而=一78.

［方法二］:【最优解】邻项变号法

由（1）可得。4=4+3,%=4+6,佝=4+8,

乂出，%,为成等比数列，所以％2=4-%，

即3+6)2=(%+3).(%+8),解得4=72,

所以q二〃一13,即有q<a2<…<用<0,%=0.

则当〃=12或〃=13时，⑸僵=一78.

13.已知等差数列｛4｝是递减数列，设其前〃项和为S”，且满足4=1,52S3=36.

（1）求｛《｝的通项公式；

s

(2)设数列《口•十9r的前n项和为T“，求T的最大值及相应的〃的值.

nN

【详解】⑴设等差数列几｝公差为d(d<()),则由解§=36,得(2q+d)(招+%)=36,

将4=1代入上式解得4=-5或d=2(舍)，

所以应｝的通项公式为q=1+(〃一。(-5)=-5〃+6.

/八1一、ec〃(1-5〃+6)〃(一5〃+7)b"S"八525

(2)由(1)得S”=-^-------^=-------二所以」+9=-彳〃+?，

w22n22

.S]s

故数列」+9是以10为首项，为公差的等差数列，

令一"1〃十^"°,解得〃"，故([『二刀=小式与©=25,

即当〃=4或5时，7；取得最大值25.

14,设数列也｝的前〃项和为S”，当〃22时，有(〃-2)%一(〃-1)%1+6=。.

(1)求证：数列｛%｝是等差数列；

⑵若4=20,\=56,求S”的最大值.

【详解】(1)因为当〃22时,有(〃一2)%-(〃一1)4小+%=0①，

所以当〃23时，5-3)q_1一(〃-2)/_2+4=。②，

由①-②，整理可得，“+4_2=2%,所以数列｛q｝是等差数列.

SJ-+4)—56[a=8

(2)由(1)可知｛%｝是等差数列，所以42',可得4”

U=20,叱20,

Q_of)

所以数列｛为｝的公差“二与广二-4，所以q=20-4(〃-1)=-4〃+24,

4-1

所以S.J?。二4"24)一〃2+22〃=-2(〃、丫+巴

"2I2)2

又MN"所以当〃=5或〃=6时，S.取到最大值为60.

考向03数列不等式恒成立求参数范围

苞厢变沙其

求解数列不等式恒成立问题常用方法：

1.分离参数，然后求转化成数列求最值问题：

2.构造函数，然后利用用导数分析单调性求最值或极值.

同时，时刻警惕题忖是“恒成立”还是“存在性”问题。

3

I.（2025•山东・模拟）已知数列卜内的前〃项和为5°,且，=3q-2.若“与之310g工4+4对任意的正整数

乙2

〃晅成立，则实数4的最小值为（）

cc28「80c176

A.3B.—C.—D.

92781

【答案】B

【详解】当〃=1,则4=岳=3a「2,即q=l,当〃之2,S”_]=3a”_]一2,则〃“=S”-S“_],即

%=34，-2-3%_]+2,・•・：”・；，・,•数歹是4=1,4=。的等比数列,・•・a”=aqi=-1，

212J

：I'M23log*,+4,gp-|2xf|>31og3(-|l+4,42(3〃+1)仔),令数列也｝的道项为

2(3〃+4)6〃+8

令6〃+8>9〃+3,则〃又nQN"

~3(3/?+1)-9/7+3

，当〃=1,,当〃22,争=，：＜1'・••数列｛或｝的最大项为&=g，,义之鸟.故选：B.

2.（2025・海南・模拟）数列｛叫满足q=g,，*=2a“-g,对于任意的〃eNF（2q「l）＜4-2恒成立，则

实数％的取值范围是（）

A.（一。0，'）B.（fl）C.（1,+8D.（1,+cc）

【答案】A

【详解】由题意令田-％=2。-2）,所以。用=24-2,对比＜*=2?-g,可得4=

所以数列卜,—g1是以4=2为首项,2为公比的等比数列，所以为-；=。-：[2"7=2”,

z1乙）

所以a”=g+2”，对于任意的〃£2，44-1）＜2q-2恒成立，即对于任意的〃6底，/1・2向＜2"+=1恒成

立，即对于任意的〃wN\2cq^=1-!恒成立，显然当〃增大时，小减小,止匕时1-5增大，

13

所以4＜=Z.故选：A.

3.（2025・甘肃•模拟）已知等比数歹」｛4｝的前〃项和为S“，4+%=5S=15,若对于任意〃CN',不等式

〃2+（S4

」一＞加+6加恒成立，则〃?的取值范围为（）

/

A.（—8,2）B.（-2,8）C.（-10,6）D.（-6,10）

【答案】A

【详解】设数列｛4｝的公比为人由题意知4/1,由⑼2=5,$4=也二虫=15,解得夕=2,q=l,

1一夕

所以q=2"、因为一一=«„+—=2w-'+—＞16,当且仅当2"”=黄，即〃=4时等号成立，所以

%cinz/

m2+6/zz＜16»解得-8v/〃＜2.故选：A

4.（2025・吉林・模拟）已知递减的等比数列｛/｝前〃项和为S“，且满足4=2,q+/=6%,若

245“一1《”恒成立，则M—N的最小值为（）

439

A.-B.—C.2D.一

324

【答案】D

【详解】由题可设等比数列｛q｝的公比为。＜夕＜1,因为4=2,4+%=6%，所以

--2罔用

2（1+4）=12〃2=＞夕=一;或夕=/所以a.=2x（g）=（g,s„=-=~j-=41一（；'，所以

1-2

J____

S,=41-[1|为单调递增数列,口丫]为单调递减数列，所以f（〃）=s“-[单调递增，故

、乙）⑸s”

7|II51|539

：=2—；4/（〃）＜4—；=?,故若NWS”一/WM恒成立，则M—N的最小值为?―；=；故选：D

22443〃424

5.（2025・福建・模拟）已知数列｛《「的前〃项和为S”，若5“二即2-10〃，且对任意的〃都有S34s“成

立，则实数。的取值范围是（）

-1Jcn°Q_r551n「10:

A.—,2B.二,2C.—'D.h,2

[3」17）142）17」

【答案】D

【详解】因为5,二e-10〃，且对任意的〃N・，都有&4S.成立，所以叁一三所以

22aa2

—Ka02.故选：D.

7

6.已知数列｛4｝是等差数列，"二一且4=1,数列也｝的前〃项和为若不等式4N7；

anan^i3

恒成立，则实数义的最小值为（）

A.1B.C.—D.-7

234

【答案】B

【详解】由题设4=」一='=:，则%=3,又乩｝为等差数列，则其公差△=%—4=2,

所以=4+（〃-l）d=2〃-1,故b--------------=—（------------）,

1"41*3"（2〃-1）（2〃+1）22/1-12/7+1

所以〈=：（1一:+:-!+~+4-占）=：（1-占）<：，而不等式4N7；恒成立，

23352n-12n+\22n+\2

所以22；,即实数4的最小值为，故选：B

s

7.（2025•重庆•模拟）已知等差数列｛4｝、｛"｝的前〃项和分别为5“、。，若牛=三5万，对百匹产，

3A/>0,,则M的最小值为（）

【答案】C

s

【详解】等差数列几｝、也｝的前〃项和分别为S”、。，且亍=五号，则

f1\a\+a2n-\）1（An+\\3

，2'-12二-2〃-1二2〃-1=2（4〃+12J3J

且当拉f田时,

^2.1-1〃（4+%），也么2（2/?-1）+34〃+14〃+122（4〃+1）2

2

今=2（；+1）—g'因为3M>0,则M2：,即M的最小值为故选：C.

8.（2025•陕西・模拟）已知数列｛4,｝满足4=3,%-q=2.〃=（-1）向—+—,若数列｛4｝的前〃项

k4ran^\y

4,、

和为小不等式（<：/1（3-5与6£1<）恒成立，则4的取值范围为（）

【详解】因为数列｛《,｝满足％=，4,「4=2,所以数列｛〃“｝是以％=3为首项，2为公差的等差数歹U，

所以,=3+2（"-1）=2“+1.所以"ETW'+IETURJJ,

当〃为偶数时，（=ll+g）_|l+；）+（；+"）_|l+A）+…+（rH+小）一（六十六）

<35）\57）\19）[911）\2n-l2n+\J12〃+12n+3y

=2—^<1,

32〃+33

当〃为奇数时，'斗伯+」+己+“-4+」+..J，+-M+（，+-M

"（35）（57）（79）（911J（2〃-12n+\）[2〃+12n+3j

11/8

=—I-----K—,

32〃+315

因为不等式(<《/1(3-5为(〃匕1<)恒成立，即5)2<3；1(3-5/1乂

Q40

所以上刊3-54)(〃eN*),所以(<4(3—5/1),25A2-152-2=(52-1)(52-2)<0,

所以解得:<2<]，所以2的取值范围为(Hl故选：D

oj11

9.(2025•安徽•模拟)已知数列｛必满足2c—=34,且。：=3，则使不等式一+—+…+—<⑼

11Q\a20n

成立的〃的最大值为()

A.98B.99C.100D.101

【答案】B

93

【详解】由24%+]+%=3%,“2=m可得冽4+4=34=4=不易知凡工°，两侧同时除〃M»+i，可

11J

得2+下(为公比的等比数列,

则'-1=111

--1---F…d-H

14生a,J

3

故—F，+…—=/?+1——,易知/(〃)=〃+l—(g(〃eN)单调递增，

7(99)=100-^-<100<7(100)=101所以心也、=99.故选：B

10.(2024・江苏・模拟)已知数列｛《｝的前〃项和为5”,且3S“=2a”+l,若122024,则正整数攵

的最小值为()

A.11B.12C.13D.14

【答案】C

【详解】数列｛qj中，3s*2%+1,当〃22时，。―…则3S,=2s.-25搂+1,整理得

S.=-2Si+l,即5.一：=一而3d=2%+1=2£+1,即岳=1,因此数列｛S「；｝是以

S「g=，为首项，公比为一2的等比数列