排列组合中常考7大题型（热点专练）-2026年高考数学二轮复习解析版

专题16排列组合中常考7大题型

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P拉克聚龛例析考情0

近三年：1、排列组合问题是近3年的高考命题热点，常以选填或者解答题第一问为主，常考查内容、频

率、题型、难度较为稳定，必须排列组合常见求法.

预测2026年：排列组合问题仍会考一道中档选填试题，重点是分组分配问题

热点题型：

题型01特殊元素与特殊位置优待法

歌型02不相邻问题插空法

题型03相邻问题捆绑法

题型04分配问题先分组再分配

题型05定序问题消序法

题型06相同元素隔板法

题型07排列组合中的涂色问题

得方收"

题型01特殊元素与特殊位置优待法

解I题I策I略

对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。

【精选例题】

【例1】甲、乙、丙三位教师指导六名学生。、和c、d、e、/参加全国高中数学联赛，若每位教师至少指

导一名学生，其中甲指导三名学生，则共有（）种分配方案

A.90B.120C.150D.240

【答案】B【分析】甲比较特殊，我们先选3名学生分配给甲，再将剩余3人分成两组分配给乙、丙，由分

步乘法计数原理可得.【详解】第一步，从六名学生中选3名，分配给甲指导，有C：=20种不同的方法，

第二步，将剩余3名学生分成两蛆，分配给乙、内指导，有（C；C）-A；=3x2=6种不同的方法，根据分

步乘法计数原理，不同的分配方案共有20x6=120种.故选：B.

【例2】大部分老年人存在心脑血管的问题，对他们的生活带来了很多困扰，为改善农村缺医少药的状

况，某医院组织下乡送医送药活动.现从相关科室的6名医生和4名护士选出4名组成一个医疗队，且主.

任医生甲和护士长乙必须在内，则不同的组队方案有（）

A.25种B.28种C.32种D.36种

【答案】B【详解】由题意，①若选出的医生有1名，则有C；和；②若选出的医生有2名，则有种；

③若选出的医生有3名，则有C；种；综上，共有C"CC+C；=28种不同的组队方案.故选：B

【例3】已知4x100m混合泳比赛四名队员的四种泳姿顺序依次为蝶泳、仰泳、蛙泳、自由泳.若某次比

赛中，运动员甲擅长蝶泳和自由泳，运动员乙擅长仰泳和蛙泳，另外两名运动员四种冰姿均可，则不同的

安排方案共有（）

A.4种B.8种C.12种D.16种

【答案】B【详解】先安排甲，有C；种不同的安排方案；再安排乙，有C；种不同的安排方案；最后安排剩

余的两人，有A；种不同的安排方案，根据分步乘法计数原理，不同的安排方案共有C；C；A；=B种.故

选：B.

【例4】某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有

（）个

4

A.A^IOB.C.（G6yl0“D.（Cj《

【答案】D【详解】解：先从26个英文字母中选出2个英文字母的方法数为（Ch。后接4个数字组成的

方法数为十，所以由分步计数原理可得不相同的牌照号码共有|。；6丫牖个.故选：D.

【例5】将甲、乙、丙等六位同学排成〜排，且甲、乙在丙的两侧，则不同的排法有种.

【答案】240【详解】甲、乙、丙等六位同学排成一排，可以看成甲、乙、丙等六位同学在一排6个座位

上就座.先安排甲、乙、丙三位同学：在6个座位中任选3个座位有C：种方法，让甲、乙坐在丙的两侧，

有A；种方法；接下来安排余卜的三位同学：余下的三位同学在剩卜的3个座位上任意坐有A；种方法则不

同的排法共有A；=240（种）故答案为:240

【跟踪训练】

1.某校安排高一年级（1）~（5）班共5个班去A,B,C,。囚个劳动教育基地进行社会实践，每个班去

一个基地，每个基地至少安排一个班，则高一（1）班被安排到4基地的排法种数为（）

A.24B.36C.60D.240

【答案】C【详解】由题得，若只有高一（1）班被安排到A基地，则有C：A；=36（种）安排方法，若还

有1个班和高一（1）班一起被安排到A基地，则有C：A；=24（种）安排方法，故高一（1）班被安排到A

基地的安排方法种数为24+36=60种做选：C.

2.现将A及CDE5位民警派往甲，乙，丙，丁，戊5个学校进行“反校园欺凌”普法宣讲，每人只到1

个学校，每个学校只去1人.已知A民警不能去甲学校，用。两位民警不能到乙学校，则不同的分派方法共

有种.

【答案】60【详解】因为每人只到I个学校，每个学校只去1人,所以将5人全排列有A；=120种，其中

将A民警安排在甲学校有A：=24种不同的安排方法，将民警8或。安排在乙学校有C；A：=48种不同的安

排方法，又A民警在甲学校，且艮警8或。在乙学校有A；C；A：=12,所以A民警不能去甲学校，B,。两

位民警不能到乙学校，则不同的分派方法共有120-24-48+12=60种.故答案为：60.

3.从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都

不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（）

A.280种B.240种C.180种D.96种

【答案】B【详解】解：先从除了甲乙剩余的4名志愿者中选1人从事翻译工作，有C：种，然后再从剩余

的5名志愿者中选3个人从事另外三项工作，有种，所以一次有C：父二240种.故选：B.

4.某校从8名教师中选派4名教师到4个边远地区支教（每地1人），要求甲、乙不同去，甲、丙只能

同去或同不去，则不同的选派方案有种.

【答案】600【详解】解：分两步，第一步，先选四名老师，又分两类，第一类，甲去，则丙一定去，乙

一定不去，有C；=10种不同的选法，第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，有C：=15

种不同的选法，所以不同的选法有25种，第二步，四名老师去4个边远地区支教，有A：=24种，所以共

有25x24=600种,故答案为:600

5.某化工厂生产中需依次投放2种化工原料，现已知有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使

用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放，则不同的投放方案有（）.

A.10种B.12种C.15种D.16种

【答案】C【详解】分为以下三类分别计算：选甲，则有C；=3种；选乙，则有2xC；=6种；甲乙都不

选，则有A；=6种；共有3+6+6=15种方案；故选：C.

题型02不相邻问题插空法

解I题I策I略

对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端

空隙中插入即可

【精丽题】

【例1】五种不同商品在货架上排成一排，而c,。两种不能连排，则不同的排法共々（）种.

A.24B.72C.36D.42

【答案】B【详解】先安排除了G。两种外的三种商品，共有A；种方法，并形成4个空，再把C,。安

排到形成的4个空中,有A；种方法，所以共有A；A：=72种排法.故选：B

【例2】公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率九的范围是：3.1415926<^-<3.1415927,为纪念祖冲之在

圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.小明是个数学迷，池在设置手

机的数字密码时二打算将圆周率的前6位数字3,1,4,1,5,9进行某种排列得到密码.如果排列时要

求两个1不相邻，那么小明可以设置的不同密码有（）个.

A.240B.360C.600D.720

【答案】A【详解】利用插空法：共有A：xC；=24。种.故选：A

【例3】现将2本不同的数学书、3本不同的物理书、1本化学书放在一个单层的书架上，且同类的书各不

相邻，则不同的放法有（）

A.120种B.144种C.96种D.160种

【答案】A【详解】第一种情况，首先化学书在2本数学书的中间，数学书排列有2种方法，再让三本物

理与插空，有A：=24种方法，所以共有2x24=48种方法，第二种情况，若1本物理书在2本数学书的中

间，则这3本书看成1个元素，有3A；=6种方法，再和化学书排列有A；=2种方法，最后剩下的2本物

理书插空，有用=6种方法，所以共有6x2x6=72种方法，综上，共有48+72=120种方法.故选：A

【例4】如图，有三个不同班级的各两名代表要坐在长方形桌子的6个座位（座位序号为

1~6）上座谈，要求同一班级的两名代表既不能正对面（例如：一个人坐I号座位，则

同班级的另一个人不能坐6号座位）也不能左右相邻就坐，则所有可能坐法为桌子

种.【答案】96【详解】假设三个不同班级的各两名代表分别为％。、c/、e,f,若1,2,3

号座位只有两个不同班级的代表，则同一班级的在1，3号座位，则4,6号座位需为另一同O0©

班级的两名代表，此时2,5号座位为同一班级的两名代表，不符合题意，故L2,3号座位必须是3个不同班

级的代表，有A>23种方法；则45,6号座位只有2x1=2种就坐方法，因此所有可能坐法为2A；2,=96.故

答案为：96.

【例5】在我市的一项竞赛活动中，某县的三所学校分别有I名、2名、3名学生获奖，这6名学生排成一

排合影，要求同校的任意2名学生不能相邻，那么不同的排法有种.（用数字作答）

【答案】120【详解】记有1名、2名、3名学生获奖的学校分别为A8,C.先排C学校的3名学生，有

A；种：再对A8学校的学生进行排列：①若A校的1名与8校2名中的1名相邻，则有A；A；吊种排法；

②若A校的1名与8校的2名均间隔，则有2A；种排法.由加法原理得A；（AWA；+2A；）=120

（种）.故答案为：120.

【跟踪训练】

1.某学生准备将两颗不同口味的山楂、两颗不同口味的葡萄、一颗圣女果和一颗草莓串起来制作一串冰

糖葫芦，因口味的需求，山楂不相邻，则不同的串法共有（）

A.240种B.360种C.480种D.512种

【答案】C【详解】由题可知：A：A；=480.故选：C

2.为庆祝七-建党节，某党支部举办了建党节演出活动，该活动要安排3个歌舞类节目、2个情景类节目

和2个朗诵类节目的演出顺序.若朗诵类节目不在第一个出场，情景类节目演出顺序不相邻，则不同的演出

顺序的种数为（）

A.1560B.2640C.1360D,2340

【答案】B【详解】若情景类节目第一个出场，有A；种，再安排3个歌舞类节目和2个朗诵类节目的演出

顺序，有A；种,最后再利用插空法安排一个情景类节目,有A：种,则共有A；A；A；=1200种演出顺序.

若歌舞类节目第一个出场，有A；种，再安排余卜.的2个歌舞类节目和2个朗诵类节目的演出顺序，有A：

种，最后再利用插空法安排2个情景类节目，有A；种，则共有A；A：A；=1440种演出顺序.故不同的演出

顺序的种数为1200+1440=2640.故选：B.

3.当今，人工智能技术飞速发展，DeepSeek软件是我国一款基于人工智能深度求索软件.现将DcepSeek

单词中的字母重新排列，则仅有2个字母c相邻而另外2个字母c不相邻的不同排法种数为（）

A.240B.720C.480D.1440

【答案】B【详解】先将除字母e外的四个字母排序有A：种排法，则从5个空中选一个放两个e,有种

排法，再从剩下的4个空中选2个放另外两个e,有C：种排法，根据分步乘法计数原理共有

A：・C・C”720种排法,故选:B.

4.据典籍《周礼•春官》记载，“宫、商、角、徵、羽''这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指

此五音.如果把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音阶，“羽”不为首音阶，

“商”“角”不相邻，则可以排成不同音序的种数是（）

A.48B.50C.66D.78

【答案】B【详解】①若“宫''为首音阶，“商”“角”可取24,25,35音阶，排成的音序有C；A；A；=12种；②若

“宫”为第2音阶，“商”“角”可取13,14,15,35附；介，排成的音序有（3/冠+人；=14种；③若“宫”为第3音

阶，“商”“角”可取14,15,24,25音阶，排成的音序有C；A；A：+C；A；=12种；④若“官”为第4音阶，

"商””角，，可取13,15,25,35音阶，排成的音序有C；A；A；+C；A；=12种.由分类加法计数原理可知，一共

有12+14+12+12=50种排法.故选：B.

5.有互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，要求红色菊花摆

放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，则共有摆放方法（）

A.120种B.32种C.24种D.16种

【答案】D【详解】红色左边放一盆白色，一盆黄色，右边放一盆白色，一盆黄色，先选左边，白色二选

一，黄色二选一，再进行排列，故有C；C；A；种选法，再考虑后边，剩余的白色和黄色进行排列即可，有

A；种选法,综上：一共有摆放方法C；C；A；A；=16种.故选:D

题型03相邻问题捆绑法

解I题I策I略

对于某几个元素相邻的排列问题，可先将相邻的元素捆绑，再将它与其它元素在一起排列，注意捆绑部

分的内部顺序

i精速例题】

1例n某班优秀学习小组有甲、乙、丙、丁、戊共5人，他们排成一排照相，则甲、乙一人相邻的排法种数为

（）

A.24B.36C.48D.60

【答案】C【解析】先安排甲、乙相邻，有种排法，再把甲、乙看作一个元素，与其余三个人全排列，

故有排法种数为A：x8=48.故迄C

【例2】有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，内和丁相邻，则不同

排列方式共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

【答案】B【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有

3!种排列方式；为使甲不在两端，必须月.只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种

插空方式；注意到丙「两人的顺序“I交换，有2种排列方式,故安排这5名同学共有:31x2x2=24种不

同的排列方式，故选：B

【例3】（多选题）3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是（）

A.共有60种不同的坐法B.空位不相邻的坐法有72种

C.空位相邻的坐法有24种D.两端不是空位的坐法有27种

【答案】AC【详解】对于A,C；A：=：=x3x2xl=60,故正确；对于B,

3x2x1

4x3

A；C；=3x2xlx—=36,故错误；对于C,A>4=3x2xlx4=24,故正确；对于D,3x2x3=18,故

错误，故选：AC.

【例4】由1,2,3,4,5,6,7,8组成一个没有重复数字的八位数，任何相邻两个数字的奇偶性不同，

且满足3和4相邻，则这样的八位数有（）个.

A.432B.257C.216D.504

【答案】D【详解】第一步，排1,5,7三个数，有A；=6种不同的排法；第二步，排2,6,8三个数，有

C；A?=12种不同的排法；第三步，将3和4作为一个整体插入，有C；=7种不同的排法，根据分步乘法计

数原理，组成的不同的八位数共有6x12x7=504个.故选：D.

【例5】某办公楼前有7个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车辆停放，恰有两辆车停放在相邻车位

的方法有种.

【答案】120【详解】从3辆车中挑出2辆车排列好之后进行捆绑看作一个元素，有川=6种方法；另一

辆看作另一个元素，这两个元素不相邻，将这两个元素插入另外4个车位形成的5个空位中，有A；=20

种,因此共有A；A；=120种.故答案为：120

【跟踪训练】

1.将这5名同学从左至右排成一排，则A与B相邻且A与。之间恰好有1名同学的排法有

()

A.10种B.20种C.18种D.15种

【答案】B【详解】根据题意，分两种情况：若A与C之间为4,即3在AC中间且三人相邻，共有

A；=2种情况，将三人看成一个整体，与。西两人全排列，共有A；=6种情况，则此时有2x6=12种排

法.若A与C之间不是3,先从中选取1人，安排在之间，有C；=2种选法，此时8在A的另一

侧，将4人看成一个整体，考虑之前的顺序，有A；=2种情况，将这个整体与剩下的1人全排列，有

A；=2种情况，此时有2x2x2=8种排法，所以总共有12+8=20种情况，故选：B.

2.甲、乙、丙、丁四名同学排成一排照相，则甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有一名同学的方案共有()

A.3种B.4种C.6种D.12种

【答案】C【详解】根据题意，可分成两类情况：第-类：乙在甲、丙之间，有A；A；=4种；第二类：乙

不在甲、丙之间，有A；=2机由分类加法计数原理，共有4+2=6种方案.故选：C

3.有3名男生和2名女生站成一排拍照，其中男生甲必须站在两端，2名女生必须站在一起，则不同的站

法有()

A.8种B.12种C.20种D.24种

【答案】D【详解】先选男生甲的位置，有2种；再将两名女生绑定排列有2种，然后与剩余同学全排列

有A；种；由分步乘法原理可得共有2x2xA；=24种.故选：D.

4.某公司年会安排节目表演，有3个小品节目、2个歌舞节目和1个杂技节目.现要求歌舞节目相邻，小

品节目也相邻，杂技节目不能在首尾位置，则不同的安排方法共有()

A.24种B.36种C.48种D.72种

【答案】A【详解】利用捆绑法排3个小品节目、2个歌舞节目和1个杂技节目有A；A；A；=24种.故选：

A.

5.某电影院一排有7个座位，中间有条过道，过道左侧有4个座位，右侧有3个座位，现有包含小明，

小刚，小强在内的7位同学购买了某一排的座位，其中小明想和小刚坐在一起，小强想坐在右侧，则共有

()种不同的排法.

A.216B.264C.312D.528

【答案】D【详解】按照1-7的序号对座位进行编号，左侧编号1一4,右侧编号5—7,若小明和小刚坐

在左侧，则安排情况为(1,2),(2,3),(3,4),共3种排法，小明和小刚可互换位置，小强排在右侧有3种排

法，剩下的4人有A：种排法，因此小明和小刚坐在左侧时共有C；A汜;A：=432种排法；若小明和小刚坐

在右侧，则安排情况为（5,6）,（6,7）,共2种排法，小明和小刚可互换位置，小强只有一种排法，剩下的4

人有A：=24种排法，因此小明和小刚坐在右侧时共有C；A；A：=96种排法，所以不同的排法共有

432+96=528种情况.故选：D

6.有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法错误的是（）

A.如果四名男生必须连排在一起，那么有A：A：种不同排法

B.如果三名女生必须连排在一起，那么有A；A；种不同排法

C.如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有A：A；种不同排法

D.如果女生不能站在两端，那么有A；A；种不同排法

【答案】D【详解】A.如果四名男生必须连排在一起，将这四名男生捆绑，形成一个整体，此时有A：A：

种不同排法，选项A正确.B.如果三名女生必须连排在一起，将这三名女生捆绑，形成一个整体，此时有

A；，弋种不同排法，选项B正确.C.如果三个女生中任何两个均不能排在一起，将女生插入四名男生所形成

的5个空中，此时行A：A；种不同排法，选项C正确.D.如果女生不能站在两端，则两端安排男生，其他

位置的安排没有限制，此时有种不同排法，选项D错误澈选：D.

题型04分配问题先分组再分配

解I题I策|略

遇到分配问题，我们最好是先分组，然后再把组分配到每个地方，这样就会避免重复出错

【精选例题】

【例1】已知4位学生被分配到A、6、。三地学习，每地至少分配一位学生且每位学生只能去一个地方学

习，则不同的分配方式有（）

A.12种B.18种C.24种D.36种

【答案】D【详解】根据题意，先从4人中选2人组成一组，有C；种方法，然后将3组学生分配到A、

8、C三地学习，有A；种方法，由分步计数原理知共有C；A：=36种不同的分配方法，故选：D.

【例2】某学术协会收到5篇论文，需要分配给3名专家进行评审，每名专家至少评审1篇，每篇论文由

1名专家独立评审，则不同的分配方式共有（）

A.60种B.90种C.120种D.15（）种

【答案】D【详解】先将5篇论文分成3组且每组至少一篇，只有两种分组方法：3,1,1和2,2,1若5篇论文

分成3J1三份.总共有C；=10种方法，再将这三份论文分配给三名专家，因此总计C；xA：=60种方法；若

5篇论文分成2,2』三份.总共有率=15种方法，再将这三份论文分配给三名专家，因此总计15XA；=90

种方法.因此总计150种分配方式.故选：D

【例3】名志愿者要到A,8,C三个社区进行志愿服务，每个志愿者只去一个社区，每个社区至少安排

1名志愿者，若要2名志愿者去A社区，则不同的安排方法共有（）

A.105种B.144种C.150种D.210种

【答案】D【详解】先选出2名志愿者安排到4社区，有C：种方法，再把剩下的4名志愿者分成两组，有

C2c2

两种分法，一种是平均分为两组，有七种分法，另一种是1组I人，另一组3人，有C；C；种分法，再

（「202''

分配到其他两个社区，则不同的安排方法共有C：卡+C：C；A；=210种.故选：D

【例4】某班9名同学参加植树活动，若将9名同学分成挖土、植树、浇水3个小组，每组3人，则甲、乙、

丙任何2人在不同小组的安排方法的种数为（）

A.90B.180C.540D.3240

【答案】C【详解】第一步：先安排除甲、乙、丙之外的同学，将除甲、乙、丙3人之外的6名同学分成挖土、

C2C2C2

植树、浇水3组，每组2人，有七产A；=90种不同的方法；第二步：安排甲、乙、丙，甲、乙、丙3人分

到3个不同的小组，有A；=6种不同的方法.则山分步乘法计数原理知，共有90x6=540种不同的安排方

法.故选:C.

【例5】现有5本不同的书《天工开物》、《梦溪笔谈》、《齐民要术》、《本草纲目》、《九章算

术》，则下列说法正确的是（）

A.将全部的书放到6个不同的抽屉里，一个抽屉可放多木书，有5,种不同的放法

B.将全部的书放在同一层书架上，要求《本草纲目》和《九章算术》相邻，有96种不同的放法

C.将书分给3位不同的学生，其中一人1本，一人2本，一人2本，有90种不同的分法

D.现将五本书并排成一排，则《天工开物》、《梦溪笔谈》按从左到右（可以不相邻）的顺序排列

的不同的排法有120种

【答案】C【详解】对于A,将全部的书放到6个不同的抽屉里，一个抽屉可放多本书，每本书均有6种

不同的放法，根据分步计数乘法原理，共有6种放法，所以A不正确；对「B,将全部的书放在同一层书

架上，要求《水浒传》和《西游记》相邻，可得把《水浒传》和《西游记》看成一个元素，共有

A；A：=48种放法，所以B不正确；对于C,将书分给3位不同的学生，其中一人1本，一人2本，一人

4x3

2本，有C；C；C；「，江？”-5种分组方法，再将其分给三人，共有

A；2x1

4^x]

曳丝xA3=tl^Lx3x2xl=90种分法，所以C正确；对于D中，现将五本书并排成一排，

32x1

A?=5x4x3x2xl=120,则《天工开物》、《梦溪笔谈》按从左到右（可以不相邻）的顺序排列的排法有

A517（）

晨=丫=60种，所以D错误.故选：C.

【跟踪训练】

1.某班5名学生负责校内3个不同地段的卫生工作.每名学生都要参与且只负责某个地段的卫生工作,

每个地段至少有1名学生的分配方案共有（）

A.300种B.90种C.240种D.150种

G+第印。+15=25（种）再将这三组学生分配

【答案】D【详解】先将5名学生分成三组的分法有:

到三个地段共有：8=6（种）所以利用分步乘法原理，可知每个地段至少有1名学生的分配方案共有

25x6=150（种）故选：D.

2.某医院派6名医生到3个社区进行义诊，每个社区至少一名医生，其中甲乙两人必须在一起，则不同

的方案有（）种

A.150B.180C.360D.540

【答案】A【详解】甲乙必须在一起，可把甲乙视为一个整体，问题相当于将5名医生到3个社区，按

C2C2

1,1,3分配时，共有C；A；=60种方案：按122分配时，共有卡.y=90种方案，所以共有60+90=150

种不同的分配方案.故选：A

3.在贵州“村超”总决赛阶段，某校足球社的5名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村、口寨

村、忠诚村3个村寨进行调研，每组至少1人，其中甲、乙2人不能分在同一组，每个村各有一组来调

研，则不同的安排方法种数是（）

A.114B.120C.15（）D.180

【答案】A【详解】根据题意，5名学生分成三组分组方法分为两种：①3:1:1分组：总分组方式为

C；=l（）种，其中甲、乙同在三人组的方式有C；=3种，故符合条件的为10-3=7种；②2:2:1分组：总分

组方式为上导=15种，其中甲、乙同在两人组的方式为C；=3种，故符合条件的为15-3=12种.由分类加

法计数原理，总分组方式为7+12=19种，-:组对应三个村寨的排列方式为A；=6种，故最终总方法数为

19x6=114种.故选：A.

4.将6名学生分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生参加，学生A

不安排到甲地且与学生8不安排到同一个地方，则不同的安排方案的种数为（）

A.260B.280C.360D.390

【答案】A【详解】（1）三地分别有1人、1人、4人共有笺=90种；①A去甲地，如果甲地有

1人，则有C；C：A；=10种，如果甲地有4人，则有C；A；=20种，所以A去甲地共有10+20=30种；②

4、8去同一个地方，有C：A；=36种；③A、8去甲地，有C：A；=12种：所以，三地分别有1人、1

人、4人的情况下，符合题意的共有90-30-36+12=36种；（2）三地分别有1人、2人、3人共有

C©C；A；=36O种；①A大甲地，如果甲地有1人,有C；C；A；=2O种，如果甲地有2人，：行CC：C；A；=40

种，如果甲地3人，有C；C；C；A；=60种，所以A去甲地共有20+40+60=120利|；②A、8去同•个地

方，如果这个地方有2人，有C：C；A；=24种，如果这个地方有3人，有C：C；CA；=72种，所以A、B去

同•个地方共有24+72=96种：③A、8去甲地，如果甲地有2人，则有C：C；A；=8种，如果甲地有3

人，则有C：C；C；A；=24种，所以斗、夕去甲地共有8+24=32种：所以，三地分别有1人、2人、3人的情

C2C2C2

况下，共有360-120-96+32=176种：（3）三地各有2人，共有一号2=90种；①4去甲地，有

A3

c卜等田3。种,②A、5去同一个地方,有鬓♦小18种;③儿B去甲地,喈金6

种；所以，三地各有2人的情况下，符合题意的共有90-30-18+6=48种；综上，符合题意的安排方案共

有36+176+48=260种，故选：A.

5.从7名工程师中选出4人去3个不同的工地执行任务，其中甲、乙两名工程师要么都去，要么都不

去，每个工地要求至少有一名工程师，则不同分配方法的种数为（）

A.540B.180C.360D.1080

【答案】A【详解】由题意得，先选人，甲乙都去有C；种选择，甲乙都不去有C；种选择，又每个工地要

c：CC

求至少有一名工程师，所以分配方案为221,根据分组分配部分均分问题有A；种方案，所以不同

A2

r2rl「I

分配方法的种数为（C；+C；）专匕A；=540.故选：A.

题型05定序问题消序法

解|题|策|略

An

定序问题，一般地，〃个元素排成一排，其中m个元素的定序排列的种数为瑞.

__________________________________________________________________An_____________________

【精选例题】

【例1】甲、乙、丙、丁、戊、己六人按一定的顺序依次抽奖，要求甲排在乙前面，丙与丁不相邻且均不

排在最后，则抽奖的顺序有（）

A.72种B.144种C.360种D.720种

【答案】B【解析】第一步先排甲、乙、戊、己，甲排在乙前面，则有a种，第二步再将丙与丁插空到

2

第一步排好的序列中，但注意到丙与丁均不排在最后，故有4个空可选，所以有中插空方法，所以根

44

据分步乘法计数原理有年•=144种.故选：B.

【例2】按照编码特点来分，条形码可分为宽度调节法编码和模块组合法编码.最常见的宽度调节法编码

的条形码是“标准25码”，“标准25码”中的每个数字编码由五个条组成，其中两个为相同的宽条，三个为

相同的窄条，如图就是一个数字的编码，则共有多少（）种不同的编码.

A.120B.60C.40D.10

【答案】D【详解】由题意可得，该题等价于将5个元素（3个分别相同、2个分别相同）排成一列的所有

A5

排列数'=”^=10.故选：D

【例3】EWA是形成所有生物体中染色体的一种双股螺旋线分子，由称为碱基的化学成分组成它看上去就

像是两条长长的平行螺旋状链，两条链上的碱基之间由氢键相结合.在。NA中只有4种类型的碱基，分

别用A、C、G和r表示，QNA中的碱基能够以任意顺序出现两条链之间能形成氢键的碱基或者是A-T,

或者是C-G,不会出现其他的联系因此，如果我们知道了两条链中一条链上碱基的顺序，那么我们也就知

道了另一条链上碱基的顺序.如图所示为一条。NA单链模型示意图，现在某同学想在碱基7和碱基C之

间插入3个碱基A,2个碱基C和1个碱基T,则不同的插入方式的种数为（）

IIIIIIII

...AGGATCGG...

A.20B.40C.60D.120

720

【答案】C【详解】依题意可知，不同的插入方式的种数为夏合不=丁冬=60.故选：C

【例4】有6x6的方格中停放三辆完全相同的红色车和三辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆

车，每辆车占一格，则停放的方法数为（）

A.720B.2160C.8400D.14400

【答案】D【详解】首先假设6辆车是不同的车，第一辆车有36种方法，第二辆车不能与第一辆车同行，

同列，则有25种方法，同理，第三辆车有16种方法，第四辆车有9种方法，第5辆车有4种方法，第6

辆车有1种方法，因为3辆红色车相同，3辆黑色车相同，所以不同的停放方法为

【例5】花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现

有悬挂着的8盏不同的花幻需要取卜.，每次取I盏，则不同取法总数为（）

A.2520B.5040C.7560D.10080

【答案】A【详解】由题意，对8盏不同的花灯进行取下，先对8盏不同的花灯进行全排列，共有另种方

法，因为取花灯每次只能取一盏，而且只能从下往上取，所以须除去重复的排列顺序，即先取上方的顺

序，故一共有一4,：，/=2520种,故选：4

【专题训练】

I.某公司在元宵节组织了一次猜灯谜活动，主持人事先将10条不同灯谜分别装在了如图所示的10个灯

笼中，猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜（无论猜中与否，选中的灯笼就拿

掉），则这io条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法数为.（用数字作答）

【答案】25200【详解」一共有10条灯谜，共有4种方法，由题意可知而其中按2,3,3,2组成的4列

相对位置不变,所以结合倍缩法可知共有=25200种，也即是这10条灯谜依次被选中的所有不

同顺序方法有25200种，故答案为：25200.

2.某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题.并

规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一

名参与者一共有种不同的答题顺序.

【答案】60【详解】将6只灯笼全排，即4，因为每次只能取其中一串最下面的一只灯笼内的谜题，每次

取灯的顺序确定，取谜题的方法有二/二60•故答案为：6。

3.五个人并排站在一排，如果甲必须站在乙的右边（甲乙可不相邻），则不同的排法有种.

【答案】6（）【详解】五个人并排站在一排，共有父=120种，其中甲、乙两人共有A；=2种顺序，各占一

半，所以甲必须站在乙的右边（甲乙可不相邻）的不同的排法有个■=三=60种，故答案为：60

AZ

4.由数字0」组成的一串数字代码，其中恰好有7个I,3个0,则这样的不同数字代码共有

个.

A10

【答案】120【详解】一共10个数字，其中7个1,3个0,所以一共为=120.故答案为：120

A7A3

5.2021年07月01日是中国共产党成立100周年，习近平总书记代表党和人民庄严宣告，经过全党全国

各族人民持续奋斗，我们实现了第一个百年奋斗目标，在中华大地上全面建成了小康社会，历史性地解决

了绝对贫困问题.某数学兴趣小组把三个0、两个2、两个1与一个7组成一个八位数（如20001217）,若其

中三个0均不相邻，则这个八位数的个数为（）

A.200B.240C.300D.600

【答案】C【详解】利用插空法，第一步排列两个2,两个1,一个7,共有2T种排法，第二步再把0

A的

A5

插入其中五个空，所以有C；种排法，所以共有号-300个八位数.故选：C.

题型06相同元素隔板法

解I题I策I略

遇到元素相同问题，我们可以采用隔板法，因为元素之间是不加区分的，例如相同小球放入不同盒子中，

名额的分配问题等__________________________________________________________________________

【精选例题】

【例1】杷6个相同的小球放入4个不同的箱子中,每个箱子都不空，共有多少种放法（）

A.10种B.24种C.36种D.60种

【答案】A【详解】依题意，采用隔板法，在5个空中插入3块板，则不同的放法共有C；=10种；故选：A

【例2】把10个相同的小球放入编号分别为1,2,3的三个不同的箱子中，每个箱子的球的个数不少于其

编号，则共有多少种放法（）

A.10种B.15种C.20种D.45种

【答案】A【详解】依题意，采用隔板法，先在1号箱子放。个小球，2号