平面向量基本定理及坐标表示-人教A版高一数学必修第二册课后练

63平面向量基本定理及坐标表示

——高一数学人教A版(2019)必修第二册课后练

【教材课后习题】

1.如图，在3c中，点七是CO的中点.设=AC=b.用

a,b表示CD,AE.

2.已知作用在坐标原点的三个力分别为五1=(3,4),F2=(2,-5),工=(3,1),求作

用在原点的合力片+尸?+尸3的坐标.

3.在下列各小题中，已知向量。的坐标，以及表示〃的有向线段A3的起，点A

的坐标，求终点3的坐标.

(1)a=(-2,1),A(0,0)；

(2)a=(1,3),A(-1,5)；

(3)a=(-2,-5),A(3,7).

4.已知cA8CD的顶点A(-l「2),3(3,T),C(5,6),求顶点。的坐标.

5.已知点。(0,0),4(1,2),5(-1,3),且OA=2Q4,Off=3OB,求点A,S及向

量A'8’的坐标.

1——•---•1―

6.已知点41』)，8(己知)，且AC=-AB,AD=2AB,AE=一一AB,求点C,

22

D,E的坐标.

7.你认为下列各组点具有什么样的位置关系?证明你的猜想.

(1)4(1,2),5(-3,-4),C(2,3.5)；

(2)P(-l,2),2(0.5,0),R(5,-6)；

(3)E(9,l),F(l,-3),G(8,0.5).

8.分别在平面直角坐标系中作出下列各组点，猜想以4,B,C为定点的三角形

的形状，然后给出证明：

(1)4(T,T),8(5,2),0(3,4)；

(2)A(-2,-3),3(19,4),C(-l,-6)；

(3)42,5),3(5,2),C(10,7).

9.己知|。|=3,^=(1,2),且a〃力，求。的坐标.

1().已知。=(4,2)，求与〃垂直的单位向量的坐标.

11.如图，在平行四边形A8CO中，点E是A8的中点，点F,G分别是AO,

8C的三等分点(4/=140,86二18(?|.设48=〃，AD=h.

I33)

3

(2)如果|W=—1〃|,EF,EG有什么位置关系?用向量方法证明你的结论.

2

一—一1

12.己知点。(0,0),41,2),8(4,5),0P=Q4+MB.当，=1,-2,2时，分别

求点P的坐标.

—.3—

13.已知A(2,3),8(4,-3),点P在线段A8的延长线上，且|AP|二-|P例，求点

2

P的坐标.

14.求证：以A(l,0),3(5,-2),C(8,4),。(4,6)为顶点的四边形是一个矩形.

15.如图，设Ox,Oy是平面内相交成60。角的两条数轴，4,e2分别是与x

轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量=则把有序数对",)，)叫做

向量OP在坐标系xQy中的坐标.设OP=3,+2与.

(1)计算|。尸|的大小；

(2)根据平面向量基本定理判断，本题中对向量坐标的规定是否合理.

16.用向量方法证明：对于任意的a,b,c,6/GR,恒有不等式

(ac+bcl)2<(6Z2+Z?2)(C2+J2).

【定点变式训练】

IILIUUllllUU・IUIWIKI.|

17.已知。是ZVlBC所在平面内的一点，HBD=-2DC,设AQ=/IAB+〃AC,则

"〃=()-

A.--B.-C.3D.-3

23

18.如图，在△ABC中，3七是4。边上的中线，O是3E边的中点.若

UUUClllIUIIUU1

AB=a.AC=bt则AO=()

R11r

23

11,

nu.—a+—b

24

19.在平行四边形A8C。中，AC为一条对角线.若A4=(2,4),AC=(1,3),则BO=

()

A.(-2,-4)B.(-3,-5)C.(3,5)D.(2,4)

20.己知向量a=(l,x),5=(T3).若向量2zi+)与向量力平行，则x的值为()

44

A.-3B.OC-D-

33

21.已知向量。=(2,/),”力=(1,/一3),若a_L。，则/的值为()

A.--B.lC.2D.1或2

3

22.在四边形A3。中，A(—2,0),8(-1,3),C(3,4),0(2,3),E,尸分别为

边A&CO的中点，则七尸=()

A.(4,2)B.(T,-2)C.(8,4)D.(-8,-4)

UUH11ULMAllLUItuiMiuuii

23.设。为少次?所在平面内一点，AD=-AB+-AC.^BC=ADC(AG/?),贝！4=

33

24.已知向量。=(2,l),b=(1,-2).若ma+nb=(9,-8)(〃?,weR),则m-〃的值为

25.已知非零向量机，〃满足m=(-1,6),/〃.(/"〃)=5,〃_!_(〃+〃)，则m〃的夹角为

26.已知向量OA=(3,-4),OB=(6,-3),OC=(5-m-[3+源)).若AABC为直角三角形，且

为直角，则实数"2的值为.

27.平面给定三个向量〃=(3⑵力=(-l,2),c=(4,1).

⑴若a=E+〃c,求2”/的值；

⑵若向量°+姑与向量％-c共线，求实数A的值.

28.已知在中，点。在线段0B上，且8=208,延长BA到C,使

BA=AC.

1110UllU

设OA=a,OB=/>.

uuuuuu

⑴用a.力表示向量。CDC；

⑵若向量鸵与方+%浅共线，求％的值.

29.在平面内给定三个向量a=(3,2),5=(-1,2),c=(4,l).

⑴求满足a=〃而+〃c的实数/〃，〃的值；

(2)若向量d满足(d-c)〃(a+b),且|d-c|=75,求向量d的坐标.

30.已知a,b,c是同一平面内的三个向量，其中a—(1,2).

(1)若|c|=26，且c〃a,求c的坐标；

⑵若回=手，且a+力与力-办垂直，求。与方的夹角0.

答案以及解析

1.答案：CD=-a-b；AE=-a+-b

362

解析：CD=AD-AC=-AB-AC=-a-b,

33

AE=-(AD+AC)=-{-AB-^Ac\=-AB^-AC=-a+-b.

2213J6262

2.答案：(8,0)

解析:6+尸2+玛=(3,4)4-(2,-5)+(3,1)=(8,0).

3.答案：(1)8(—2,1)

(2)8(0,8)

(3)8(1,2)

解析：(1)a=AB=OB-OAf

OB=a^OA=(-2,1)+(0,0)=(-2,1),/.^(-2,1).

(2)a=AB=OB-OAf：.OB=a+OA=(1,3)+(-1,5)=(0,8),

/.3(0,8).

(3)a=AB=OB-OA,/.OB=a+OA=(-2,-5)+(3,7)=(1,2),

•••8(1,2).

4.答案：(1,5)

解析：解法1：设O为坐标原点,则04=(-1,-2),BC=(5-3,6-(-l))=(2,7).

而AO=8C,OD=OA+AD=OA+BC=^5),所以顶点。的坐标为(1,5).

解法2：设顶点。的坐标为",)，)，则y-(-2))=(x+l,y+2),

BC=(5-3,6-(-l))=(2,7).

।-Y-1,1—0Y—1

由=得"‘解得一’所以顶点。的坐标为(1,5).

>+2=7,[y=5.

5.答案:A(2,4)；B'(—3,9)；彳&=(-5,5)

解析：因为04；=204=(2,4),所以点A的坐标为(2,4).

因为OBr=30B=(-3,9),所以点K的坐标为(-3,9).

所以向量4*=(一5,5).

6.答案：C(0,3)；D(-3,9)；£(2,-1)

解析：设。为坐标原点，则OA=(1/)，A8=(-2,4).

AC=—AB=(—1,2),AD=2AB=(—4,8),AE=—■-AB=(1,-2).

22

0C=0A+4c=(0,3),所以点C的坐标为(0,3)；

OD=OA+AD=(一3⑼，所以点。的坐标为(-3,9)；

OE=OA^AE=(2,-1),所以点£的坐标为(2,-1).

7.答案：(1)三点共线，证明见解析

(2)三点共线，证明见解析

(3)三点共线，证明见解析

解析：(1)A,B,C三点共线.因为A6=(-4,-6),AC=(1,1.5),所以

AB=-4AC.因为直线45与AC有公共点A,所以4,B,。三点共线.

(2)P,Q,R三点共线.因为PQ=(1.5,-2),丽=(6,-8),所以PR=4PQ.因

为直线PR与P。有公共点尸，所以P,Q,R三点共线.

(3)E,F,G点共线.因为所=(—8,-4),£G=(-L-0.5),所以稗=8EG.因

为直线Er与EG有公共点E,所以E,F,G三点共线.

8.答案：(1)AAbC为直角三角形，证明见解析

(2)△ABC为直角三角形，证明见解析

(3)△49C为直角三角形，证明见解析

解析：(1)如图，△A6C为直角三角形，证明如下：

ABLBCf/.ABLBC.

「.△ABC为直角三角形.

（2）如图，△A3C为直角三角形，证明如下:

VABAC=21xl+7x(-3)=0,

:.AB1ACtABYAC,

「.△ABC为直角三角形.

(3)如图，△A3C为直角三角形，证明如下:

AB=(3,-3),BC=(5,5),

•.A8-8C=3x5+(—3)x5=0,

ABA.BC,AB±BC,

「.△ABC为直角二角形.

’3加64、3后—述、

9.答案：a或〃

丁'丁"F'一"F

3后3x/5

x2+y2=9,x=-----x=-------

55

解析：设。=(x,y),则＜y解得，或＜

石

X=2'66x/5

y='-

(述述］

于是a二丁，丁

_f752国(旧2石)

10.答案：e或e

"丁'一"5"55

解析：设与。垂直的单位向量e=(x,y),则

石75

x=——,x=-----

5或，5

UI"2y/526

y=~~>?=—

于是」在「矩］

或6=歹，可

557

—11---I1

11.答案：(1)EF=—b一一〃；EG=-a+-b

3223

(2)EF上EG,证明见解析

解析：(1)EF=AF-AE=-AD--AB=-b--a；

3232

1——1—1——11

EG=EB+BG=-AB-^AF=-AB+-AD=-a+-b.

22323

(2)£F_LEG.证明如下：

—1I一11

由(1)知，EF=-b一一a,EG=—b+—a,

3232

，EF工EG,:.EF±EG.

12.答案：见解析

解析：04=(1,2),AB=(3,3).

当1=1时，OP=OA+A8=(1,2)+(3,3)=(4,5),所以尸(4,5)；

当，二,时，。尸=O4+_LAB=(1,2)+(3,3、二

3Z,所以呜

22122)659

当，=-2时，OP=OA-2AB=(1,2)-(6,6)=(-5,-4),

所以P(—5,Y)；

当f=2时，0P=0A+2AB=(1,2)+(6,6)=(7,8),所以尸(7,8).

13.答案:/J(8,-15)

解析：如图所示，

设P(x,y),则/户=(x-2,y-3),8尸=(x-4,y+3).

3一3・

V|AP\=-\PB\:.AP=-BP.

2t2

3

即(x-2,y-3)=-(x-4,y+3),

/.x=8,y=-15,z.P(8,-15).

14.答案：见解析

解析：证明：因为48=(4,-2),8c=(3,6),DC=(4,-2),所以AB=OC,

A8-BC=0所以以A,B,C,。为顶点的四边形是矩形.

15.答案：(1)M

(2)合理

解析：(1)建立如图所示的直角坐标系，将0尸分解到OV轴和。)，'轴可求得

1PMi=G，10Ml=4,所以|m=-3+16=M.

(2)对于任意向量QP=xq+)4都是唯一确定的，所以本题中对向量坐标的

规定合理.

16.答案：见解析

解析：证明：构造向星〃=3份，p=(c,d).

M-V=|wlklcos^(其中0为向量〃，P的夹角).

所以ac+bd=J/+1川*+d?cos0,

所以(ac+〃d)2=(/+/?2乂。2+"2)cos2夕工"十⑹1

17.答案：D

解析：由题意作图，如图所示，因为那=-2浅，所以C为B。的中点,

UUUUUUULM1UUUUllULILIUIIIIUULIUIIUUIKWI_

所以AO=A3+4O=A8+23C=A4+2(AC-A4)=-AB+2AC,因为

UUUIUUUUUttl

AO=/U3+〃AC,

所以由平面向量基本定理可得2=-1,〃=2,所以7-〃=-3,故选D.

18.答案：D

uim1iiuin

解析：Q在△ABC中，BE是AC边上的中线，.•.AE=5AC.

,,,,,in.nn1urnuuniumi.innii

QO是8七边的中点，.•.4O=-(AB+AE)=-4B+-AC=-a+-),故选D.

22424

19.答案：B

miumuuuuuuuuuuuiaiuuwunuiIKW

解析：QAC=AB+AD,:.AD=AC-AB=(-1,-1),BD=AD-AB=(-3,-5),故选B.

20.答案：A

解析:Q向量。=(1,幻,力=(-1,3),「2+6=(1,2%+3).

又2/z+力与向量力平行，.二二口、-？，解得工=-3.故选A.

21.答案：A

解析：因为向量。=(2j),a-b=(i,t-3),所以6=°-3-6)=(1,3),因为aJLb,

所以〃/=(2,»(1,3)=2+3/=0,解得/=-§,故选A.

22.答案：A

解析：因为A(-2,0),B(-l,3),C(3,4),0(2,3),E,尸分别为边48,CD的

中点，

(33、57(33

所以E-,-L所以七/==(4,2).故B,C,D错

I22J（22）(22J<"2,2

误.

故选：A.

23.答案:-3

解析：Q”为所在平面内-点，器iiuin=一;郊+（黑，.•.8.C.Q二点共线.

11nli

—H一IBI—min一HUU1一LILIU一UUlU一UU3iiuin1um2-11I1

XBC=2DC(2e/?),/.AC-AB=AAC-AAD,BPAD=-AB+^^AC,则上=一一,

222,3

解得冗=-3.

24.答案：-3

解析：由向量a=(2,1),方=(1,-2),得ina+nb=(2m+-2n)=(9,-8)，

则=9解得

一故=

tn-2〃=-8,〃=5,

25•答案：T

解析：Qm=m|={(-if+(G)2=2,/.m-(m-n)=in2-m-n=4-m-n=5,

二./小〃=-1.Q〃_L(m+n\:.n(m+〃)=〃•/〃+/=0,.J〃|=1.设向量〃z,〃的夹角为

0,贝ljcus0="=——=一■-,Q0<H,..=—

\m\\n\2x123

26.答案：2

4

uiwiiiiuuimiiutiuumuu

解析：由题意知A8_LAC.又48=(3/)，所以4C=OC-OA=(2-〃知一〃?).

in.iimiti7

由A4AC=(),得3(2-加)+(1-刈=0,解得m=一

4

所以实数〃2的值为2.

4

Ia

27.答案：（1）4+〃=]

⑵V

解析：⑴由题知劝=（-42团,〃c=（4〃,〃）,

...Ab+pc=(-A+4〃,24+〃).

又。=/lb+〃c,

25

一兄+4/7=3,曾

解得

24+〃=2,89

u=—.

9

(2)由题知。+心=(3—&,2+22),2〃一。=(-6,3),

Qa+他与2ZF-C共线，

.•.3(3—幻=-6(2+2幻，解得女二一2.

3

uuuin.niS

28.答案：⑴OC=2a-6；DC=2a-b

⑵攵=93

4

，一,,UlT1IRKUUU

解析：(1)QA为BC的中点，:.O