泸溪某中学2025-2026学年高二第二次期末模拟考试数学试卷

泸溪一中2025-2026学年高二第二次期末模拟考试

数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

]若"{一1,0,1,2,3},则方程/+/+%+2少+/+。—1=0表示的圆的个数为()

A.1B.2C.3D.4

2.已知2=(〃?+3)+(〃7-)(〃"/?)在竟平面内对应的点在第四象限，则复数z的模的取值范围是()

A.[272,4)B.[2,4]C.(2夜,4)D.(2,4)

3.设%,y£R,向量五=(x,1,1),b=(l,y,1)»c=(2,-4,2),且G13,b//c,则|d+同等于()

A.2V2B.><10C.3D.9

4.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷

雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为31.5尺，前

八个节气日影长之和为80尺，则谷雨日影长为()

A.1.5尺B.3.5尺C.5.5尺D.7.5尺

5.已知双曲线C：a一=l(a,b>0,aHb)左、右顶点分别为力，B.若直线Z：y=-x+a与两条渐近线

分别交于M,N,且而=2而，则双曲线。的离心率为()

A.V2B.V3C.2D.V5

6.已知椭圆过点P(l,l)的直线交椭圆于A,B两点,且P为线段48的中点，则直线48的方程

为()

A.x+3y-4=0B.3x+y-4=0C.x-3y+2=0D.3x-y-2=0

7.在三棱锥。一力8C中，。4。丛0。两两互相垂直，E为。。的中点，且。8=OC=2。4则直线AE与平面

A8C所成角的正弦值为()

A.更B.3C.渔D.在

61263

8.已知尸，。是直线//一y+1=0上两动点，且|PQ|=Vi，点A(—3,5),8(1,5),则|A"+|尸0+也目的最

小值为()

A.2万+亚B.2>/13->/2C.2>/15+72D.2厉-&

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

9.己知直线4工一3y+4=0,4：(m—2)x—(7Ti十l)y+2m—4=O(meR),贝(J()

A.直线。过定点(2,0)B.当m=1时，Zj112

C.当m=-10时，I//。D.当I"/"时，两直线。与12之间的距离为:

10.已知抛物线C:y2=4%的焦点为八准线为/,。为坐标原点.点MQo,4)在抛物线C上，直线M0,Mr分

别与/交于A,B,直线MF与抛物线。交于另一点N,则()

的坐标为

A.F(2,0)B.|MF|=5C.\AB\=^D.SA0FM>2SAABN

11.已知菱形ABC。的边长为2,NB=60，沿对角线AC将“18折起，得到如图所示的三棱锥

力一ABC.设在月二^^二反人》二八E是棱30上靠近"的三等分点，尸是AC的中点，且所=1,

3232

C.棱的长为GD.异面直线AO与3C所成角的余弦值为，

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知抛物线y2=2px(p>0)的顶点到焦点的距离为2,则p=.

13.若单调递增数列｛即｝满足a“+an+i=2几一5,neN*,则出的取值范围是.

14.在平面直角坐标系中，若曲线丁=加+&4,〃为常数)过点P(2,—5),且该曲线在点户处的切线

人

与直线7x+2y+3=0平行，贝Ja+〃的值是.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.已知圆C经过点M(-3,6),/V(-5,4),且圆心C在直线4x-3y+24=0上，直线2经过点(-1,0).

(1)若直线/与圆。相切，求直线，的方程；

(2)若直线［与圆C相交于4,8两点，求△48。的面积的最大值，并求此时直线必方程.

16.已知等差数列｛每｝满足公差d>0,&+。5=22,a3a4="7.等比数列｛九｝的首项4=1,公比为3.

(1)求数列｛g｝,｛%｝的通项公式：

(2)数列｛册｝的前〃项和为之,记数歹U｛牛｝的前〃项和为〃，求

17.四棱锥P-ABC。底面为菱形，H41底面48c0,LBAD=60°,PA=力B=2,点E在P8上，PE:EB=

1:2.

AB

(1)证明：PC1DBx

(2)求二面角A-DE-B的余弦值.

18.已知椭圆E：W+^=l(a>b>0)的离心率为£点P(祗1)在椭圆E上，不过点P的直线［与椭圆E相交

于M,N两点.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)若弦MN的中点的纵坐标为去求仆MON面积的最大值：

(3)若丽•丽=0,求证：直线1过定点.

19.设函数/(x)=其云(々00)和函数g(x)=V+ax-b.

⑴曲线/(力在点(。,/(0))处的切线与曲线)，=雇工)相切于点“？(1))，求。、的值;

(2)若函数〃力在区间卜1』内单调递增，求攵的取值范围.

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数学试卷参考答案

，1、2S35

1【答案】C【详解】将方程变形可得A-+-+()，+〃『二1—4,若该方程表示圆则可得一一。＞0,即]＜二,

、2)x7444

所以。的取值有-1,0,1共3个，即表示的圆的个数也为3个.故选：C

2【答案】A【分析】根据z=(〃7+3)+(〃l)i(〃7eR)在复平面内对应的点在第四象限，求出m的范围，再

根据复数的模结合二次函数的性质即可得出答案.【解析】解：因为z=(〃z+3)+W-l)i("?£R)在复平面内

对应的点在第四象限，所以,加；＜0，解得一3Vm＜1忖=J+3f=＞〃/+4〃?+10=，2(〃?+1)2+8,

因为一3＜根＜1,所以(m+1)屋[0,2),则2W+lf+8e[2拒,4),所以复数z的模的取值范围是12夜,4).

TT(xxl+lxy+lxl=o(Y--I-

3.【答案】C由五,6b//c,得1yl，解得，二二，所以向量值=(1,1,1),h=

———二-IV——乙

2-42,

(1,-2,1),所以2+族=(2,-1,2),所以忖+川=02+(―1)2+22=3.故选:C.

4.【答案】C【解答过程】设冬至口、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、

芒种这十二个节气的日影长分别为内,即，…,由2,前〃项和SnSW12)，由小寒、立春、惊蛰日影长之和为31.5

(a2+Q4+。6=3。1+9d=31.5

尺，前八个节气日影长之和为80尺，得0Q^8x7,Qn,解得%=13.5,d=-l,所以

谷雨Fl影长为的=%+8d=13.5-8=5.5(尺).故选：C.

_b22_____

{:二展"，解得乐=长，同理%M=£，^MN=2NB,

则一―'=2(a-j),即《》=",整理得b=2a,所以离心率e=Jl+(2)=的..

a+ba-b\a+bJb2-a2a+b\\a/

6.【答案】A【解答过程】椭圆l+[=l,由U+^Vl，得点P在椭圆内，设力(修,女),巩与〃2)，则

与*

一+1

一=

93

d羽

+一=1

93

两式相减得(必+”2[*「孙)+汕+乃产「y2)=0,而与+0=2,力+丫2=2,因此上空=一；，即直线4B的斜

93X]—X23

率为一%所以直线的方程为y-1=—：(%—1),即3+3y—4=0.、十，故选：A.

7.【答案】A【解答过程】因为04。8,。。两两互相垂直，分别以04。8,0。所在宜线为%,以2轴建立空间

直角坐标系，如下图所示：由。B=0C=2。4可设。A=1,则。8=。。=2,因此

。(0。0),力(1,0,0),8(0,2,0),C(0,0,2),E(0,0,1),显然荏=(-1,0,1)，AB=(-1,2,0),If=(-1,0,2),设平面

4BC的一个法向量为元=(x,y,z),则［空'一"+2y—°,令4=2,则y=l,z=l；所以日=(2,1,1),

171C-n=-x4-2z=0

设直线AE与平面ABC所成的角为。，所以sin0=|cos(荏，尢)|=繇=需=*=?.故选：A.

8【答案】A【分析】依题意，设点尸(x,x+D在点Q的左下方，推导出点。(x+Lx+2),利用两点间距离公

式计算IAPI+IPQI+IQ8I,利用距离公式将其转化成两定点与一条定直线上的点的距离之和的最小值问题

解决.【详解】不妨设点尸(KX+1)在点。的左边，因为直线/：%-)，+1=。的倾斜角为45。，且|「。匕枝，所

以点。的坐标为(x+l,x+2),则1|+1|+1QB|=+3>+屏一4f+应++(工一3)，.记

,/=［*+3)2+(1)2+4+—3)2,则可将d理解为直线)，=.(・上一动点M(x,x)到5T4),C(0,3)的距离

之和，如图，作出点C(()，3)关于直线)，=X的对称点C,则C'(3.0),连接DC',交直线x十点N,贝I」

ICM+IONI即d的最小值，且|CV|+|ON|=|W+|CN|=|QCl=2j万，故I”1+1PQI+1Q回的最小值为

2炳+也.故选:A.

9.［答案］CD［解答过程1:(m-2)x-(m+l)y+2m-4=0(meR)变形为m(x-y4-2)-(2x+y+4)=

0,令｛£［；；；：［得｛1］7，因此直线，2过定点(一2,0》故A错误；当m=l时，Z1：4x-3y+4=0,

Z2:-x-2y-2=0,因为4x(-1)+(—3)x(—2)00,所以两直线不垂直，故B错误；当租二一10时，

i4x-3y+4=0,12：4%—3、+8=0因为；=胃#：3所以两直线平行，故C正确；当时，则满足

4—34

—-=*----,得m=-10,此时，①4%-3y+4=0,。：4%—3y+8=0,则两直线间的距离为

434

匚二士故D正确.故选：CD.

j42+(-3)25

10.【答案】BC【解答过程】由抛物线C:y2=4x,可得p=2,所以：=1,且焦点在4轴正半轴上，则焦点

F(l,0),所以A错误：由抛物线的方程得%。=9=4,由定义可得|M"|=Xo+l=5,所以B正确：直线

时0,时所勺方程分别为〉=乜x=1y+l,分别与2联立得4(一1,一1),B(—1,—9,所以|幽=|,所以C

”1+1,

正确；联立得V-3y—4=0,解得N-1),所以SAHBN=\1人8|,%+1|=看由SA。­=

.y2=4x

夕\

||0F|*4=2<2SA4SJV,所以D错误.故选：BC.

11【答案】ABD【分析】由题可得==根据空间向量线性运算法则可表示出丽，判

断A；由数量枳的定义及运算律可判断B：由余弦定理可求得BD，判断C根据异面直线所成角的向量求

法可求得异面直线AZ)与gC所成角的余弦值，判断D.【详解】因为E是棱上靠近3的三等分点，F

一1-------1——1一1一

是AC的中点，所以BE=qBD,AF=jAC.因为丽=而一而，所以BE/AD-yE.因为加=MA「JXD=F，所

—.——I一/一—\1-/一1一1一12—I一1-21.1

^EF=AF-AE=-AC-[AB+BEj=-AC-AB+-AD—AB=-AB+-AC—AD=—a^-h—ct故A正确,因为

22\33,323323

菱形48co的边长为2,28=60，所以A8=AC=AO=BC=2,ZBAC=ZDAC=60.因为

—21-1

EF=-a-i-b—c,所以

323

3+匕」+期+期3后第”£「M4+k4+k4-2x2x2xL为1」x2x2x]

323j941191139394932932

=1,解得小1二一5，故B正确.因为限1二同同cosNB4O=2x2cos/BAO=—/,所以

BAD=--.在三棱锥。一48。的侧面R4D中，由余弦定理得

8

BD2=AD2+AB2-2AD-ABcosZBAD=4+44-1=9,所以B力=3,故C错误.

因为心正一而—以8般国=然=叁)=竽=上1&'

所以异面直线AO与BC所成角的余弦值为(，故D正确.故选：ABD.

12.【答案】4【解答过程】由抛物线y2=2px(p>0),则其顶点为(0,0),焦点图,0),由题意可得2,

解得p=4.故答案为：4.

a=

13【答案】(—怖，—：)【解答过程】由Qn+an+1=2n—5,可得。什1+n+22n—3»两式相减可得：an+2—

斯=2,又小+。2=-3,所以的=-3-小以3=%+2.因为数列｛。„｝为递增数列，所以=

3

[Q1<-3-%产

(-3-«!<«!4-2)Q5»故的6.故答案为：

2

14.【答案】一3【详解】y=aP+?的导数为y=2ar—A,直线7x+2y+3=0的斜率为一口.由题意得

人人4

40+^=-5

a=—1，

解得)b=f则"CT故答案为：7

b7

4a-4=~r

15.【答案】(1次=-1或3x+4y+3=0；(2)%+y+1=0或7x+y+7=0.

【解题思路】(1)求出线段MN的中垂线方程，与已知直线方程联立求出圆心坐标及半径，再按直线/的斜

率存在与否分类求出方程.

(2)利用三角形面枳公式求出面积最大时圆心到直线Z的距离，再利用点到直线距离公式求出直线方程.

【解答过程】(I)线段MN的中点为(一4,5),直线MN的斜率AMN=等三=1，则线段MN的中垂线方程为

-3-(-5)

y-5=-l.(x+4),即丫=一"+1,由卜上晟7.1=0,解得打二?，则圆心C(—3,4),|CM|=2,

圆C的方程为(x+3尸+(y—4)2=4,点C(—3,4)到直线x=-1的距离为2,因此直线，的方程可以为x=-1：

当直线!的斜率存在时，设其方程为y=k(x+l),即Zx-y+k=0,由繇=2,解得上=-£直线1的

方程为3x+4y+3=0,所以直线!的方程为％=-1或3x+4y+3=0.

(2)由(1)知△A8C的面积SA/BC=与。川•|C8|sin乙4c8=2sin乙4CBV2,当且仅当乙力C8=90°时取等

号，此时点C到直线，的距离d=1|&4|=&,显然直线2的斜率存在，设其方程为y=t(x+l),即tx—y+

t=0»由=解得t=-l或£=一7,所以.直线/的方程为％+y+1=0或7x+y+7=0.

16.【答案】(1)册=4〃-3,匕=3「］.(2)7；=(n-l)3n+l.

【解题思路】(I)根据等差数列性质得到方程组，求出Q3=9,a4=13,求出公差和首项，得到通项公式,

并根据等比数列通项公式求出%=3时1；

(2)计算出手=(2九-1)・3时1，利用错位相减法求和，得到答案.

【解答过程】(1)｛/｝为等差数列，故=&+°4,因为。2+。5=22,a3a4=I”，所以乃:，

—

整理得aj—22a3+117-0,解得&-9或%—13,当%—9时，a413,当%—13时，a4—9,

因为d>0,所以的=9,。4=13，故d=%-。3=4，此时的=的-2d=1,所以册=4九一3,

因为等比数列｛b｝的首项仄=1,公比为3,得以=3吁1.

n_123n-1

(2)由题Sn=2n2-n,^=(2n-l)-3,Tn=1+3x3-F5x3+7x3+-+(2n-1)x3,

37；=3+3x32+5x33+-+(2n-3)x3n-1+(2n-l)x3n,两式相减得一27；=1+2(34-32+33+

4nnn

3+…+3”T)-(2n-l)x3=l+-(2n_1)x3=-2-(2n-2)x3,故7；=(n-

1)3"+1.

17.【答案】（1）证明见解析（2）筌

【解题思路】（1）证明BO1平面PAC即可；

（2）取PC的中点G,连接。G,以。为坐标原点，。4。8,06分别为不轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求

出平面/0E和平面80E的法向量，利用向量公式即可求解.

【解答过程】（1）连接4c与8D交于点0,.••在菱形4BCD中,ACLBD,•••PA1底面力BCD,BDu平面ABCD,・•・

PA1BD,•••u平面P/C,PAdAC=A,8。J•平面P力C,；PCu平面P4C,PC1BD；

（2）取PC的中点G,连接。G,•••。为4C中点，・•.△24。中，0G||PA,vPA_L底面/IBC。，:.OGJ_底面/BCD,

以0为坐标原点，。人,。。。6分另ij为“轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，•••41==2,

/.BAD=60°,•••4（75,0,0）,8（0,1,0）,。（0,—1,0）/（«,0,2）设£（工,乂2）,,.,尸£:醺=1:2,而=|丽，即

（%/-1,2）=式后-1,2）,由此可求£1（苧*,》设平面4）£,平面87）/的法向量分别为方=（卬为，4）,元=

万5.沅=痘Xi+%=o,

(x.y,z),DA=(V3,l,0),DF=(^^,^,DB=(0,2,0),Z.

222DE-in=竽+gy〕+gz1=0,"

y1=-V3xnDB•n=2y?=0,%=0，

z_$W=(2,-2V3,V3)：同理，而-»2V3,44即V3，取元=

Z2=--rx,

12I'I'n=—x2+-y2+-z2=0,42

（2,0,-V3）；设二面角力一DE—B的平面角为。，贝kosJ=尚需二篇专二震，•••二面角力—OE—8为锐

二皿角，二二面角力一DE—B的余弦值为三野.

18.【答案】（I弓+?=1（2）73（3）证明见解析

【解题思路】（1）根据窝心率公式，可得£=粤，将点坐标代入Iffl圆方程，结合。，b,c的关系，即可求得

a3

（2）分析可得直线/斜率存在，设方程为y=kx+m,与椭圆联立，根据韦达定理，可得与+%2、工62表达

式，代入弦长公式，可得|MN|表达式，再求得O到直线MN的面离，代入面积公式，结合用的范围，即可.

（3）由丽・丽=0,可得（必一逐）（“2-百）+（力-1）32-1）=0,将直线方程代入，结合韦达定理，

化简可得m=1-百〃或m=二?”，分别讨论，分析检验，即可得答案.

a=V622

【解答过程】（1）由题意得:解得=或…椭圆方程为：J+T=1

.c=2

（2）因为弦MN的中点的纵坐标怔，所以直线/斜率存在.设直线!:y=kx+m,代入=+==1,可得

262

,-6km

X]+=---

(14-3k2)x2+6kmx+3m2-6=0,设MQqji),限犯光)，则｛，△=12(6/c2-m2+2)>

Jifl-o

X11X2z=-l+3Tk7T2

0,因为弦MN的中点的纵坐标为3所以力+以=+%2)+2m==1，即27n=1+3攵2,

•■•|WN|=Vrm京=2V5V1TF渔需受，。到直线MN的距离4。/川=/，••・SAMON=：|MN|,

d°-MN='=、’•％-("—2)+4,由A_i2(6k?—m2+2)=12(4m—m2)>0,2m=1+3k2>1>可

22

得nW畛,4),•,.当m=2即k=±1时，SAMON取得最大值百.

(3)vPM•丽=0,•*.(xx-A/3)I\2-V3)+(7i-1)(先-1)=0,即与必-V3(X1+&)+3+y^2-