数列的概念 同步分层练-人教A版（课标版）高中数学选择性必修第二册

4.1数列的概念

梯度分层

基础巩固：概念辨析，公式记忆，夯实根本

回归教材：知识熟用，教材过关，聚焦核心

提升训练：习题突破，提炼策略，素养提升

fy基础巩固

1.数列的相关概念及分类：一般地，把按照确定的顺序排列的

称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的

第〃个位置上的数叫做这个数列的第〃项，用—表示，其中第1项也叫做

数列的一般形式是外,4,…，简记为.

2.数列的单调性：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做；从第2项起，每一

项都它的前一项的数列叫做递减数列.特别地，各项都相等的数列叫做.

3.数列的通项公式：如果数列｛%｝的第八项a“与它的序号〃之间的

可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.

4.数列的递推公式：如果一个数列的

两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的.

5.数列的前〃项和：数列｛〃“｝从第1项起到第〃项止的,称为数列｛〃”｝的前〃项和，记作

%即.

6.数列的前〃项和公式：如果数列｛%｝的与它的序号〃

之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前〃项和公式.

显然S1=q,而S,i=4+4+…+〃"一］(〃…2),于是有氏=.

句£)回归教父

①练习

1.写出下列数列的前1()项，并作出它们的图象：

(1)所有正整数的倒数按从大到小的顺序排列成的数列；

(2)当自变量工依次取1,2,3,…时，函数/(x)=2x+l的值构成的数歹U；

⑶数列的通项公式为5h;尴

2.根据数列｛凡｝的通项公式填表：

3.除数函数(divisorfunction)y=4(〃乂〃wN")的函数值等于n的正因数的个数，例如,

t/(l)=1,"(4)=3.写出数列d(l),或2),…,△(〃)，…的前10项.

4.根据下列数列的前5项，写出数列的一个通项公式：

⑵1,包，二正，L.…

2244

5.根据下面的图形及相应的点数.写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中

分别填上第5项的图形和点数.

6.根据下列条件，写出数列｛qj的前5项:

,,

⑴q=l,an=all_i+2~'(n>2)；

2

(2)q=3,an=-rzn_,+1(//>2).

7.已知数列｛q｝满足q=2,%=2---（/?>2）,写出它的前5项，并猜想它的通项公式.

8.已知数列｛atl｝的前〃项和公式为S“=-2",求｛an｝的通项公式.

②习题

1.观察下列数列的特点,用适当的数填空，并写出数列的一个通项公式:

(1)(),49,(),25,(),49；

1

(2)1,立，（），不，研，（），

(3)1,\/2,(),2,，(),yjl；

21I

(4)().

220'30’

2.已知数列｛%｝的第1项是1,第2项是2,以后各项由。〃=<%+4_2（〃>2）给出.

（1）写出这个数列的前5项;

（2）利用数列｛%｝,通过公式包=乎构造一个新的数列也｝，试写出数列也｝的前5项.

an

3.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子式研究数.他们根据沙粒或小石子所排

列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1,3,6,10称为三角形数，第二行的1,4,9,

16称为正方形数，第三行的1,5,12,22称为五边形数.请你分别写出三角形数、正方形数

和五边形数所构成的数列的第5项和第6项.

4.假设某银行的活期存款年利率为0.35%,某人存入10万元后，既不加进存款也不取款，每

年到期利息连同本金自动转存，如果不考虑利息税及利率的变化，用品表示第〃年到期时的

存款余额，求〃2，%及。一

提升训展

1.下列有关数列的说法正确的是（）

A.同一数列的任意两项均不可能相同

B.数列-1,0,1与数列1,0,T是同一个数列

C.数列1,3,5,7可表示为｛1,3,5,7｝

D.数列中的每一项都与它的序号有关

2.数列1,9，…的一个通项公式是（）

37

A〃C­"n

A.=----B.a=----C.a=----D.%=

〃2〃+1"n2n-\n"2〃—32〃+3

，J

3.已知数列｛“〃｝满足q=1,an+｝=an,则4=（）

2/z-1

4.（多选）下列结论中正确的是（）

A.数列可以看成一个定义在正整数集（或它的有限子集出2,3,…，行）上的函数

B.数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点

C.数列的项数是无限的

D.数列的通项公式是唯一的

5.（多选）数列｛%｝满足则（）

A.数列｛〃〃｝的最大项为4B.数列｛4｝的最大项为a5

C.数列｛q｝的最小项为生D.数列｛（｝的最小项为4

6.（多选）在数列｛4｝中，q=1,q7»+1——,则（）

751I

A.%=1B.^3=-=2-—j-D.alt=2--

7.下列星星图案中星星的个数构成数列｛/｝,则数列｛q｝的一个通项公式是

w

8.已知数列｛%｝的前〃项和为5“=log2（3x2）,则｛〃〃｝的通项公式为

9.根据下列数列｛4｝的通项公式，写出数列的前5项，并作出它们的图象.

1,

（1）,=-n-\；

2

.(〃+2)兀

(2)4=sin------

2

10.记数列｛4｝的前〃项和为对任意正整数"，25„=nan,且生=3

（1）求q和小的值，并猜想｛4｝的通项公式；

（2）证明第（1）问猜想的通项公式；

答案及解析

一、基础巩固

1.一列数项an首项｛凡｝

2.递增数列小于常数列

3.对应关系

4.相邻递推公式

5.各项之和S”=q+/+…+。〃

n=1

6.前〃项和3

，n...2

二、回归教材

①练习

1.答案：（1）见解析

（2）见解析

（3）见解析

解析：（1）根据题意，可知数列的前10项为：1,-

2345678910

图象如下：

O12345678910〃

（2）根据题意，可知数列的前10项为：3,5,7,9,11,13,15,17,19,21.图象如下:

(3)根据题意，可知数列的前10项为：2,3,2,5,2,7,2,9,2,11.图象如下:

I2345678910w

2.答案：见解析

解析:当〃=1时，生=30+4x1)=21；

当，2=2时，^=3(34-4x2)=33；

当〃=5时，%=3(3+4乂5)=69：

当*二153时，3(3+4〃)=153,解得〃=12；

当%=273时,3(3+4H)=273,解得〃=22；

所以列表如下：

n12•・•5•.•12•・♦22♦,•n

凡2133•・♦69•.•153•・♦273•.♦3(3+4〃)

3.答案：1,2,2,3,2,4,2,4,3,4

解析:由题意可得d⑴=1,

因为2=1x2,所以d(2)=2,

因为3=1x3,所以或3)=2,

因为4=1X4=2X2,所以d(4)=3,

因为5=1x5,所以"(5)=2,

因为6=1x6=2x3,所以d(6)=4,

因为7=1x7,所以d(7)=2,

因为8=lx8=2x4,所以d(8)=4,

因为9=lx9=3x3,所以d(9)=3,

因为10=1x10=2x5,所以4(10)=4,

所以前10项分别为1,2,2,3,2,4,2,4,3,4.

故答案为：1,2,2,3,2,4,2,4,3,4.

解邪⑴-^=1,二」，-^=1,一/

2x1-12x2-132x3-152x4-172x5-19

1

所以q=

2/1-1

由题意,逮，L也在,也」建，L与心…,

22222422442

f>/2xn-l

所以6=

­

5.答案：（1）见解析

（2）见解析

（3）见解析

解析：（1）设第〃项的点数为

・「q=1,生=1+5,%=1+2x5,。4=1+3x5,

该数歹IJ的第5项为%=1+4x5=21,

数列｛3｝的一个通项公式为4=1+5（〃-1）=5〃-4,第5项的图形如下图所示:

21

(2)设第〃项的点数为三N)

,//?,=1»4=1+3,4=1+2x3,b4=1+3x3,

该数列的第5项为么=1+4x3=13,

数列也｝的一个通项公式为〃.=1+3(〃-1)=3〃-2,第5项的图形如下图所示:

13

(3)设第〃项的点数为,

Cj=1x3,c?=2x4,Cy=3x5>q=4x6,

该数列的第5项为G=5x7=35,

数列｛[｝的一个通项公式为G=〃(〃+2),第5项的图形如下图所示:

35

6.答案：(1)1,3,7,15,31

(2)3,3,3,3,3

解析：(1)因为q=l,。”=%_1+21(〃22),

所以〃2=q+2i=1+2=3,

2

=a2+2=3+4=7,

।23=7I8=15,

%=q+24=15+16=31,

故数列的前5项分别为1,3,7,15,31.

2

(2)因为q=3,-2),

22

所以生=§4+1=§X3+1=3.

22

a.=—a^+1=—x3+l=3，

33-3

22

674=—£7,+1=—x3+l=3>

22

6=—4+l=—x3+l=3,

33

故数列的前5项分别为3,3,3,3,3.

7.答案：4=2,a2=^/4,%=H，通项公式一等

II31?4

解析：q=2,〃,=2---=2—=—r6=2----=2—=—

422a233

146

a,-2---=2——=—/=2---=2——=—.

4

ay44’由55

猜想勺二吗.

n

8.答案：。“=-4〃+2(〃eZ)

22

解析：当〃N2时，alt=Stl-=-2n+2(n-1)=-4n+2；

当〃=1时，ax=S}=—2,满足an=-4n+2,

故｛。“｝的通项公式为an-T〃+2(〃GZ)

②习题

1.(1)答案：1、T6、-36、通项公式：为=(-1严"(三刀

解析:(1),-4,9,(-16),25,(-36),49.%=(-1严小〃一).

(2)答案：/、*、通项公式：品=不与(〃<7)

解析：1，［，停），*，M厝），

（3）答案：0、瓜、通项公式：4=6547）

解析：1,如,15,2,解,（76）,x/7.aw=V^（n<7）.

（4）答案：白、£、通项公式：/=舟后（〃工6）

9（外柒if（营•”痴W（〃，6）.

解析:p

2、(1)答案：1,2,3,5,8；

(2)答案：2,

2338

3.答案：见解析

解析：三角形数所构成的数列的第5项和第6项分别为15,21；

正方形数所构成的数列的第5项和第6项分别为25,36；

五边形数所构成的数列的第5项和第6项分别为35,51.

4.答案:见解析

解圻：％=10x(l+0.35),%=l°x(l+0.35)2,=10x(1+O.35)3,%=10x(1+0.35)”.

三、提升训练

1.答案：D

解析：A是错误的，例如无穷个3构成的常数列3,3,3,的各项都是3；B是错误的，数列

-1,0,1与数列1,0,-1中项的顺序不同，即表示不同的数列；C是错误的，｛1、3,5,7｝是

一个集合；易知D是正确的.

2.答案：B

解析：由于数列中各项的分母1,3,5,7,…是奇数列，分子1,2,3,4,…是自然数列，

故通项公式为4=」一做选B.

〃2n-l

3.答案：B

解析：由可川=/_〃“，得&£=」_,所以竺=_L,g=3,…，4d_=上匚，

n+2a“n+243〃24a35afl_2n

a〃一I,、c、二匚i、r/Gci,.a123n-2n-\「匚”

—ir-=(7?>2),所以上•U・上•—2tl-=-x-x-x...xx,所以

aa

%〃+1q出G,.-2n-\345n〃+1

M='一，又q=l,所以〃”=」一(〃22),因为q=l满足上式，所以/=」一.

4«(/2+1)n(n+\)〃(〃+1)

4.答案:AB

解析：数列是特殊的函数，其定义域是正整数集或它的有限子集｛1,2,3,…A,B正确；

由于数列有有穷数列与无穷数列之分，即数列的项数可以是有限的，也可以是无限的，C不

正确；数列的通项公式可以不唯一，例如，数列1,-L1,T,…的通项公式可以是

n+,

an=(-l),也可以是=cos(〃-1)兀不正确.

5.答案：BD

解析：令/。)=一一，x>0,由反比例函数的性质得/a)在(0,4]上单调递减，在[5,+8)

2—18

上单调递减，所以当〃W4时，｛可｝是递减数列，当〃25M,｛g｝是递减数歹人又当〃£4时，

an<0,当〃25时，>0,所以数列｛〃”｝的最大项为。$,最小项为。4.

6.答案：BD

解析：由4+]_〃“=/1―一1得，当〃之2时，ar-atl_｛=,

〃(〃+1)nn+in-\n

-------------—,…，a-a^=--->a-a^=1--,将各式相加得

n-2n-\33“2322।2

a”-4=1一,(〃22),则4=2).当〃=1时，《=2-1=1,满足上式，所以a”=2-L

nnn

当，2=3时，/=2-」=3.故选BD.

33

7.答案：a“二3

2

解析：由题图可知a“=%_]+丹，n>2t1.a〃一a,.1二〃，二4一q=2,a3-a2=3,

2

(，一1)(2+〃)...n+n出.n....

-%=4,...»%-〃“_[=〃，:.an-a}=----------,贝-----(/?>2),当〃二1时，也

22

n2+n

成山a=--------

n2

1+Iog3,/2=1,

8.答案：a2

解析：由已知得当〃22时，a=S„-S„_]=log（3x2n）-log（3xT~x）=log=log2=1,

n222DXZ2

又当〃=1时，«1=Sl=log2（3x2）=H-log23^1,所以｛《｝的通项公式为

11,〃之2.

9.答案：（1）见解析

（2）见解析

解析：(1)数列的前5项如卜表:

n12345

]_3

Q”