《初中数学中考复习二次函数的实际应用》课件

第三单元函数第15讲二次函数的实际应用第三单元函数数据聚焦考点梳理1数据剖析题型突破2数据链接真题试做3栏目导航

教材链接人教：九上第二十二章P49-P53.冀教：九下第三十章P41-P49.北师：九下第二章P46-P50.数据聚焦考点梳理1二次函数的实际应用二次函数的应用抛物线型结合几何图形型最值型有关二次函数问题的常见题型(1)抛物线型.解决此类问题的关键是选择合理的位置建立平面直角坐标系.建立平面直角坐标系的原则:①所建立的平面直角坐标系要使求出的二次函数解析式比较简单.②使已知点所在的位置适当(如在x轴、y轴、原点、抛物线上等),方便求二次函数的解析式和之后的求解计算.考点

二次函数的应用(2)结合几何图形型.解决此类问题一般是根据几何图形的性质,找自变量与该图形周长或面积之间的关系,用自变量表示出其他边的长,从而确定二次函数的解析式,再根据题意和二次函数的性质解题即可.(3)最值型.①列出二次函数的解析式,并根据自变量的实际意义,确定自变量的取值范围.②配方或利用公式求顶点坐标.③检查顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内.若在,则函数在顶点处取得最大值或最小值;若不在,则在自变量的取值范围的两端点处,根据函数增减性确定最值.数据剖析题型突破2题型

1

抛物线型二次函数问题题型

2几何图形型二次函数问题题型

3最值型二次函数问题231题型

1抛物线型二次函数问题

(1)建立如图的平面直角坐标系,求篮球运行路线所在抛物线的函数表达式.

231(2)场边看球的小丽认为:小明投出的此球不能命中篮圈中心.①请通过计算说明小丽判断的正确性;

231②若球出手的角度和力度都不变,小明应该向前走或向后退多少米才能命中篮圈中心?

231(3)在球出手后,未达到最高点时,被防守队员拦截下来称为盖帽,但球到达最高点后,处于下落过程时,防守队员再出手拦截,属于犯规.在(1)的条件下,防守方球员小亮前来盖帽,已知小亮的最大摸球高度为3.19m,则他应在小明前面多少米范围处跳起拦截才能盖帽成功?

231

231(1)求抛物线的表达式;

231(2)小球落点为A,求点A的坐标;

231(3)在斜坡OA上的点B处有一棵树,点B的横坐标为2,树高为4,小球M能否飞过这棵树?通过计算说明理由;

231(4)求小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度.

231

231(1)k的值为

,点P的坐标是

,b=

.

(2)当一号球落到点P后立即弹起,弹起后沿另外一条抛物线G运动,若它的最高点Q的坐标为(8,5).①求G的解析式,并说明抛物线G与滑道AM是否还能相交;解：由题意抛物线G的最高点Q的坐标为(8,5),∴设抛物线G的函数解析式为y=a(x-8)2+5.12（4，3）

231

231②在x轴上有线段NC=1,若一号球恰好能被NC接住,则NC向上平移距离d的最大值和最小值各是多少?解：将线段NC向上平移,平移后线段与抛物线有交点时,说明可以接到一号球,如图,当线段NC平移后的线段N1C1的N1点与D重合时,平移距离最大,∴最大平移距离为yD-yN=3-0=3;231

231拔高追问

一号球从点B飞出同时,二号球从点B的上方点H(0,m)飞出,它所运动的路线与抛物线L的形状相同,且二号球始终在一号球的正上方,当一号球与y轴的距离为3,且二号球位于一号球上方超过5的位置时,直接写出m的取值范围.231

231

满分指导本题主要考查了待定系数法确定函数解析式,二次函数,反比例函数图象的性质,以及图象上点的坐标特征,利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键.231题型

2

几何图形型二次函数问题1.核心素养·空间观念在矩形ABCD中,点P从点A出发,沿边AB以每秒1个单位长度的速度向点B运动,至点B停止;同时点Q也从点A出发,以同样的速度沿A-D-C-B的路径运动,至点B停止,在此过程中△APQ的面积y与运动时间t的函数关系图象如图所示,则m的值为

.

2341242.如图,有长为24m的篱笆,围成矩形花圃(墙体的最大可用长度为12m).2341(1)如果围成的花圃的面积为54m2,试求AB的长.解：设AB的长为x米,则BC的长为(24-2x)米,根据题意得x(24-2x)=54,化为x2-12x+27=0,解得x1=9,x2=3,当x=3时,BC=24-2x=18>12(不合题意,舍去),当x=9时,BC=24-2x=6,∴如果要围成面积为54m2的花圃,AB的长是9米.思路分析利用矩形的面积公式列出方程求解即可;2341(2)按照题目的设计要求,能围成面积比54m2更大的花圃吗?如果能,请求出最大面积;如果不能,请说明理由.解：设AB的长为x米,花圃的面积为S,由题意可得S=x(24-2x)=-2x2+24x=-2(x-6)2+72,∵墙体的最大可用长度为12m,∴0<24-2x≤12,∴6≤x<12.∵对称轴为直线x=6,开口向下,∴当x=6时,花圃面积最大.当x=6,即AB的长为6m时,花圃有最大面积,为72m2.思路分析

求出花圃面积与AB长度的函数关系式,根据二次函数的性质和AB长度取值范围求出面积的最大值.2341∵8≤AB≤10,∴8≤x≤10.∵S=-2(x-6)2+72,∴x>6时,S随x增大而减小,当x=8时,S=-2(8-6)2+72=64,当x=10时,S=-2(10-6)2+72=40,∴40≤S≤64.拔高追问若8≤AB≤10,试求花圃面积S的取值范围.

满分指导在日常生活中,经常遇到求图形的最大(小)面积等问题,因为计算图形的面积时一般都会出现平方的形式,所以利用二次函数的知识,可以求某些图形的最大(小)面积.23413.(2·河北定州二模)某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠足够长的墙体,中间用一道围栏隔开,并在如图所示的三处各留1m宽的门,所有围栏的总长(不含门)为27m,则能建成的饲养室面积最大为(

)A

23414.为响应江阴市“创建全国文明城市”号召,某单位不断美化环境,拟在一块矩形空地上修建绿色植物园,其中一边靠墙,可利用的墙长不超过18m,另外三边由36m长的栅栏围成.设矩形ABCD空地中,垂直于墙的边AB=x

cm,面积为ym2(如图).2341(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.解：∵AB=x,∴BC=36-2x,∴y=x(36-2x)=-2x2+36x.∵0<36-2x≤18,∴9≤x<18.∴y与x之间的函数关系式为y=-2x2+36x(9≤x<18).2341(2)若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵(每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如表).问丙种植物最多可以购买多少棵?此时,这批植物可以全部栽种到这块空地上吗?请说明理由.植物种类甲乙丙单价(元/棵)141628合理用地(m2/棵)0.410.42341解：∵y=-2x2+36x=-2(x-9)2+162,

∴当x=9时,y有最大值162,设购买了乙种绿色植物a棵,购买了丙种绿色植物b棵,由题意,得14(400-a-b)+16a+28b=8600,∴a+7b=1500,∴b的最大值为214,此时a=2.需要种植的面积=0.4×(400-214-2)+1×2+0.4×214=161.2(m2)<162m2,∴丙种植物最多可以购买214棵,此时这批植物可以全部栽种到这块空地上.2341题型

3

最值型二次函数问题2311.(2·邯郸模拟)根据对某市相关的市场物价调研,预计进入夏季后的某一段时间,某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润y1(千元)与进货量x(吨)之间的函数y1=kx的图象如图①所示,乙种蔬菜的销售利润y2(千元)与进货量x(吨)之间的函数y2=ax2+bx的图象如图②所示.(1)分别求出y1,y2与x之间的函数关系式;

思路分析

把(5,3)代入正比例函数即可求得k的值,也就得到了y1与x之间的关系式;把原点及(1,2),(5,6)代入即可求得y2与x之间的关系式.231(2)如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨,设乙种蔬菜的进货量为t吨,写出这两种蔬菜所获得的利润之和W(千元)与t(吨)之间的函数关系式,并求出这两种蔬菜各进多少吨时获得的利润之和最大,最大利润是多少?思路分析

销售利润之和W=甲种蔬菜的利润+乙种蔬菜的利润,利用配方法求得二次函数的最值即可.解：W=0.6(10-t)+(-0.2t2+2.2t)=-0.2t2+1.6t+6=-0.2(t-4)2+9.2.∴甲种蔬菜进货量为6吨,乙种蔬菜进货量为4吨时,获得的销售利润之和最大,最大利润是9200元.231

为了获得两种蔬菜的利润之和不少于8400元,则乙种蔬菜进货量应在什么范围内合适?解：当W=8.4=-0.2(t-4)2+9.2时,解得t1=2,t2=6.∵a=-2<0,∴当2≤t≤6时,W≥8.4.拔高追问2312.(2·河北模拟)某商店试销一种成本为10元/件的工艺品,设售价为x(元/件),每天销量为y(件).经市场调查得知:y与(x-70)成正比例,且当x=20时,y=500.(1)求y与x之间的函数关系式;解：设y=k(x-70),∵当x=20时,y=500,∴500=k(20-70),∴k=-10.∴y=-10(x-70),即y=-10x+700.

231(2)当x为何值时,商店试销该工艺品每天获得的利润最大?最大利润是多少?解：设商店试销该工艺品每天获得的利润为W(元),则W=(x-10)y=(x-10)·(-10x+700),即W=-10x2+800x-7000,

∴W=-10(x-40)2+9000.∴当x=40元/件时,商店试销该工艺品每天获得的利润最大,最大利润是9000元.231(3)物价部门规定,该工艺品售价最高不能超过35元/件,那么售价定为多少时,商店试销该工艺品每天获得的利润最大?解：∵W=-10(x-40)2+9000,且-10<0,∴当x<40时,W随x的增大而增大.又∵x≤35,∴当x=35元/件时,商店试销该工艺品每天获得的利润最大.2313.(2·沧州模拟)某水果商计划从生产基地运回一批水果,所需运费为基础运费与载重运费两部分的和,基础运费为每次500元,载重运费为每吨每小时6元.经验表明,若运回水果20吨,路上恰好需要6小时,运回的水果全部批发完后,每吨水果能获得毛利润478元;若运输时每增加2吨水果,路上就会延长1小时,每延长1小时,每吨水果的毛利润会降低20元.设运回水果为x吨(20≤x≤30),路上所用时间为t小时,所需运费为y元,全部批发后水果商获得总净利润为w元(净利润=毛利润-所需运费).(不考虑损耗)(1)用含x的式子表示t为

.

231(2)①求y与x的函数关系式;②若某一次运费为1652元,则这次运回了多少吨水果?

解：当y=1652时,3x2-24x+500=1652,解得x1=24,x2=-16(舍去),∴x=24.答:这次运回了24吨水果.231(3)一次运回多少吨水果,水果商获得的总的净利润最大?总的最大净利润是多少?

231

满分指导在销售问题中,一般情况下可根据“总利润=销售量×每件商品所获得的利润”列出二次函数解析式,通过求二次函数的最大值可求得销售中的最大利润.231（3~2）数据链接真题试做3命题点1抛物线型二次函数应用命题点2最值型二次函数应用命题点3几何图形型二次函数应用

（10年3考）命题点1抛物线型二次函数应用121.核心素养·空间观念(1·河北25题10分)如图是某同学正在设计的一动画示意图,x轴上依次有A,O,N三个点,且AO=2,在ON上方有五个台阶T1~T5(各拐角均为90°),每个台阶的高、宽分别是1和1.5,台阶T1到x轴的距离OK=10.从点A处向右上方沿抛物线L:y=-x2+4x+12发出一个带光的点P.

[注:(2)中不必写x的取值范围]返回命题点导航(1)求点A的横坐标,且在图中补画出y轴,并直接指出点P会落在哪个台阶上.

返回命题点导航解：图形如图所示,由题意台阶T4左边的端点坐标为(4.5,7),右边的端点坐标为(6,7),对于抛物线y=-x2+4x+12,令y=0,x2-4x-12=0,解得x=-2或6,∴A(-2,0),∴点A的横坐标为-2,当x=4.5时,y=9.75>7,当x=6时,y=0<7,当y=7时,7=-x2+4x+12,解得x=-1或5.∴抛物线与台阶T4有交点,交点为R(5,7),∴点P会落在台阶T4上.12(2)当点P落到台阶上后立即弹起,又形成了另一条与L形状相同的抛物线C,且最大高度为11,求C的解析式,并说明其对称轴是否与台阶T5有交点.

返回命题点导航12(3)在x轴上从左到右有两点D,E,且DE=1,从点E向上作EB⊥x轴,且BE=2.在△BDE沿x轴左右平移时,必须保证(2)中沿抛物线C下落的点P能落在边BD(包括端点)上,则点B横坐标的最大值比最小值大多少?

返回命题点导航12

提分要点(1)先根据解析式和OA长度先确定y轴位置,再由函数对称性判定P会落到哪个台阶上,计算时用十字相乘法较简便;(2)形状相同就是a相同,设顶点式求C的解析式,数形结合可得结论;(3)移动三角形,找到B的两个临界点位置,把y=2代入求得两个临界点的横坐标,可得结论.返回命题点导航12

返回命题点导航12(1)求k,并用t表示h;

返回命题点导航12(2)设v=5,用t表示点M的横坐标x和纵坐标y,并求y与x的关系式(不写x的取值范围),及y=13时运动员与正下方滑道的竖直距离;

返回命题点导航12(3)若运动员甲、乙同时从A处飞出,速度分别是5米/秒、v乙米/秒,当甲距x轴1.8米,且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时,直接写出t的值及v乙的范围.

返回命题点导航12（10年3考）3.(7·河北,26题12分)某厂按用户的月需求量x(件)完成一种产品的生产,其中x>0.每件的售价为18万元,每件的成本y(万元)是基础价与浮动价的和,其中基础价保持不变,浮动价与月需求量x(件)成反比.经市场调研发现,月需求量x与月份n(n为整数,1≤n≤12)符合关系式x=2n2-2kn+9(k+3)(k为常数),且得到了表中的数据.命题点2最值型二次函数应用3返回命题点导航月份n(月)12成本y(万元/件)1112需求量x(件/月)120100(1)求y与x满足的关系式,请说明一件产品的利润能否是12万元;

返回命题点导航3(2)求k,并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损;

返回命题点导航3(3)在这一年12个月中,若第m个月和第(m+1)个月的利润相差最大,求m.

返回命题点导航3（10年2考）4.(0·河北23题9分)用承重指数W衡量水平放置的长方体木板的最大承重量.实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板,实验发现:木板承重指数W与木板厚度x(厘米)的平方成正比,当x=3时,W=3.【注:(1)及(2)中的①不必写x的取值范围】

命题点3几何图形型二次函数应用4返回命题点导航(1)求W与x的函数关系式.

返回命题点导航(2)如图,选一块厚度为6厘米的木板,把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板(不计分割损耗).设薄板的厚度为x(厘米),Q=W厚-W薄.①求Q与x的函数关系式;

4②x为何值时,Q是W薄的3倍?

返回命题点导航41.(2·四川自贡)九年级(2)班计划在劳动实践基地内种植蔬菜,班长买回来8米长的围栏,准备围成一边靠墙(墙足够长)的菜园,为了让菜园面积尽可能大,同学们提出了围成矩形、等腰三角形(底边靠墙)、半圆形这三种方案,最佳方案是(

)A.方案1

B.方案2C.方案3 D.方案1或方案2C综合模拟练基础全练109876543212.(2·四川成都)距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体,物体离地面的高度h(米)与物体运动的时间t(秒)之间满足函数关系h=-5t2+mt+n,其图象如图所示,物体运动的最高点离地面20米,物体从发射到落地的运动时间为3秒.设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”(即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差),则当0≤t≤1时,w的取值范围是

;当2≤t≤3时,w的取值范围是

.

5≤w≤200≤w≤5109876543213.(2·四川广安)如图是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2米时,水面宽6米,水面下降

米,水面宽8米.

109876543214.(2·新疆)如图,用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏(墙足够长),则这个围栏的最大面积为

m2.

32109876543215.(2·甘肃)如图,以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时,小球的飞行路线是一条抛物线.若不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系:h=-5t2+20t,则当小球飞行高度达到最高时,飞行时间t=

s.

2109876543216.(2·山东聊城)某食品零售店新上架一款冷饮产品,每个成本为8元,在销售过程中,每天的销售量y(个)与销售价格x(元/个)的关系如图所示,当10≤x≤20时,其图象是线段AB,则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为

元(利润=总销售额-总成本).

121109876543217.(2·河南)小红看到一处喷水景观,喷出的水柱呈抛物线形状,她对此展开研究:测得喷水头P距地面0.7m,水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高,最高点距地面3.2m.建立如图所示的平面直角坐标系,并设抛物线的表达式为y=a(x-h)2+k,其中x(m)是水柱距喷水头的水平距离,y(m)是水柱距地面的高度.10987654321(1)求抛物线的表达式;(2)爸爸站在水柱正下方,且距喷水头P水平距离3m,身高1.6m的小红在水柱下方走动,当她的头顶恰好接触到水柱时,求她与爸爸的水平距离.

解:(1)根据题意可知抛物线的顶点为(5,3.2),设抛物线表达式为y=a(x-5)2+3.2,将点(0,0.7)代入,得0.7=25a+3.2,解得a=-0.1,∴抛物线的表达式为y=-0.1(x-5)2+3.2;(2)由y=-0.1(x-5)2+3.2,令y=1.6,得1.6=-0.1(x-5)2+3.2,解得x1=1,x2=9,∵爸爸站在水柱正下方,且距喷水头P水平距离3m,∴当她的头顶恰好接触到水柱时,她与爸爸的水平距离为3-1=2(m)或9-3=6(m).109876543218.(2·湖北仙桃)某超市销售一种进价为18元/千克的商品,经市场调查后发现,每天的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)有如下表所示的关系:(1)根据表中的数据在下图中描点(x,y),并用平滑曲线连接这些点,请用所学知识求出y关于x的函数关系式;销售单价x(元/千克)…2022.52537.540…销售量y(千克)…3027.52512.510…10987654321(2)设该超市每天销售这种商品的利润为w(元)(不计其他成本).①求出w关于x的函数关系式,并求出获得最大利润时,销售单价为多少;②超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则,求w=240(元)时的销售单价.10987654321

109876543219.(2·湖北荆州)某企业投入60万元(只计入第一年成本)生产某种产品,按网上订单生产并销售(生产量等于销售量).经测算,该产品网上每年的销售量y(万件)与售价x(元/件)之间满足函数关系式y=24-x,第一年除60万元外其他成本为8元/件.(1)求该产品第一年的利润w(万元)与售价x之间的函数关系式;(2)该产品第一年利润为4万元,第二年将它全部作为技改资金再次投入(只计入第二年成本)后,其他成本下降2元/件.①求该产品第一年的售价;②若第二年售价不高于第一年,销售量不超过13万件,则第二年利润最少是多少万元?10987654321

1098765432110.(2·山东青岛)李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售,这种水果每箱10千克,批发商规定:整箱购买,一箱起售,每人一天购买不超过10箱;当购买1箱时,批发价为8.2元/千克,每多购买1箱,批发价每千克降低0.2元.根据李大爷的销售经验,这种水果售价为12元/千克时,每天可销售1箱;售价每千克降低0.5元,每天可多销售1箱.(1)请求出这种水果批发价y(元/千克)与购进数量x(箱)之间的函数关系式;(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完,请你计算,李大爷每天应购进这种水果多少箱,才能使每天所获利润最大?最大利润是多少?10987654321

1098765432111.(2·北京)单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一,举办场地为首钢滑雪大跳台.运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分.建立如图所示的平面直角坐标系,从起跳到着陆的过程中,运动员的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=a(x-h)2+k(a<0).挑战高分121311某运动员进行了两次训练.(1)第一次训练时,该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下:根据上述数据,直接写出该运动员竖直高度的最大值,并求出满足的函数关系y=a(x-h)2+k(a<0);水平距离x/m02581114竖直高度y/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40

解:(1)该运