4.3.1等比数列的概念教案-高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章数列4.3.1等比数列的概念教学设计一、教学目标1.通过实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义，了解等比中项的概念.2.掌握等比数列的通项公式，能运用公式解决相关问题.3.体会等比数列与指数函数的关系.4.通过等比数列的概念、通项公式认识等比数列的性质，能够运用等比数列的性质解决有关问题.二、教学重难点1、教学重点等比中项、等比数列的通项公式、等比数列的性质及应用.2、教学难点等比数列的运算、等比数列的性质及应用.三、教学过程（一）新课导入前面我们学习了等差数列的相关知识，那么还有什么数列是值得研究的呢？类比等差数列的研究思路和方法，这节课就来学习一下等比数列的相关知识.（二）探索新知探究一：等比数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（显然）.等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时，.例1若等比数列的第4项和第6项分别为48和12，求的第5项.解法1：由，，得，②的两边分别除以①的两边，得，解得.把代入①，得.此时，把代入①，得.此时.因此，的第5项是24或-24.探究二：等比数列的通项公式设一个等比数列的公比为q，根据等比数列的定义，可得.所以，，，……由此可得，又，这就是说，当时上式也成立.因此，首项为，公比为q的等比数列的通项公式为.例2已知等比数列的公比为，试用的第项表示.解：由题意得①，②，②的两边分别除以①的两边，得，所以.探究三：等比数列与指数函数的关系由可知，当且时，等比数列的第n项是指数函数当时的函数值，即，如图所示.反之，任给指数函数（k，a为常数，，，且），则，，…，，…构成一个等比数列，其首项为，公比为.例3用10000元购买某个理财产品一年.（1）若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？（2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到）？分析：复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息，所以若原始本金为a元，每期的利率为r，则从第一期开始，各期的本利和a，，，…构成等比数列.解：（1）设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列，则是等比数列，首项，公比，所以.所以12个月后的利息为（元）.（2）设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本利和组成一个数列，则也是一个等比数列，首项，公比为1+r.于是.因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为元.解不等式，得.所以，当季度利率不小于1.206%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息.探究四：等比数列性质的应用（1）已知等比数列，若，则.（2）已知等比数列，若，则.例6某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%，从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品，1月按去年12月的产量和产品合格率生产．以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？分析：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，，则各月不合格品的数量构成数列，由题意可知，数列是等比数列，是等差数列，由于数列既非等差数列又非等比数列，所以可以先列表观察规律，再寻求问题的解决方法.解：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，.由题意知，，，其中，则从今年1月起，各月不合格产品的数量是，由计算工具计算（精确到0.1）并列表如下.n1234567105.0105.8106.5107.0107.2107.2106.9n891011121314106.4105.5104.2102.6100.698.195.0观察发现，数列先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当时，递减，且即可.由，得，所以当时，递减.又，所以当时，.所以生产该产品一年后，月不合格品的数量能控制在100个以内.应用等比数列通项公式解实际应用问题的步骤（1）构建等比数列模型；（2）明确，，，等基本量；（3）利用求解；（4）还原为实际问题.（三）课堂练习1.已知等比数列满足，，则(

)A.21

B.42

C.63

D.84答案：B解析：设等比数列的公比为，则，又因为，所以，解得，所以，故选B.2.若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且，则a的值为()A.4 B.2 C.-2 D.-4答案：D解析：由实数a，b，c成等差数列，得.又，故，则，.由c，a，b成等比数列，得，即，解得或.当时，，与互不相等的实数a，b，c矛盾，舍去，故.故选D.3.已知等比数列的前n项和为，且公比，，，则()A. B. C. D.答案：B解析：由等比数列的性质知，，故，可看作是一元二次方程的两根，解得，或，.又，，，，，，，故选B.4.已知等比数列的各项都是正数，且，，成等差数列，则()A. B. C. D.答案：A解析：由，，成等差数列，得，在等比数列中，有，因为各项都是正数，所以，得或（舍去），所以.故选A.（三）小结作业小结：本节课我们主要