3.1 函数的概念及其表示教学设计高中数学人教A版2019必修第一册-人教A版2019

-1-3.1函数的概念及其表示教学设计高中数学人教A版2019必修第一册-人教A版2019教学设计课题课型新授课√□章/单元复习课□专题复习课□习题/试卷讲评课□学科实践活动课□其他□设计思路一、设计思路以初中函数实例为起点，通过问题驱动引导学生分析变量间的依赖关系，归纳函数概念的核心要素（非空数集、对应关系、唯一确定值），结合课本例题强化对定义的理解，对比解析式、列表法、图像法三种表示法的优缺点，通过具体问题深化概念应用，落实数学抽象与直观想象素养，体现“具体—抽象—应用”的认知过程。核心素养目标二、核心素养目标通过函数概念的形成过程，提升数学抽象能力，理解对应关系的本质；借助函数表示法的辨析与转换，发展直观想象与逻辑推理素养；运用函数概念解决实际问题，渗透数学建模思想，体会数学的应用价值，培养用数学眼光观察世界、用数学思维分析问题的能力。重点难点及解决办法三、重点难点及解决办法重点：函数概念的核心要素（非空数集、对应关系、唯一确定值）及三种表示法的应用。难点：对“对应关系”的抽象理解及表示法间的灵活转换。解决方法：依托课本初中实例（如行程问题、气温变化表），引导学生归纳“自变量唯一确定因变量”的本质；通过课本例题（如用图像法表示函数）对比解析式、列表法、图像法的优缺点，设计“情境—表示法选择”练习，强化应用；利用数形结合思想，将抽象对应关系直观化，突破难点。教学资源准备1.教材：确保每位学生配备人教A版必修第一册教材，重点标注3.1节函数概念及表示法内容。

2.辅助材料：准备函数图像、生活实例图表（如课本气温变化、行程问题数据）及对应关系动画视频。

3.实验器材：无需实验器材。

4.教室布置：设置分组讨论区，便于学生合作分析课本实例，归纳函数核心要素。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：发布预习任务，推送教材P60“思考”栏目中的行程问题、气温变化表及对应函数图像；设计问题“这些实例中变量间依赖关系有何共性？”“三种表示法分别适合描述哪类问题？”。监控预习进度，查看学生提交的“函数定义关键词笔记”。

学生活动：阅读教材实例，记录变量关系特点；思考预习问题，标注疑问（如“为何‘一对一’‘多对一’是函数，‘一对多’不是？”）；提交笔记至班级群。

教学方法/手段/资源：自主学习法、教材实例、微信群。

作用与目的：初步感知函数核心要素（对应关系、唯一确定值），为课堂突破难点铺垫。

2.课中强化技能

教师活动：用教材P61“探究”导入，展示“炮弹射高与时间关系式”及“臭氧层空洞面积变化表”，提问“如何从不同角度描述同一关系？”；结合教材例1解析函数定义，强调“非空数集、对应关系、唯一值”；组织小组讨论“判断下列对应是否为函数：①y=x²；②|y|=x”，引导学生用定义分析。

学生活动：听讲并记录核心要素；参与小组讨论，举例说明“唯一确定值”的重要性；针对疑问“对应关系是否必须用公式表示？”提问。

教学方法/手段/资源：讲授法、合作学习法、教材例题。

作用与目的：深化对函数概念及三要素的理解，突破“对应关系抽象性”难点。

3.课后拓展应用

教师活动：布置教材P63习题3.1A组第1、3题（判断函数、表示法转换）；提供拓展资源“函数在人口预测中的应用”视频；批改作业时重点标注表示法转换错误。

学生活动：完成作业，将“y=2x+1”转化为表格与图像；观看视频，思考“生活中哪些问题需用函数模型描述？”；反思“是否掌握不同表示法的适用场景”。

教学方法/手段/资源：自主学习法、教材习题、拓展视频。

作用与目的：巩固函数表示法应用，强化数学建模意识，落实重点。拓展与延伸1.函数概念的深化理解

函数作为描述变量间依赖关系的数学工具，其核心在于“非空数集间的对应关系”与“唯一确定值”。教材中通过行程问题、气温变化等实例引入函数概念，进一步可从映射角度深化：函数是两个非空数集间的一种特殊映射，其中原象集的定义域和象集的值域需明确。例如，函数y=√x的定义域为[0,+∞)，值域为[0,+∞)，若忽略定义域的限制，则对应关系不完整。此外，函数的“唯一性”需强调：对于定义域内的每一个x，有且只有一个y与之对应，如y²=x不是函数，因其一个x对应两个y值。

2.函数表示法的综合应用

教材中解析式、列表法、图像法三种表示法各有优劣。解析式便于计算和推导，如一次函数y=kx+b能直接反映斜率与截距的几何意义；列表法适合离散数据，如统计学生身高与体重的对应关系；图像法直观展示函数趋势，如二次函数y=ax²+bx+c的抛物线形状可判断开口方向与极值点。实际应用中需灵活选择：分析股票价格波动宜用图像法，而计算商品利润则常用解析式。拓展可引入分段函数，如出租车计价函数y=3x（0<x≤2），y=6+2(x-2)（x>2），其图像由两条线段组成，体现不同区间的对应关系。

3.函数思想在跨学科中的应用

函数思想不仅限于数学，在物理、经济、生物等领域均有广泛应用。物理中，匀速直线运动的位移函数s=vt（v为速度，t为时间）描述了位移与时间的线性关系；经济学中，成本函数C(q)=aq+b（a为单位成本，b为固定成本）反映了产量与总成本的变化；生物学中，种群增长模型N(t)=N₀e^rt（N₀为初始数量，r为增长率）体现了指数函数在动态系统中的作用。这些实例均以函数为工具，量化变量间的关系，体现数学建模的核心素养。

4.函数概念的历史发展与数学文化

函数概念的形成历经数百年演变。17世纪，莱布尼茨首次提出“function”一词，用于描述几何曲线上的相关量；18世纪，欧拉将函数定义为“解析表达式”，后经狄利克雷推广为“对应关系”，逐步形成现代定义。历史上，伯努利家族对函数的研究推动了微积分的发展，而傅里叶级数的提出则拓展了函数的表示形式。了解函数概念的演进，有助于学生体会数学知识的严谨性与发展性，培养科学探究精神。

5.课后自主探究任务

（1）实例分析：记录一周内每天的平均气温，用列表法表示时间与温度的函数关系，尝试绘制图像并描述变化趋势。

（2）建模实践：调查校园超市某商品的单价与销量数据，建立函数模型并分析价格对销量的影响。

（3）概念辨析：判断下列对应是否为函数，并说明理由：①圆的面积与半径；②多边形的内角和与边数；③一个人的年龄与身高。

（4）拓展阅读：查阅资料，了解分段函数在个人所得税计算中的应用，尝试写出月收入x与应纳税额y的函数关系式。典型例题讲解例题1：判断下列对应是否为函数：y²=x。

答案：不是函数，因为x=1时y=±1，不满足唯一确定值。

例题2：将函数y=3x-2在x=1,2,3时的值用列表法表示。

答案：x=1,y=1；x=2,y=4；x=3,y=7。

例题3：描述函数y=x²的图像特征。

答案：图像为开口向上的抛物线，顶点在原点。

例题4：物体自由落体，高度h与时间t的关系为h=5t²，求t=2秒时的高度。

答案：h=5×4=20米。

例题5：分段函数：电话费前3分钟2元，之后每分钟0.5元，写出费用y与时间t的函数关系。

答案：y=2(t≤3),y=2+0.5(t-3)(t>3)。教学反思与总结教学反思这节课下来，学生对函数三要素的掌握比预期扎实，特别是通过教材中的行程问题和气温变化表，大家能快速提炼出“非空数集、对应关系、唯一确定值”的核心。不过小组讨论时发现，部分学生对“对应关系”的抽象理解仍有偏差，比如把y²=x误认为函数，说明后续需强化反例辨析。课堂时间分配上，分段函数的讲解稍显仓促，下次可提前准备更多生活实例（如阶梯电价）来突破难点。

教学总结学生基本能独立完成函数表示法的转换，从解析式到列