二项式定理-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修三

二

项

式

定

理1.利用计数原理多项式运算法则和计数原理推导二项式定理（重点、难点），并会用它解决简单问题；（重点）2.通过经历二项式定理的探究过程，体验“归纳、猜想、证明”的数学发现过程，提高观察、分析、概括的能力，以及“从特殊到一般”、“从一般到特殊”等数学思想的应用能力，提升数学核心素养。学习目标目录COMPANY01创设情境，提出问题02新知探究，检验猜想04回顾反思，拓展问题03形成概念，知识建构05当堂检测，查缺补漏06分层作业，巩固延伸一.情境引入，提出问题公元前3世纪1世纪17世纪古希腊1695年推广1665年

帕斯卡《论算术三角形》

牛顿

牛顿1665年

18世纪证明

二十二岁的牛顿发现了二项式定理，这对于微积分的发展至关重要。二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和等问题中有广泛的应用。那么，牛顿是如何发现二项式定理的呢？今天，就让我们一起走进二项式定理的学习！问题1：教材第11页，乘积展开后共有多少项？你是如何解决这一问题的？除了计算项数还可以解决什么问题？思考

：是否所有的多项式相乘求项数问题，都能类似问题1快速求解？比如二.探究新知，检验猜想我们知道，问题2：观察第一个展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律？（参考思路：有哪几类项？相应项的系数是多少？是如何得到？）

探究合作探究

合并同类项前合并同类项后

追问1：并同类项前后的项、项数、相应项的系数分别是什么？如何得到的？含有0个b含有1个b含有2个b

二项展开式的特点合并同类项前项的特点合并同类项后项的特点项数字母组成次数系数项数项系数从2个括号中各取出一个字母（或）相乘每一项的次数都是2次13任务单一：归纳特点，填写任务单（一）第一行.追问2：展开式？问题3：观察第二个展开式，类比问题2分析其运算过程，你能发现什么规律？并填写任务单（一）第二行。二项展开式的特点合并同类项前项的特点合并同类项后项的特点项数字母组成次数系数项数项系数从2个括号中各取出一个字母（或）相乘每一项的次数都是2次从3个括号中各取出一个字母（或）相乘每一项的次数都是3次1134追问3：展开式？问题4：类比问题2和3,分析

展开式的运算过程，你能发现什么规律？并填写任务单（一）第三行。二项展开式的特点合并同类项前项的特点合并同类项后项的特点项数字母组成次数系数项数项系数从2个括号中各取出一个字母（或）相乘每一项的次数都是2次从3个括号中各取出一个字母（或）相乘从4个括号中各取出一个字母（或）相乘每一项的次数都是3次每一项的次数都是4次111345追问4：展开式？问题5：观察各展开式的特点，类比问题2-4，分析

其运算过程，猜想其展开式？完成任务单二。二项展开式的特点合并同类项前项的特点合并同类项后项的特点项数字母组成次数系数项数项系数从n个括号中各取出一个字母（或）相乘1每一项的次数都是n次字母

按升幂排列，字母

按降幂排列.追问5：展开式？问题6：你能说说推理过程吗？尝试说一说.推理过程如下：

一般地，对于

我们有

我们把上面的公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做

的二项展开式，其中各项的系数

叫做二项式系数.式中的

叫做二项展开式的通项，用

表示，即通项为展开式的第

项：三.形成概念，知识建构思考：二项式定理展开式有什么结构特点？尝试说一说。问题7：二项式定理对任意的数a,b都成立，若设a＝1,b＝x，展开式为

二项式定理对任意的数a,b都成立，若设a＝1,b＝x，则有追问6：若x=1,你能得到什么结果？二项式系数和赋值法例1

求的展开式.解：根据二项式定理，可得典例分析注意：分式或者根式，一般要先化成指数幂的形式.追问7：常数项是第几项？例1

求的展开式.解：根据二项式定理，可得典例分析求的展开式．变式：解：追问8①②

追问8①②

注意：二项展开式中第n项、第n项的系数以及第n项的二项式系数是不同的概念，解题时要注意区分！不是同一个概念追问8①②③

例2(2)由通项公式，可得五.回顾反思，拓展问题

智慧与知识的碰撞在学习中呈现不同的韵味。本节课你有什么收获？说说你的想法，享受一场专属“你自己”的饕餮盛宴。五.回顾反思，拓展问题五.回顾反思，拓展问题四.当堂检测，查缺补漏完成下列题目，并使用智慧课堂提交。六.分层作业，巩固延伸一.必做题：P34

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