向量的数量积 2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修二

6.2平面向量的运算

6.2.4向量的数量积第六章平面向量及其应用人教A版数学必修第二册目录课标要点03010204必备知识解读题型解析知识测评05高考模拟课标要点01图解课标要点必备知识解读02知识点1

向量的数量积1

向量数量积的物理背景

2

向量的夹角图6.2.4-1

.

..

..

.

向量夹角的特殊情形,如图6.2.4-2（1）（2）（3）所示，图6.2.4-2

3

两个向量数量积的定义

.

..

..

.4

投影与投影向量图6.2.4-3

5

投影向量表达式的探究

图6.2.4-4

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.

.

..

.学思用·典例详解图6.2.4-5

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.

图6.2.4-6

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..

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【想一想丨归纳总结】

A

图6.2.4-8

图6.2.4-7

【想一想丨归纳总结】求投影向量的方法（1）定义法：根据投影向量的定义,作出垂线，确定向量的投影向量；（2）公式法：根据题意确定模与夹角或模与数量积,代入公式即得.知识点2

向量数量积的性质、运算律和常用结论1

向量数量积的性质

.

..

..

..

.2

向量数量积的运算律

.

..

..

.辨析比较向量的数量积、向量的数乘、实数的乘法之间的区别向量的数量积向量的数乘实数的乘法3

向量数量积的常用结论

例2-5

［多选题］下列命题正确的是(

)AD

例2-6

下列说法正确的是(

)A

D

题型解析03题型1

向量数量积的运算1

向量数量积的简单计算

求向量的数量积的两个关键点求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及相关公式进行化简.【学会了吗丨变式题】

C

2

平面几何图形中的向量数量积的计算

A

图6.2.4-9

解决平面几何图形中的向量数量积问题的基本思路解决平面几何图形中的向量数量积问题，要充分利用图形特点及其含有的特殊向量，这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量．对于以图形为背景的向量数量积的题目，解题时要充分把握图形的特征.【学会了吗丨变式题】图6.2.4-10

BA.12

B.22

C.24

D.72

3

利用投影向量求向量数量积

C

11图6.2.4-11

【学会了吗丨变式题】图6.2.4-12

4

利用向量数量积求参数

.

..

.

B

利用向量数量积求参数的基本方法由题设条件，结合向量数量积的计算，构建关于参数的方程（组），通过解方程（组）求参数.【学会了吗丨变式题】

A

5

利用向量数量积判断平面图形形状

B

利用向量数量积判断平面几何图形形状的方法由向量的数量积，利用移项、平方等手段，可以得出向量的模与夹角等信息，从而对几何图形的形状作出判断.【学会了吗丨变式题】

AA.等腰三角形

B.直角三角形

C.正三角形

D.等腰直角三角形

图D

6.2.4-1

6

向量数量积中的最值（取值范围）问题

C

.

..

..

.

A

图6.2.4-13

.

.解决向量数量积的最值（取值范围）问题的基本思路1.将数量积化归为线段的长度，利用图形的几何性质，确定线段长度的取值范围（或最值），即得数量积的取值范围（或最值）.2.引入变量（利用向量共线定理或题干中已有变量），构建数量积的目标函数，通过求函数的值域或最值求解，解题中务必要注意变量的范围.【学会了吗丨变式题】图6.2.4-14

C

图D

6.2.4-2

题型2

向量中的夹角问题1

求两向量的夹角

.

.【学会了吗丨变式题】

B

2

求两个非零向量夹角的余弦值

B

【学会了吗丨变式题】

A

3

已知两向量夹角求相关参数的值

AD

.

.4

求向量夹角的最值

.

.【学会了吗丨变式题】

D

题型3

向量中模的有关问题1

模的计算

B

【学会了吗丨变式题】

B

2

与模有关的最值问题

C

图6.2.4-15

【学会了吗丨变式题】

题型4

向量极化恒等式的应用母题

致经典·母题探究

图6.2.4-16

.

..

..

.

B

图6.2.4-17

图6.2.4-18

子题

A

图6.2.4-19

.

.

1

图6.2.4-20

.

..

..

.新考法

数学文化图6.2.4-21例24

(2025·广东省深圳市期中)“雪花曲线”又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图6.2.4-21是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底A

图

6.2.4-22

B

高考帮

考试课丨核心素养聚焦考情揭秘本节是高考考查的重点和热点，高考主要考查向量的数量积的计算、求模、求夹角和垂直关系的判断等,多以选择题或填空题出现,试题难度中等或较低.核心素养：直观想象（借助图形，数形结合解题）、数学运算（数量积、向量的模、向量夹角的求解）.考向1

数量积的简单计算

.

..

.命题探源素养探源素养考查途径数学运算模、数量积的运算.直观想象失分探源不能使用整体思想求数量积，导致错误.

A

图6.2.4-23

C

11

命题探源本题组考查的知识点虽然简单，但却是高考中平面向量基础性要求的重点考向，同样也可视为取材于教材第21页【例12】，都是基于向量数量积的计算展开的.素养探源素养考查途径数学运算向量数量积的运算、性质的应用.

D

图6.2.4-24由图易知，只有选项D满足题意.考向2

夹角的计算

D

B

图

6.2.4-25【解析】

（直接进行向量的代数运算）

（数形结合，聚焦图形特征）

考向3

模的计算

B

高考新题型专练

BC

图6.2.4-262.新情境

折纸风车［多选题］(2025·山西省实验中学开学考试)我国传统的一种手工折纸风车（如图6.2.4-26（1））是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图6.2.4-26（2），则下列说法正确的是(

)BCD

知识测评04建议时间：25分钟

A

C

A

D

图6.2.4-1

ABD

图D

6.2.4-1

BD图6.2.4-2

.