新人教版八年级上册数学各章节知识点总结

新人教版八年级上册数学各章节知识点总结同学们，八年级上册的数学学习旅程即将开启。这份知识点总结旨在帮助大家系统梳理各章节核心内容，巩固基础，为后续学习打下坚实的根基。请结合课本例题与习题，深入理解，灵活运用。第一章三角形三角形是我们接触平面几何以来最基本也最重要的图形之一，本章将从三角形的概念出发，学习其基本性质和相关定理。1.1与三角形有关的线段1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。2.三角形的基本元素：三角形有三个顶点、三条边和三个内角。3.三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。4.三角形的稳定性：三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性。这一特性在生活和生产中有广泛应用。5.三角形的三边关系：*三角形两边的和大于第三边。*三角形两边的差小于第三边。（判断三条线段能否组成三角形时，只需验证较短的两条线段之和是否大于最长的线段即可。）6.三角形的高、中线与角平分线：*高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。三角形的三条高所在的直线交于一点（垂心）。*中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。三角形的三条中线交于一点（重心），重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍。*角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。三角形的三条角平分线交于一点（内心）。1.2与三角形有关的角1.三角形的内角：三角形的三个内角的和等于180°。（三角形内角和定理）2.三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。*三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。*三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。*三角形的外角和等于360°。1.3多边形及其内角和1.多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形。2.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。n边形从一个顶点出发可以引(n-3)条对角线，将n边形分成(n-2)个三角形。n边形共有n(n-3)/2条对角线。3.多边形的内角和：n边形的内角和等于(n-2)×180°。4.多边形的外角和：多边形的外角和等于360°。（与边数无关）第二章全等三角形全等三角形是平面几何证明的重要工具，通过证明两个三角形全等，可以得到线段相等、角相等的关系。2.1全等三角形1.全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。2.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。3.全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。4.全等三角形的性质：*全等三角形的对应边相等。*全等三角形的对应角相等。（由全等三角形的定义可直接得出，此外，全等三角形的对应边上的中线、高、对应角的平分线也相等，周长和面积也相等。）2.2三角形全等的判定1.边边边（SSS）：三边分别相等的两个三角形全等。(可以简写成“边边边”或“SSS”)2.边角边（SAS）：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。(可以简写成“边角边”或“SAS”)*注意：这里的角必须是两边的夹角，“SSA”不能判定两个三角形全等。3.角边角（ASA）：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。(可以简写成“角边角”或“ASA”)4.角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。(可以简写成“角角边”或“AAS”)5.斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)*注意：此判定方法仅适用于直角三角形。2.3角的平分线的性质1.角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。2.角的平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。3.用尺规作角的平分线：基本作图之一，其依据是“SSS”判定定理。（补充）全等三角形证明的思路与技巧*观察图形，找出已知条件和求证（或要证相等的线段、角）。*分析已知条件，看能否直接得到对应边或对应角相等。*若条件不足，需结合图形中的隐含条件（如公共边、公共角、对顶角相等）。*选择合适的判定方法（SSS,SAS,ASA,AAS,HL）。*规范书写证明过程：写出“在△XXX和△XXX中”，列出三个条件，得出全等结论，并注明判定方法。第三章轴对称轴对称是一种重要的图形变换，利用轴对称的性质可以解决许多几何问题和实际问题。3.1轴对称1.轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。2.两个图形成轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。3.轴对称的性质：*如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。*轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。*成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分全等。3.2画轴对称图形*画一个图形关于某条直线对称的图形，关键是找到图形上的关键点，并作出这些关键点关于对称轴的对称点，然后连接这些对称点即可。*点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y)；关于y轴对称的点的坐标为(-x,y)。（坐标系中的轴对称变换）3.3等腰三角形1.等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。2.等腰三角形的性质：*等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。*等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。*等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在的直线就是它的对称轴。3.等腰三角形的判定：*如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。3.4等边三角形1.等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形）。2.等边三角形的性质：*等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°。*等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三条边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在的直线。3.等边三角形的判定：*三条边都相等的三角形是等边三角形。*三个角都相等的三角形是等边三角形。*有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。（补充）线段的垂直平分线1.线段的垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）。2.线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。3.线段的垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。4.用尺规作线段的垂直平分线：基本作图之一。第四章整式的乘除与因式分解本章是代数的重要内容，整式的乘除是代数式运算的基础，因式分解则是整式乘法的逆运算，在代数式化简、求值、解方程等方面有广泛应用。4.1整式的乘法1.同底数幂的乘法：am·an=am+n(m,n都是正整数)即：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。2.幂的乘方：(am)n=amn(m,n都是正整数)即：幂的乘方，底数不变，指数相乘。3.积的乘方：(ab)n=anbn(n是正整数)即：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。4.单项式与单项式相乘：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。5.单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。即：m(a+b+c)=ma+mb+mc。6.多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn。4.2乘法公式1.平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²即：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。2.完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²(a-b)²=a²-2ab+b²即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。*常见的变形：a²+b²=(a+b)²-2ab=(a-b)²+2ab；(a+b)²-(a-b)²=4ab等。4.3整式的除法1.同底数幂的除法：am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整数，并且m>n)即：同底数幂相除，底数不变，指数相减。*规定：a0=1(a≠0)；a-p=1/ap(a≠0,p是正整数)。2.单项式除以单项式：把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。3.多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。即：(a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m(m≠0)。4.4因式分解1.因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解（也叫分解因式）。*因式分解与整式乘法是互逆变形。2.提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。*公因式的确定：系数取各项系数的最大公约数；字母取各项都含有的相同字母；相同字母的指数取最低次幂。3.公式法：利用乘法公式把多项式因式分解的方法叫做公式法。*平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)*完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²a²-2ab+b²=(a-b)²4.因式分解的一般步骤：*一提：先看多项式各项是否有公因式，若有，则先提取公因式。*二套：再看能否运用公式法（平方差公式或完全平方公式）进行分解。*三查：检查因式分解是否彻底，分解后的各因式是否还能继续分解。第五章分式分式是不同于整式的另一类有理式，分式的概念、性质及运算都是本章的重点。5.1分式1.分式的定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式。其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。*分式与整式的区别在于分母中是否含有字母。*分式有意义的条件：分母不等于0（B≠0）。*分式无意义的条件：分母等于0（B=0）。*分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0（A=0且B≠0）。5.2分式的基本性质1.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。即：A/B=(A·C)/(B·C)，A/B=(A÷C)/(B÷C)(其中C是不等于0的整式)。2.分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。约分的结果是最简分式（分子与分母没有公因式的分式）或整式。3.分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。通分的关键是确定最简公分母（各分母所有因式的最高次幂的积）。5.3分式的运算1.分式的乘除：*分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。即：(A/B)·(C/D)=(A·C)/(B·D)。*分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。即：(A/B)÷(C/D)=(A/B)·(D/C)=(A·D)/(B·C)。*分式的乘方：(A/B)n=An/Bn(n为正整数)。2.分式的加减：*同分母分式相加减，分母不变，把