2025届山西省高三下学期考前适应性测试启航（一模）数学试题（含答案）

姓名准考证号

秘密★启用前

数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号

涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用

0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上。

4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.集合A={x|-2≤x≤4},B={x|x>3},则A∩CB=

A.{x|x<4}B.{x|x≤4}

C.{x|-2≤x<3}D.{x|-2≤x≤3}

2.已知复数z满足(z为z的共轭复数),复数z在复平面内对应点为

Z(x,y),则点Z的轨迹方程为

A.y=0B.x=0C.y=-1D.x=-1

3.设S。是等差数列{a。}的前n项和，若S₇=28,S=88,则{a}的公差d=

A.1B.2C.3D.4

4.如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=BC=AA₁=2,点P为侧面

ABB₁A₁上的任意一点，则PC·PC的取值范围是

A.[0,2]B.[1,3]

C.[2,4]D.[3,5](第4题图)

数学试题第1页(共4页)

5.定义：各位数字之和为5的四位数叫“吉祥数”,例如“1022,3110”,则所有“吉祥数”的

个数是

A.35B.32C.29D.20

6.已知m,n为两条不同的直线，α,β为两个不同的平面，则

A.若m//α,n//α,则m//nB.若α//β,m⊥α,n//β,则m⊥n

C.若n//α,m⊥n,则m⊥αD.若α⊥β,m//α,n//β,则m⊥n

7.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)的一个周期为4,若f(1)+f(2)+…+

f(2026)=2,则f(1)=

A.0B.1C.2D.3

8.已知椭圆9,B(1,0),若椭圆C上存在3个不同的点P

满足PB|=2|PA|,则椭圆C离心率的取值范围是

ABCD

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函,则

A.x=2025π为函数f(x)图象的对称轴B为函数f(x)图象的对称中心

C.函上单调递增D.函数f(x)在[-π,π]的值域为[-2√3,4]

10.菱形ABCD中，AB=2,∠A=120°,对角线AC交BD于点0,沿对角线BD将△ABC折

起，使二面角A-BD-C的大小为120°,则

A.BD⊥平面AOCB.平面AOC⊥平面BCD

C.点A到△BCD所在平面的距离为D.四面体A-BCD的外接球的表面积是28π

11.已知f(x)=aˣ-x°,其中a>0,且a≠1,x>0,若f(x)≥0恒成立，则

A.a=eB.x=e是f(x)的极小值点

C.f(x)在(0,e)上单调递减D.f(x)在(e,+∞)上单调递增

数学试题第2页(共4页)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.某企业生产的一种零件，其质量指标介于(39.5,40.5)的为优质品，该企业生产的

这种零件质量指标服从正态分布N(40,0.25),技术改造后生产的同种零件质量指

标服从正态分布N(40,0.0625),那么,该企业生产的这种零件的优质品率约提高

了▲

(若X~N(μ,a²),则P(|X-μ|<σ)≈0.6827,P(|X-μ|<2σ)≈0.9545,

P(X-μ|<3σ)≈0.9973).

13.设a>0,若函数f(x)=xlnx-x²+x在区间(a,+∞)上单调，则a的取值范围是▲

14.数列{a.}满足Inaa+2+(-1)"Inan=2ln2,a₁=1,a₂=2,则数列的前n项

和是▲

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

在△ABC中，AB=√13,AC=√7,BC=3BD.

(1)若AD=3,求BC;

(2)若∠BAD=α,∠CAD=β,求的值.

16.(15分)

如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，

∠ABC=60°,AB=PA=2,PA⊥平面ABCD,E,M,F分别是

CD,PD,PC的中点.

(1)证明：平面PAE⊥平面PCD;

(第16题图)

(2)求二面角F-AE-M的正弦值.

17.(15分)

新高考数学试卷中共3道多选题，每题满分为6分，在每小题给出的选项中，有多

项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分(如果有两个选项符合题目要求，

选对一个得3分；如果有三个选项符合题目要求，选对一个得2分；有错选或不选，得0

分),某数学兴趣小组研究多选题时发现：随机事件“多项选择题中，有两个选项符合题

数学试题第3页(共4页)

目要求”和“多项选择题中，有三个选项符合题目要求”的概率均为.若学生解答某多

选题时完全没有思路，只能通过随机选择的方式来完成作答，且选择四个选项的可能性

是相同的.

(1)已知某题有三个选项符合题目要求，小张通过随机选择选项的方式来完成作

答，且只选一个选项作答的概率为,选两个选项作答的概率为,选三个选项作答的概

率为,试求小张该题得0分的概率；

(2)小王在解答完全没有思路的多选题时，有两种策略，一是“随机选择一个选项作

答”,二是“随机选择两个选项作答”,试写出小王用两种策略得分的分布列和数学期望.

18.(17分)

已知双曲线的左，右顶点分别为A₁,A₂,|A₁A₂|=6,双曲

线E渐近线的方程为2x±3y=0,过(4,0)作斜率非零的直线l交E于M,N,直线A₁M与

直线A₂N交于点P,直线A₂M与直线A₁N交于点Q.

(1)求双曲线E的标准方程；

(2)设直线A₁M与直线A₂N的斜率分别为k₁,k₂,求证为定值；

(3)在x轴上是否存在定点T,使得定点T恰好在以PQ为直径的圆上，若存在，求出

T的坐标；若不存在，说明理由.

19.(17分)

在正整数1,2,…,2n-1(n≥2)的任意一个排列A:a₁,a₂,…,a₂-1中，对于任意

i,j,k∈{1,2,…,2n-1},且i<j<k,若a;<a;>ak,则称(i,j,k)为排列A的一个峰对，记

排列A中峰对的个数为|A|例如对于排列A:1,2,3,5,4,(1,4,5)为一个峰对，|A|=3.

(1)设排列A:1,2,5,4,3,B:1,2,5,4,7,6,2,试写出|A|,|B|的值；

(2)将排列1,2,…,2n-1中的n与2n-1互换位置，得到排列C,求|C|的值；

(3)对1,2,…,2n-1(n≥2)的任意排列A,求|A|的最大值.

数学试题第4页(共4页)

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2025年高考考前适应性测试(启航卷)

数学参考答案详解及评分说明

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1.D

【解析】由B={xlx>3}可知CB={xlx≤3},所以A∩CB={xl-2≤x≤3}.

2.D

【解析】z=x+yi,所即Z点的轨迹方程为x=-1.

3.B

【解析,解得

4.C

【解析】如图取AB中点为原点0,建立空间直角坐标系，设P(x,0,z),

其中-1≤x≤1,0≤z≤2,c(0,√3,0),c,(0,V3,2),

PC=(-x,V3,-z),PC₁=(-x,V3,2-z),

PC·PC₁=x²+3+z²-2z=x²+(z-1)²+2,

当x=±1,且z=0或z=2时，PC·PC₁取最大值4,

(第4题答图)

当x=0,且z=1时，PC·PC,取最小值2,所以PC·PC₁的取值范围为[2,4].

5.A

【解析】各位数字之和为5的四位数叫“吉祥数”,按首位数字分别计算，当首位数字为5时，则剩余三位数分别是

0,0,0,共有1个“吉祥数”;当首位数字为4时，则剩余三位数分别是1,0,0,共有3个“吉祥数”;当首位数字为3

时，则剩余三位数分别是1,1,0或2,0,0,共有3+3=6个“吉祥数”;当首位数字为2时，剩余三位数分别是2,1,

0或3,0,0或1,1,1,共有A³+3+1=10个“吉祥数”;当首位数字为1时，则剩余三位数分别是3,1,0或4,0,0或

1,1,2或2,2,0,共有A³+3+3+3=15个“吉祥数”,则共有1+3+6+10+15=35个“吉祥数”.

6.B

【解析】若m//α,n//α,则直线m与n或平行或相交或异面，故A不正确；

若α//β,m⊥α,则m⊥β,又n//β,则在平面β内存在直线c使得n//c,

所以m⊥c,则m⊥n,故B正确；

若n//α,m⊥n,则m可能与α平行，可能垂直，也可能在平面α内，故C不正确；

若α⊥β,m//α,n//β,则m//n,或m,n相交或异面，故D不正确.故选B.

7.C

【解析】由题故f(-2)=f(2)=0.又f(3)=f(-1)=-f(1),f(4)=f(0)=0,故f(1)+f(2)+f(3)+

f(4)=0.结合周期性可知f(1)+f(2)+…+f(2026)=506[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)=f(1),故

f(1)=2.

数学试题答案第1页(共6页)

8.C

【解析】由已知可得，当P点为椭圆C的左顶点时，满足|PB|=2|PA|,结合椭圆的对称性，此题可以转化为，除左

顶点外，在椭圆上存在对称的两点满足|PB|=2|PA|.

设P(x,y),由|PB|=2|PA|,得

化简得x²+y²+2x=0.

得(4-b²)x²+8x+4b²=0(※),

方程(※)的一个根为-2,另一个根在(-2,0)上，

即b²<2,故0<b<√2,

又C的离心,所以1,选C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.

9.BCD

【解析】对于A选项，x=2025π时，函数f(x)取不到最值，所以x=2025π不是对称轴，A选项错误；

对于B选项，为函数f(x)图象的对称中心，故B选项正确；

对于C选项，,所以函数f(x)上单调递增，故C选项正确；

对于D选项，x∈[-π,π]时，即

所以值域为[-2√3,4],,故D选项正确.

10.ABD

【解析】对于A选项，菱形的对角线互相垂直，则AO⊥BD,CO⊥BD,AO∩cO=0,且在折起的过程中垂直关系

保持不变，则公众号三晋高中指南BD⊥平面AOC,所以A选项正确.

对于B选项，由A选项得BD⊥平面AOC,BDC平面BCD,∴平面AOC⊥平面BCD,所以B选项正确.

对于C选项，由二面角的定义知∠AOC=120°,又平面AOC⊥平面BCD,交线为OC,在平面AOC中，过A作

AE⊥OC,交CO的延长线于E,则AE⊥平面BCD,AE为所求的点面距离.由∠AOE=60°,A0=1,得

所以C选项错误.

对于D选项，设△ABD,△CBD的外心分别为0,0₂,A-BCD的外接球球心为M,半径为R,则∠0,00₂=120°,

△00,0₂的外接圆是四边形00₁MO₂的外接圆，外接圆直径

R²=0M²+BO²=7,S=4πR²=28π,所以D选项正确.

数学试题答案第2页(共6页)

11.ABD

【解析】由题1

当0<x<e时，g'(x)>0;当x>e时，g'(x)<0,故g(x)在区间(0,e)上单调递增，在区间(e,+∞)上单调递减，又

g(a)≥g(x),故a=e,A选项正确，此时f(x)=e³-x°,由题f(x)≥0,f(e)=0,故x=e是f(x)的极小值点，B选

项正确,易

知h(x)在(0,e-1)上单调递减，在(e-1,+∞)上单调递增，又h(0)=1,h(e)=0,可知存在x。∈(0,e-1)使得

h(x。)=0,当0<x<x₀,或x>e时，h(x)>0,f'(x)>0;当x₀<x<e时，h(x)<0,f'(x)<0,故f(x)在

(0,x。),(e,+∞)上单调递增，在(x,e)上单调递减，故C选项错误，D选项正确.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.0.2718

【解析】由题知技术改造前，该零件质量指标的均值为μ₁=40,标准差为σ₁=0.5,技术改造后该零件质量指标

的均值为μ₂=40,标准差σ₂=0.25;改造前(39.5,40.5)=(μ₁-σ₁,μ+σ,),改造后(39.5,40.5)=(μ₂-2σ₂,μ₂+

2σ₂).所以优质品率提高了约0.2718.

13.[1,+∞]

【解析】f'(x)=Inx+1-2x+1=Inx-2x+2,,可知f'(x)在上单调递减，又

f'(1)=0,可知f(x)在区间上单调递增，在区间(1,+∞)上单调递减，故(a,+∞)(1,+∞),a的取值范

围是(1,+∞).

4

【解析】由题Inaz+-Inazₙ-1=2ln2,4,故{a2ₙ-1}是首项为1,公比为4的等比数列，故a₂ₙ-1=4”-⁻¹a₁=4”-1.

,记数列的前项和为

Ina₂+2+Ina₂,=21n2,又a₂=2,可知az=2.n

S。,则S。=1+2×4+3×4²+…+(n-1)×4”⁻²+n×4”-¹,4S。=1×4+2×4²+3×4³+…+(n-1)×

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.解：(1)∵BC=3BD,∴…………2分

即……………5分

数学试题答案第3页(共6页)

又BC=AC-AB,

∴BC²=AC²+AB²-2AB·AC=13+7-11=9,

∴BC=3.………………7分

(2)在△ACD中

在△ABD中，,…………9分

①÷②得………11分

又CD=2BD,∠ADC+∠ADB=π,∴sin∠ADC=sin∠ADB,

所以………………13分

16.解：(1)证明：连接AC.∵底面ABCD为菱形，∠ABC=60°,∴ACD是正三角形，∵E是CD中点，∴AE⊥CD,

………2分

∵PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,∴PA⊥CD,…………4分

PA∩AE=A,∴CD⊥平面PAE,又CDC平面PCD,∴平面PAE⊥平面PCD.

………………………6分

(2)由(1)知，AB,AE,AP两两垂直，以AB,AE,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立

如图所示的空间直角坐标系，易知：A(0,0,0),P(0,0,2),D(-1,√3,0),C(1,√3,0),

E(0,√3,0),(第16题答图)

AE=(0,√3,0),………………·8分

设平面AEF的法向量为n,=(x;,y,z;),平面AEM的法向量为n₂=(x₂,y₂,z₂),

解得n₁=(2,0,-1).………………10分

解得n₂=(2,0,1)……………12分

设二面角F-AE-M的平面角为α,则…

…14分

所以二面角F-AE-M的正弦值为………………15分

数学试题答案第4页(共6页)

17.解：(1)记A,=“随机选择i个选项作答”,i=1,2,3,B=“小张得0分”.

,

……6分

(2)设记小王用策略一得分为随机变量X,X的取值为0,2,3;

记小王用策略二得分为随机变量Y,Y的取值为0,4,6

小王用策略一得分X的分布列为

X023

3

P8

故………11分

小王用策略二得分Y的分布列为更多试题与答案，关注微信公众号：三晋高中指南

Y046

P

故………………………15分

18.解：(1)由已知可得：2a=6,解得a=3,b=2,

双曲线E的标准方程为…………………3分

(2)易知A,(-3,0),A₂(3,0),设M(x,y.),N(x₂,y₂),直线l的方程为x=my+4,

联立,得(4m²-9)y²+32my+28=0,

,………………5分

所以

……………9分

数学试题答案第5页(共6页)

(3)由题可知L,:y=k₁(x+3),lA₂x:y=k₂(x-3).

联立可得：,所以,即

同理……………13分

假设在x轴上存在定点T(2,0)满足条件，则TP·TQ=0,

……………14分

即

,所以

即在x轴上存在定点满足条件……………………17分

19.解：(1)|A|=6…………………………1分

|B|=18……………