2026年高考概率与统计测试题及答案

2026年高考概率与统计测试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.从1-10这10个自然数中任取一个数，这个数是质数的概率为（）A.0.2B.0.3C.0.4D.0.52.一组数据：1，2，3，4，5的方差是（）A.1B.2C.3D.43.已知随机变量X服从正态分布N(3,4)，且P(2<X<4)=0.6826，则P(X>4)=（）A.0.1587B.0.3174C.0.3413D.0.68264.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”D.“至少有一个黑球”与“都是红球”5.某工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间之前，质检员每隔5分钟从传送带上某一固定位置取一件产品进行检测，则这种抽样方法是（）A.简单随机抽样B.系统抽样C.分层抽样D.以上都不是6.已知样本数据x1，x2，…，xn的均值x=5，则样本数据2x1+1，2x2+1，…，2xn+1的均值为（）A.5B.10C.11D.207.设随机变量X的分布列为P(X=k)=1/5，k=1，2，3，4，5，则E(X)=（）A.2B.3C.4D.58.从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加问卷调查，则甲被抽到的概率为（）A.1/2B.1/3C.1/4D.2/39.某班有50名学生，其中女生20名，男生30名，现要从中抽取10名学生参加某项活动，若按性别进行分层抽样，则女生应抽取的人数为（）A.2B.4C.6D.810.已知在10件产品中有2件次品，从中任取3件，至少有1件次品的概率为（）A.7/15B.8/15C.1/3D.2/3二、填空题（每题2分，共20分）1.若事件A与B互斥，且P(A)=0.3，P(B)=0.5，则P(A∪B)=。2.已知一组数据的标准差为2，则这组数据的方差为。3.从3名男生和2名女生中任选2人参加演讲比赛，则所选2人中至少有1名女生的概率是。4.某学校高一年级有300人，高二年级有200人，高三年级有100人，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取60人进行问卷调查，则从高二年级抽取的人数为。5.设随机变量X服从二项分布B(6,1/3)，则P(X=2)=。6.已知样本数据x1，x2，…，xn的方差s²=4，则样本数据-3x1+5，-3x2+5，…，-3xn+5的方差为。7.从1，2，3，4，5这5个数字中任取2个数字组成一个没有重复数字的两位数，则这个两位数是偶数的概率为。8.若随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，且P(μ-σ<X<μ+σ)=0.6826，P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.9544，已知X~N(1,4)，则P(-1<X<3)=。9.已知随机变量X的分布列如下：|X|-1|0|1||----|----|----|----||P|1/2|1/3|1/6|则D(X)=。10.从含有5个个体的总体中，抽取一个容量为2的样本，采用简单随机抽样，则每个个体被抽到的概率为。三、判断题（每题2分，共20分）1.必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0。（）2.分层抽样中，每个个体被抽到的概率与层数及各层的个体数无关。（）3.若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)。（）4.一组数据的平均数、中位数和众数一定都在这组数据中。（）5.方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小。（）6.简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的共同特点是在抽样过程中每个个体被抽取的概率相等。（）7.若随机变量X服从二项分布B(n,p)，则E(X)=np，D(X)=np(1-p)。（）8.互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件。（）9.对于正态分布N(μ,σ²)，σ越大，正态曲线越“瘦高”；σ越小，正态曲线越“矮胖”。（）10.从总体中抽取的样本数据一定能准确地反映总体的特征。（）四、简答题（每题5分，共20分）1.简述系统抽样的步骤。2.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=k/15，k=1，2，3，4，5，求E(X)和D(X)。3.从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，求这个三位数是奇数的概率。4.某班有学生50人，其中男生30人，女生20人，现对这50名学生的身高进行测量，得到男生身高的平均数为170cm，方差为16；女生身高的平均数为160cm，方差为25。求这50名学生身高的平均数和方差。五、讨论题（每题5分，共20分）1.结合实际生活，举例说明概率与统计在决策中的应用。2.讨论简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的优缺点。3.分析正态分布在实际生活中的常见应用场景。4.如何理解随机变量的期望和方差的实际意义？答案一、单项选择题1.C2.B3.A4.C5.B6.C7.B8.A9.B10.B二、填空题1.0.82.43.7/104.205.80/2436.367.2/58.0.68269.5/910.2/5三、判断题1.√2.√3.√4.×5.√6.√7.√8.×9.×10.×四、简答题1.系统抽样的步骤：-将总体的个体进行编号。-确定分段间隔k，对编号进行分段。当N/n（N是总体个数，n是样本容量）是整数时，k=N/n；当N/n不是整数时，先从总体中用简单随机抽样剔除一些个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除，再确定分段间隔k。-在第一段用简单随机抽样确定第一个个体编号l（l≤k）。-按照一定的规则抽取样本，通常是将起始编号l加上间隔k得到第2个个体编号l+k，再加上k得到第3个个体编号l+2k，依次进行下去，直到获取整个样本。2.E(X)=1×(1/15)+2×(2/15)+3×(3/15)+4×(4/15)+5×(5/15)=11/3。D(X)=(1-11/3)²×(1/15)+(2-11/3)²×(2/15)+(3-11/3)²×(3/15)+(4-11/3)²×(4/15)+(5-11/3)²×(5/15)=8/9。3.从5个数字中任取3个数字组成三位数的总个数为A(5,3)=5×4×3=60个。要使三位数为奇数，则个位数字必须为1、3、5，个位有3种选法，百位和十位从剩下4个数字中选2个排列，有A(4,2)=4×3=12种排法，所以奇数的个数为3×12=36个。则这个三位数是奇数的概率为36/60=3/5。4.平均数：(30×170+20×160)/50=166cm。设男生身高为x1，x2，…，x30，女生身高为y1，y2，…，y20。总体方差：\[\begin{align}s²&=\frac{30}{50}×[16+(170-166)²]+\frac{20}{50}×[25+(160-166)²]\\&=\frac{3}{5}×(16+16)+\frac{2}{5}×(25+36)\\&=\frac{3}{5}×32+\frac{2}{5}×61\\&=\frac{96}{5}+\frac{122}{5}\\&=\frac{218}{5}\\&=43.6\end{align}\]五、讨论题1.例如在投资决策中，通过分析不同投资项目的历史收益数据，计算其收益率的概率分布，利用期望来评估平均收益水平，方差来衡量收益的波动风险。若一个投资项目期望收益率较高且方差较小，说明平均收益较好且收益相对稳定，可作为优先考虑的投资选择；在保险行业中，保险公司根据大量的历史理赔数据，估计不同风险事件发生的概率，来确定合理的保险费率，以保证公司的盈利和稳定运营。2.简单随机抽样优点：操作简单，总体个数较少时方便实施，每个个体被抽到的概率相等。缺点：总体个数较多时，编号、抽样等工作繁琐，可能导致样本的代表性不足。系统抽样优点：适用于总体个数较多且个体之间差异不大的情况，抽样过程简便，易于实施，样本在总体中分布较均匀。缺点：如果总体的个体有周期性等特殊规律，可能导致抽样偏差。分层抽样优点：充分考虑了总体的结构特征，使样本更具代表性，在各层中抽样可根据层的特点选择合适的抽样方法。缺点：需要对总体有较深入的了解，确定分层标准和各层抽样比例等较为复杂。3.在实际生活中，人的身高、体重的分布通常近似服从正态分布。在产品质量控制中，生产的零件尺寸等指标也往往符合正态分布，通过对产品尺寸的测量和正态分布的分析，可以判断生产过程是否稳定，当产品尺寸超出一定范围（如μ-3σ到μ+3σ之外）时，可认为生产过程出现异常，需要进行调整；在考试成绩的分析中，学生的成绩也常常近似正态分布，教师可以根据正态分布的特点了解学生成绩的整体情况，如优秀率、及格率等。4.期望反映了随机变量