电磁场与电磁波试题及答案

1.写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式，并简要说明其物理意义。

2.答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为，（3分）（表明了电磁场和它们的源之间的全部关系除了

真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁场也是电场的源。

1.写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件。

2.时变场的一般边界条件、、、。（或矢量式、、、）

1.写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义。

2.答矢量位；动态矢量位或。库仑规范与洛仑兹规范的作用都是限制的散度，从而使的取值具

有唯一性；库仑规范用在静态场，洛仑兹规范用在时变场。

1.简述穿过闭合曲面的通量及其物理定义

2.是矢量A穿过闭合曲面S的通量或发放量。若Q0,流出S面的通量大于流入的通量，即通

量由S面内向外扩散，说明S面内有正源若0,则流入S面的通量大于流出的通量，即通量向S面内汇

集，说明S面内有负源。若①R,则流入S面的通量等于流出的通量，说明S面内无源。

1.证明位置矢量的散度并由此说明矢量场的散度与坐标的选择无关。

2.证明在直角坐标系里计算，则有

d,、(sdd

¥•/•(/*)=e—+e,----\-e.—\ex+ey+ez)

vxyz

kdx'dy'dz>

dxdydz,

dxdydz

若在球坐标系里计算，则

V.=（/〃）==3由此说明了矢量场的散度与坐标的选择无关。

r'orr'dr

1.在直角坐标系证明

2.

V-VxA

6.d.ddA,34dAdA明dA

=(e—+6—+e.—)•[e、(=一一+6(一一-+^.(-----—x)]

xdx'Vdydzdydzydzdxdxdy

"纵以a/A利、

=——(------)+——(-----^)+——(-----------)=0n

dxdydzdydzdxdzdxdy

1.简述亥姆霍兹定理并举例说明。

2.亥姆霍兹定理研究一个矢量场，必须研究它的散度和旋度，才能确定该矢量场的性质。例静电场

有源

E'dl=0V-E=0无旋

1.已知，证明。

2.证明

__iHR_6RvdRx-xy-yfz-zf

VR=e、一+〃一+e——=et--------+ev---------+e.--------

xdxvdy-5zxRyR-R

N'R=……=7R

1.试写出一般电流连续性方程的积分与微分形式，恒定电流的呢？

2.一般电流；

恒定电流j/dS=0,VJ=0

1.电偶极子在匀强电场中会受作怎样的运动？在非匀强电场口呢？

2.电偶极子在匀强电场中受一个力矩作用，发生转动；非匀强电场中，不仅受一个

力矩作用，发生转动，还要受力的作用，使电偶极广中心发生平动，移向电场强的方向。

1.试写出静电场基本方程的积分与微分形式。

2.答静电场基本方程的

积分形式，

微分形式V-D=/7,VX£,=0

1.试写出静电场基本方程的微分形式，并说明其物理意义。

2.静电场基本方程微分形式、说明激发静电场的源是空间电荷的分布(或是激发静电场的源是是电荷的

分布)。

1.试说明导体处于静电平衡时特性。

2.答导体处于静电平衡时特性有

①导体内E=0；

②导体是等位体（导体表面是等位面）；

③导体内无电荷，电荷分布在导体的表面（孤立导体，曲率）；

④导体表面附近电场强度垂直于表面，且。

1.试写出两种介质分界面静电场的边界条件。

2.答在界面上D的法向量连续或（）；E的切向分量连续或（）

1.试写出1为理想导体，二为理想介质分界面静电场的边界条件。

2.在界面上D的法向量或（）；E的切向分量或（）

1.试写出电位函数表示的两种介质分界面静电场的边界条件。

2.答电位函数表示的两种介质分界面静电场的边界条件为，

1.试推导静电场的泊松方程。

2.解由，其中，

VD=V-^E£为常数

/.———泊松方程

8

1.简述唯一性定理，并说明其物理意义

2.对于某一空间区域V,边界面为s,3满足

给定响、"第§（对导体给定°）

ds

则解是唯一的。只要满足唯一性定理中的条件，解是唯一的，可以用能想到的最简便的方法求解（直接求解

法、镜像法、分离变量法……），还可以由经验先写出试探解，只要满足给定的边界条件，也是唯一解。不

满足唯一性定理中的条件无解或有多解。

1.试写出恒定电场的边界条件。

2.答恒定电场的边界条件为，，

1.分离变量法的基本步骤有哪些？

2.答具体步骤是1.先假定待求的位函数由两个或三个各自仅含有一个坐标变量的乘积所组成。2.把假定的

函数代入拉氏方程，使原来的偏微分方程转换为两个或三个常微分方程。解这些方程，并利用给定的边界条

4,r区证明磁感应强度的积分公式

刎=窗竿£”

并证明▽・3=°

2.答

B(r)=▽xA(r)=Vx券!/

寸严为3=一郃W)X吗)d/

VB=V-[VxA(r)l=O

1.由麦克斯韦方程组出发，导出点电荷的电场强度公式和泊松方程。

2.解点电荷q产生的电场满足麦克斯韦方程

▽xE=O和▽•/，二△

由▽."=「得

JV-Ddr=Jpdr

rr

据散度定理上式即为

jDdS=q

s

利用球对称性得

44广

故得点电荷的电场表示式

E=e—

r^7isr~

由于,可取，则得

VxD=-£=-£V(p=一=p

即得泊松方程

=——

£

1.写出在空气和的理想磁介质之间分界面上的边界条件。

2.解空气和理想导体分界面的边界条件为

wxE=0

nxH=Js

根据电磁对偶原理采用以下对偶形式

ETH、HT-E,

即可得到空气和理想磁介质分界面上的边界条件

HxH=0

式中,Jms为表面磁流密度。

L写出麦克斯韦方程组(在静止媒质中)的积分形式与微分形式。

2.

4“力=JJ(./+冬MS\7x"=/+g

(fEdi=-ff—dSVx£=-—

J/Jhadt

JJpdS=OVB=O

曲DdS=q5D=p

1.试写媒质1为理想介质2为理想导体分界面时变场的边界条件。

2.答边界条件为

Ek=E2,=0或/?xE,=0

Hu=Jx或

%=%=（）或〃•隹二0

D\n=Ps或%D1=Ps

1.试写出理想介质在无源区的麦克斯韦方程组的复数形式。

2.答

Vx/7=jcoeE

VxE=-j（o/.iH

VB=0

VD=0

1.试写出波的极化方式的分类，并说明它们各自有什么样的特点。

2.答波的极化方式的分为圆极化，直线极化，椭圆极化三种。

圆极化的特点，且的相位差为，

直线极化的特点的相位差为相位相差，

椭圆极化的特点，且的相位差为或，

1.能流密度矢量（坡印廷矢量）是怎样定义的？坡印廷定理是怎样描述的？

2.答能流密度矢量（坡印廷矢量）定义为单位时间内穿过与能量流动方向垂直的单位截面的能量。坡印

廷定理的表达式为或，反映了电磁场中能量的守恒和转换关系。

1.试简要说明导电媒质中的电磁波具有什么样的性质？（设媒质无限大）

2.答导电媒质中的电磁波性质有电场和磁场垂直：振幅沿传播方向衰减：

电场和磁场不同相：以平面波形式传播。

2.时变场的一般边界条件、、、。（写成矢量式、、、一样给5分）

1.写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式，并简要说明其物理意义。

2.答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为（表明了电磁场和它们的源之间的全部关系除了真实电

流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁场也是电场的源。

1.写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件

2.时变场的•般边界条件、、、。（写成矢量式、、、一样给5分）

1.写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义。

2..答矢量位；动态矢量位或。库仑规范与洛仑兹规范的作用都是限制的散度，从而使的取值具

有唯一性；库仑规范用在静态场，洛仑兹规范用在时变场。

1.描述天线特性的参数有哪些？

2.答描述天线的特性能数有辐射场强、方向性及它的辐射功率和效率。

1.天线辐射的远区场有什么特点？

2.答天线的远区场的电场与磁场都是与1/r成正比，并且它们同相，它们在空间相互垂直，其比值即为媒

质的本征阻抗，有能量向夕厢射。

1.真空中有一导体球A,内有两个介质为空气的球形空腔B和，。其中心处分别放置点电荷和，试

求空间的电场分布。

2.对于A球内除B、C空腔以外的地区，由导体的性质可知其内场强为零。对A球之外，由于在A球

表面均匀分布的电荷，所以A球以外区域

4*丁（方向均沿球的径向）

对于A内的B.C空腔内，由于导体的屏蔽作用则

&尸▲

4（与为4内的点到B球心的距离）

4a司与（与为C内的点到C球心的距离）

1.如图所示，有一线密度的无限大电流薄片置于平面上周围媒质为空气。试求场中各点的磁感应强度。

2.根据安培环路定律，在面电流两侧作一对称的环路。则

由

fd

*7=

2%C=峪ir

乩小

号Ge）y>0

B=<2

'竽（4）y<o

1.已知同轴电缆的内外半径分另！为和淇间媒质的磁导率为，且电缆长度，忽略端部效应，求电

缆单位长度的外自感。

2.设电缆带有电流

则

梦号噜

I.在附图所示媒质中，有一载流为的长宜导线，导线到媒质分界面的距离为。试求载流导线单位长度受

到的作用力。

2.镜像电流

7=f=-lJ

j+9A5

镜像电流在导线处产生的B值为

了9公

B=

2^2h

单位长度导线受到的作用力

F=IB=T/

力的方向使导线远离媒质的交界面。

1.图示空气中有两根半径均为a其轴线间距离为d的平行长直圆柱导体，设它们单位长度上所带的电荷

量分别为和，若忽略端部的边缘效应，试求

(1)圆柱导体夕I任意点〃的电场号虽度2r的电位和的表达式；

(2)圆柱导体面上的电荷面密度展与q〃值。

2.

Q)b=J/f■A=—

2

2"饵"2/rg%

以y轴为电位参考点，则

=

2%A

e)=D~=&£—=

2nb-h+ab+h-1

a+A-b2>+/H-a

1.图示球形电容器的内导体半径，外导体内径，其间充有两种电介质与，它们的分界面的半径为

O已知与的相对介电常数分别为。求此球形电容器的电容。

〃=J4<ir+/蜃dz

01021L4Moi11

4网4314”与63

1.一平板电容器有两层介质，极板面积为，一层电介质厚度，电导率，相对介电常数，另一层电介质厚

度，电导率。相对介电常数，当电容器加有电压时，求

⑴电介质中的电流；

(2)两电介质分界面上积累的电荷；

（3）电容器消耗的功率。

2.

(1)

’44+44=7

*IrA=r*/

E-%；尸.U八

14rz+4八*4八十4八

.T=JS=Ur*附25x1产A

4八十4万

⑵

。=（鸟鸟一®」"」以后一0八）

4汽+%

：.Q=afw8.85x10"°C/m?

⑶

一工4八+3

P=—=25xlQ-nW

R

1有两平行放置的线圈，载有相同方向的电流,请定性画出场中的磁感应强度分布（线）。

2.线上、下对称。

1.已知真空中二均匀平面波的电场强度分别为：和求合成波电场强度的瞬时表示式及极化方式。

2.

二a=耻

得4=名£0cos0cH㈤-侬

合成波为右旋圆极化波。

1.图示一平行板空气电容器，其两极板均为边长为a的正方形，板间距离为d,两板分别带有电荷量

与，现将厚度为d、相对介电常数为，边长为a的正方形电介质插入平行板电容器内至处，试问该电

介质要受多大的电场力？方向如何？

2.(1)解当电介质插入到平行板电容器内a/2处，则其电容可看成两个电容器的并送

广占厂牛(a-x)a

C=C]+G=—a-x)=—[(£_-l)x+a]

11dfd9

静电能量

#Q,d

2C2与[归

业|/d（邑-1）

0x1［（与-Dx+aF

当时,

2cD

铝(E)，

其方向为a/2增加的方向，且垂直于介质端面。

1.长直导线中载有电流，其近旁有•矩形线框尺寸与相互位置如图所示。设吐线框与直导线共

面时，线框以均匀角速度绕平行于直导线的对称轴旋转，求线框中的感应电动势。

2.长直载流导线产生的磁场强度

B=

2cr

f时刻穿过线框的磁通

-d?

3喈心r

r,</+d)‘+adcQsajt

*ln_2------------

<f+%)'-adcQsajt

2

感应电动势

d<5>

e=-----

dr

+</]sirw?

氏labdn

2x%叮-Gdc》，

参考方向f=0时为顺时针方向。

1.无源的真空H已知时变电磁场磁场强度的瞬时矢量为

3（1；f）=qO.kos（L50）siK6石xlO。A/m

试求⑴尸的值；⑵电场强度瞬时矢量g50和复矢量（即相量）45。

2.（1）

=（市+公)〃=-0+。5十]〃

3H?

才=-(6<xlO*)£F

P9-&V?<ra4«

£(i;d=——f(c;—)x^di

qJqJ分小

=^9<sirfl5/rK)cos(6<xl09

+e；3T7/rcos(15^)sii{6jTX10*t-5-/7^x)V/ID

2T(ri=q9-自50)6于40-号3"妇。乂159e3"

1.证明任一沿传播的线极化波可分解为两个振幅相等，旋转方向相反的圆极化波的叠加。

2.证明设线极化波

EG)=qE°e•班

=4«)+&㈤

其中：

4㈤吟(丁工)产

4

A

4G)和4㈤分别是振幅为2的右旋和左旋质极化波。

1.图示由两个半径分别为和的同心导体球壳组的球形电容器，在球壳间以半径为分界面的内、外

填有两种不同的介质，其介电常数分别为和，试证明此球形电容器的电容为

2.证明设内导体壳外表面所带的电荷量为Q,则

尺<r<^

"二=4Jl=4^72

两导体球壳间的电压为

U=「£如pf,dr=—(—-—)+—(—-—)

1

A九z4yq,4。弓Rx仆

.c，=______________________

厂乙---ULLA

小｛，R,R,5s%

(证毕)

i.已知求

(1)穿过面积*=3,2£了43,3^&2«权2在，方向的总电流

⑵在卜坯面积中心处电流密度的模：

(3)在上述面上/的平均值o

2.

(1)

Z=jjd^-jjcb^c；=j

=15/S.21-3.82)<IK=-X12.6(31-2,)

力2

=399A

(2)面积中心，y=2・5,z=4.5

:/=28L25q-45q+83

|J|=j28L2W+45，+8？=296.121A/to

⑶4的平均值

I_399

6.2-3.8)(3-2)-TT«285A/m?

1.两个互相平行的矩形线圈处在同一平面内，尺寸如图所示，其中,。略去端部效应，试求两线圈间的

2.设线框带有电流，线框的回路方向为顺时针。线框产生的为

2<r2rr(r-i{)

1.用有限差分法计算场域中电位试列出图示正方形网格中内点的拉普拉斯方程的差分格式和内点的泊

松方程的差分格式。

2.

%=彳（仍%+G，

-4孤+q+仙+%»+%=9?J包)

£

1.已知，今将边长为的方形线框放置在坐标原点处，如图，当此线框的法线分别沿、和方向时，求

框中的感应电动势。

2.(1)线框的法线沿时由

E(U

得

%二0

⑵线框的法线沿「，时

f84

或.="dl=■④S(Dt-0(__力+吟COSGDA/彳)

-2

叫-cos(>rf+/?-^)+cosGrf-

线框的法线沿耳时

%=0

1.无源真空也已知时变电磁场的磁场强度为;其中为常数，求位移电流密度

2.因为

由

▽X〃抬

得

J.=W=RXH

axdy

sir(4x)cos((Df-fiy)0Atcos(4x)sida)t-fiy)

=-e;J)cosGut-fiy)+e744sir(4x)sir{(D^-^y)

:

-etr{4x)sir(a?t-^y)A/m

1.利用直角坐标系证明

2.证明左边二

="(A、)a।人a(/)<।乃迟+A

JdcxxocxJdcy1cdy

"A(4)色।3(7)(

dz:dz

a(A)ee(A)«a(A.)es(/X

=\f―7—+J—v+i—1+1A"

oxdyozex

A*'?

二右边

dydy

=fV-A+A-Vf

1.求无限长直线电流的欠量位和磁感应强度。

2.解直线电流元/，•生的矢量位为

dA=e_&{—―-dz—,—)

z4万[r2+(z-z,)2]1/2

积分得

d2

A=ez^-\{y'1；J

4万9[r+(z-zTf-

-2

=lnf(z,-z)+J(z-z)2+，营

4〃

22,/2

=&j{—(--—z)+2[(----z----)-----+----r----]-------

47r—《+z)+[(g+z)2+，产

乙J

=e.-\x\-

-4〃r

当.附加一个常数矢量

则4-+e."凡e皿为

4乃r4乃/44r

则由3=\7乂4=-4也=小亚

。dr04仃

1.图示极板面积为S、间距为d的平行板空气电容器内，平行地放入一块面积为S、厚度为a、介电常数为

的介质板。设左右两极板上的电荷量分别为与。若忽略端部的边缘效应试求

(1)此电容器内电位移与电场强度的分布；

(2)电容器的电容及储存的静电能库:。

2.解1)

“号二m二含

c,=g=g=在

U?E2aa

S££()

c=CG

C*|+c.£0a+£(d—a)

卬J0?J£。…(d—a)2

2C2SEC。

1.在自由空间传播的均匀平面波的电场强度复矢量为

E=axl0~4e-j20;c+axl（）4e12（v/m）

•l）

求（1）平面波的传播方向；

（2）频率；

（3）波的极化方式；

（4）磁场强度；

（5）电磁波的平均坡印廷矢量.

2.解（1）平面波的传播方向为+z方向

（2）频率为了=）£=3x109”z

2不

（3）波的极化方式因为，故为左旋圆极化

（4）磁场强度

4

H=居生xE=’（生xaJO'+jazxay\0^^一心壮

=-!-（aJ（尸-陷.1（广）"心门

为

（5）平均功率坡印廷矢量

S“=1RC[EX/7W]=1Re[(aJO-+%不

I(10口)2

1生

2%%

11

=—X---[-2x108]a

212()4

=0.265x1()7°生(W/62)

1.利用直角坐标，证明

2.证明左边二

/（见）"。（见）e~3（见总

dxdydz

a（A）ea（/）Q,/（AJed（f）e

Aa+4-^+/c.+4、v

dxoxdydy

S（A）e6⑺e,

------=~+AA—:——

dz_dz

—+f—+f-1+[A—

oxdydzdx

dydy

=fV-A+A^f

=右边

1.1求矢量沿平面上的一个边长为的正方形回路的线积分，此正方形

的两边分别与轴和轴相重合。再求对此回路所包围的曲面积分，验证斯

托克斯定理。

2.解

A<\I=1rdx—J.rdx+j22dy-jody=8

oo00

又

e、6e.

add

VxA==ex2yz+e.2x

dx0,dz

xX'yz

所以

JVxA-dS=j|（eA2yz+e,2x）*e:dxdy=8

0I）

故有

J4・d/=8=j'VxA・dS

1.同轴线内外半径分别为和，填充的介质，具有漏电现象同轴线外加电压，求

（1）漏电介质内的°;

（2）漏电介质内的E、7；

（3）单位长度上的漏电电导。

2.解（1）电位所满足的拉普拉斯方程为

1色（四）=0

rdrdr

由边界条件r=a、（p=U;r=b,（p=Q所得解为

益〃

a

（2）电场强度变量为,

则漏电媒质的电流密度为j=7七。・）=

rln-

（3）单位长度的漏电流为10=2万广=网g3

.b.b

rln—In—

aa

单位长度的漏电导为G0="=牛

U1/

a

1.如图所示，长直导线中载有电流，一矩形导线框位于其近旁，其两边与直线平行并且共面,求导线框中

的感应电动势。

2.解载流导线产生的磁场强度的大小为

B=M!~

271r

穿过线框的磁通量

c+a

“=JB.ds

C+0•

受

2〃c

线框中的感应电动势

dd)

£=----

dt

uhblcosincot,c+a

=-...------------In--------

2/rc

参考方向为顺时针方向。

L空气中传播的均匀平面波电场为，己知电磁波沿z轴传播，频率为f。求

⑴磁场，；

(2)波长2；

(3)能流密度S和平均能流密度工；

(4)能量密度Wo

2.解

1

(1)H=—e,xexEoe/

一=；Re（Ex"*）=4佟段

22Y%

⑷W=^E2^.H2

1.平行板电容器的长、宽分别为和，极板间距离为。电容器的一半厚度（）用介电常数为的电介质

填充，

（1）板上外加电压，求板上的自由电荷面密度、束缚电荷：

（2）若己知板上的自由电荷总量为，求此时极板间电压和束缚电荷；

（3）求电容器的电容量。

2.（1）设介质中的电场为,空气中的电场为。由，有

£E=&EO

又由于

K-"

山以上两式解得

E—2-oUo

（£十%）.

E一2皿

（£+%）d

故下极板的自由电荷面密度为

、E二?£声5

=6

（£+4）d

上极板的自由电荷面密度为

口2&）£U（）

仁一钻一+岛M

电介质中的极化强度

尸=­/"蜉。

（£+4），

故下表面.上的束缚电荷面密度为

_p_2%（-一-））■（）

C?，、大一匕一•「一

■（£+%）d

上表面上的束缚电荷面密度为

cr卜=…二_2j__£o）Uo

「'（£+为”

（2）由

a=Q_=2^u

ab（£+4）”

得到

（£+4）dQ

U-

2,卢。6

故

_（£一%）Q

（3）电容器的电容为

c=Q=2^sab

U（£+£o）d

1.频率为的正弦均匀平面波在各向同性的均匀理想介质中沿（）方向传播，介质的特性参数为、

,。设电场沿方向，即；当，时，电场等于其振幅值。试求

（1）H（z,/）和E（z,f）；

（2）波的传播速度;

(3)平均波印廷矢帚。

2.解以余弦形式写出电场强度表示式

E(z,r)=etEA(z,r)

=exEnicos(初一七+〃心)

把数据代入g〃=l(TV/，〃

k=coyf/ls=2万/占4/=—rad/m

,471万,

u/=kz=-------=—rad

xrPE386

则

E(z、t)=e104cos(2/rx108f----z+—)VIm

t36

Fi47r7r

H(z,t)=e=e—=e..-----104cos(2〃x108r------z+—)

v)vn)必/36

=e—104cos(2^-xlOKr--z+—)A//77

Y60乃36

(2)波的传播速度

八口二万二二三”=1.5xl0y/s

Wo2

(3)平均坡印廷矢量为S,、,=:Re[Ex"」

S0V」羟⑷0,-吟■x/空J苧个]

260〃

go4)2-.

60乃

10-8

e.------W/m2

・120万

1.在由、和围成的圆柱形区域对矢量验证散度定理。

2.解在圆柱坐标系中

V.A=-—(zr2)+—(2z)=3r+2

rdrdz

所以

42尸5

jv.Adr=jdzjd^(3r+2)rdr=1200^-

rooo

2

JA-dS=j)(err+e二2z)・(e,dSr+qd+e二dS：)

5S

42/r52开

=jj52x5d^dz+jj2x4rdrd°=1200不

oooo

故有

jv.Adr=1200^=JA-dS

1.求⑴矢量的散度；⑵求对中心在原点的一个单位立方体的积分；⑶

求对此立方体表面的积分，验证散度定理。

2.

解（1）

▽.A=2+金2+吧今=2%+2。+72/工

dxdydz

（2）▽・A对中心在原点的一个单位立方体的积分为

1/2V21/2]

jv.Adr=j|j(2x+2x2y+72x2y2z2)dxdydz=一

r-V2-V2-1/224

（3）A对此立方体表面的积分

1/21/2]1/21/2]

J*A・dS=jj(-)2dydz-Jj(--)2dydz

S-1/2-1/22-1/2-1/22

I/Oi/>i/oi/，

+jj2"Wdz-jjFTUdz

-1/2-1；22-|/2-1/22

'/21/211/21/21

+JJ24x2/(-)3dxdy-Jj24x2/(--)3dxd^

-1/2-i；22-1/2-i/22

1

~24

故有

V»4dr=—=fA-dS

24!

1.计算矢量对一个球心在原点、半径为的球表面的积分，并求对球体积

的积分。

2.解

2万万

Jr*dS=Jr・e,dS=jact1sin=4〃/

乂在球坐标系中

idi

▽・「产=3

所以

2”网〃

jv«rdr=jjj3r2sin夕drd6d°=4乃/

rooo

1.求矢量沿平面上的一个边长为的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与轴和轴相重

合。再求对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。

2.

2222

JA-dZ=jxdx-jA：dx4-j22d>'-j0dy=8

解C0000

又

%e.

ddd

VxA==e、2yz+e2x

dx◎，dz

A

xX’Vz

所以

22

JVxA*dS=|j(ev2yz+e.2x)*e,dxdy=8

5o0

故有

JA-d/=8=JVxA«dS

cs

1.证明(1)；(2)；(3)。其中，为•常矢量。

2.解⑴

dxdydz

▽・找=—+—+——=3

oxdydz

eye:

ddd

(2)Vx/?==0

dx&

xyy

⑶设A=e,A+qA+e人

则

A»R=Axx+A:z

故

aa

(人工+、.多、、,

▽(A・R)=0V1AYy+A.z)+e(Ax+4y+Az)

dx'oy

+e二L（AX+A）'+AZ）

cz

=eA•*+eAy+ye.A.=A

1.两点电荷位于轴上处，位于轴上处，求处的电场强度。

2.解电荷在处产生的电场为

E二%一一不二2%4一生4

小飞(4扬

电荷%在(4,0,0)处产生的电场为

E一%一—=__1e.4-ev4

丁―4股卜_引3——高(4&)3

故(4,0,0)处的电场为

e,+e-e,2

E=E.+E.=~~~

32四飞

1.两平行无限长直线电流和，相距为，求每根导线单位长度受到的安培力。

2.解无限长直线电流产生的磁场为

B=e〃(/

1

直线电流”每单位长度受到的安培力为

尸碗2=J。幺X片dz=-e12"g

i2冗d

式中外是由电流人指向电流,2的单位矢量。

同理可得，直线电流每单位长度受到的安培力为

，--P_©〃/4

1

用21-向2-el22冗d

1.一个半径为的导体球带电荷量为，当球体以均匀角速度绕一个直径旋转，求球心处的磁感应强度

2.解球面上的电荷面密度为

券

当球体以均匀角速度绕一个直径旋转时，球面上位置矢量点处的电流面密度为

Js=crv=(7(oxr=<ye.(D^era

=e^ctxyasin8=与sin0

将球面划分为无数个宽度为的细圆环，则球面上任一个宽度为细圆环的电流为

d/=J„d/=-^sin<9d6>

4万

细圆环的半径为，圆环平面到球心的距离，利用电流圆环的轴线上的磁场公式，则该细

圆环电流在球心处产生的磁场为

-22(b2+d2)3/2-28^(«2sin2+a2cos20?12

〃00Qsin'Od。

&兀ci

故整个球面电流在球心处产生的磁场为

〃。①Q

B=e.\-----d6=e,

-J。8T。67ra

1.半径为的球体中充满密度的体电荷，已知电位移分布为

r+A,(r<a)