模型06 射影定理模型

射影定理模型

模型介绍

1.射影定理定义

①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.

②每•条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.

2.如图在中，NB4C=90°,是斜边8c上的高，有射影定理如下：

①AD2=BD・DC；

回注意：直角三角形斜边上有高时，才能用射影定理!

②A»=BD・BC；AC2=CD*BC.

【例1】.在矩形ABC。中，8E_L,4c交4。于点石，G为垂足.若CG=CD=1,则AC的长是

解：•・•四边形"CO是矩形，：,AB=CD=\fNA4C=90°,

VBE1AC,AZAGB=90°=AABC.

•・・NB4G=/GW,•••△ABGs/XACB,・・.4G”C=AB2（射影定理），

ABAC

即（AC-1）MC=12,

解得：4?=上比或AC=上返（不合题意舍去），即AC的长为止应，

222

故答案为：上巫.

2

【例2】.如图：二次函数y=o?+法+2的图象与x轴交于A、B两点,与），轴交于C点，若AC_L8C,则。

24

W：设A（xi，0）（X1<O）,B（X2,0）（x2>0）,C（0,/）,

•・•二次函数y=a『+法+2的图象过点C（0,，），

・・・f=2；

\-ACLBC,

：.OC1=OA*OB（射影定理），即4=k"2|=71X2，

根据韦达定理知X1X2=Z,・•・〃=■』.故选：A.

【例3】.将BC沿弦8c折叠，交直径A8于点。，若4D=4,DB=5,则BC的长是（）

A.3V7B.8C.V65D.2^15

解：连接C4、CD；

根据折叠的性质，知后所对的圆周角等于NC8。，

又•・•菽所对的圆周角是NC84,

*：ZCBD=ZCBA,：.AC=CD（相等的圆周角所对的弦相等）;

是等腰三角形：

过C作CEVAB于E.

,・,4D=4,则AE=OE=2；:・BE=BD+DE=7；

在RtZXACB中，CEJ_AB,根据射影定理，得：

Bd=BE*AB=7X9=63；故BC=3匹.故选：A.

A变式训练

【变式1】.如图，在△ABC中，若A8=AC,BC=2BD=6,DE±AC,则AC・EC的值是_2_・

解：如图，•在△ABC中，若AB=AC,BC=2BD=6,

・・・AQ_L4C,CD=BD=3.

又DEYAC,

：,ZCED=ZCDA=9()°.

VZC=ZC,

•・•'OA=OC",

OCOB

：,OC1=OA*OB(即射影定理)

即|A「X2|=C'2=-X|*X2，

1

令ax+bx+c=Of

根据根与系数的关系知Xi・x2=q,

a

・c2

,,-、1乂2丁。’

故ac=-1,故选：A.

【变式4】.如图，正方形A8CQ中，E为AB上一点、,AFLDE于点凡已知OF=5E尸=5,过C、D、

的。。与边A。交于点G,则。G=.

在正方形4BCD中，ZEAD=7ADC=90°,AF1DE,

・•・/^AFD^/\EAD,

・AD=DF

**EDAD,

又，：DF=5EF=5,

••AD=VEDPDF=U5X(5+1)=V30—CD,

在RtZXAFO中，AF=VAD2-DF2=^30-25=V5»

VZCDF+ZADF=9(r,ZDAF+ZADF=W,

：.NDAF=ZCDF,

■:四边形GFCD是OO的内接四边形，

：,ZFCD+ZDGF=\SO0,

VZFGA+ZDGF=180°,

：.ZFGA=ZFCD,

J丛AFGs丛DFC,

.AG_AF

"CDF

.AG_V5

F-，

:・AG=4^,

・•・DG=AD-AG=V30-V6

【变式5】.如图，在△ABC中，以AC边为直径的OO交8c于点。，过点B作8GJLAC交。。于点E、H,

连A。、ED、EC.若80=8,0c=6,则CE的长为2折.

解：:AC为。。的直径，

・・・NAOC=90°,

•：BGLAC,

・・・N8GC=NAOC=90°,

•・N8CG=/4CO,

・•・△ADCsABGC,

.DC_AC

**CGBC*

CG•AC=DC*HC=6X14=84,

连接AE,

•・•AC为00的直径,AZAEC=90°,

:,NAEC=NEGC=900，

•・•NACE=NECG,

:.XCEGsXCNE、

CEAC

Z.CE2=CGMC=84,：.CE=2^/21.

故答案为2721.

【变式6】.如图，四边形A8CO是平行四边形，过点A作AEJ_BC交5C于点E,点〃在8c的延长线上,

且b=8E,连接。F.

(1)求证：四边形AEFO是矩形；

(2)连接AC,若NACD=90°,AE=4,CF=2,求EC和AC的长.

AD

4~~71

BECF

(l)证明：•・•四边形A/3C。是平行四边形，・・・4O〃BC,AD=BC,

•・・CF=BE：.BE+CE=CF+CE,

BPBC=EF,：.AD=EF,

TA。〃七凡，四边形AE/力是平行四边形，

\'AELBC,・・・NAEF=90°,・•・平行四边形4£尸。是矩形；

(2)解：如图，VCF=BE,CF-2,

：・BE=2,•・•四边形A8C。是平行四边形，・・・A8〃CZ),・・.N84C=/ACO=90°,

AR2t2

VAE1BC,；・AEp=BE・EC(对影定理)，AEC=-^-=—=8,

BE2

AAC=VAE2CE2=^42+82=4^5.

同回实战演练

1.如图，在矩形4BCO中，OE_LAC,垂足为点若sin/AZ）E=3，4。=4,则A3的长为（）

5

/.ZADE+ZCAD=90°，

VZACD+^CAD=90°,

ZACD=ZADE,

•・•矩形ABCD的对边AB//CD,

：.ZBAC=ZACD,

4

VsinZADE=—,BC=AD=4

5f

.BC4.44.4r_s

AC5AC5

22=3＞

由勾股定理得，^=VAC-BC故选：C

2.如图，在矩形ABC。中，BD=243.对角线AC与8。相交于点O,过点。作AC的垂线，交AC于点

E,AE=3CE.则。炉的值为（)

D

B

A.4B.273c4D.473

解：♦.•四边形ABC。是矩形，，NAQC=90",AC=BD=2a，

*：AE=3CE,.\AE=—AC=-V3，CE=-AC=^~,

4242

VZ/4DC=90°,・・・NOAC+/ACO=90°,

*：DELAC,；.NAED=NCED=90°,

AZADE+ZDAC=90°,：,ZADE=ZACD,AA/^DE^ADCE,.・.迈=延，

CEDE

：,D^=AE*CE=—yj3X—=—^故选：C.

224

3.如图，在正方形ABC。内，以。点为圆心，AO长为半径的弧与以BC为直径的半圆交于点P,延长CP、

,4尸交4B、BC于点M、N.若4B=2,则A尸等于（）

2710，续

解：如图，设点S为8C的中点，连接。P,DS,OS与PC交于点W,作PE_LBC于点E,PF1AB于点F,

：,DP=CD=2,PS=CS=T,即OS是PC的中垂线，MDCSqADPS,

：.ZDPS=ZDCB=90°,二〃S=JD‘2+CS2=+12=泥,

由三角形的面积公式可得。。=生区，

5

•••8C为直径，r.ZCPB=90°,・•・PB=TBC2-PC2，

5

：.PE=FR=^L=Ai.*.PF=^=A/pB2_pE2=2

DLDD

：.AF=AB-FB=^-，・・*/=4研2+口丁2=^^一故选:B.

55

DC

4.如图，点P是。。的直径84延长线上一点，PC与OO相切于点C,CD±AB,垂足为Q,连接AC、BC、

0C,那么下列结论中：①尸②PC・OC=0P・CQ；®OA2=OD*OP；④OA(CP-CD)=AP

•3,正确的结论有.()个.

解：①・・・PC与。。相切于点C,

；・NPCB=NA,/P=/P,:.APBCs2pCA,，2不二密中区；

②•；OCLPC,:・PC・OC=OP・CD；

③・.・CQJ_A8,OCLPC,：・Od=OD・OP,

*：OA=OC,：,OA1=OD*OPx

④・・・_l/4尸・CO=_1OC・CQ-4A・。,OA=OC,：.0A(CP-CD)=AP*CD,

222

所以正确的有①，②，③，④，共4个.故选：Q.

5.如图，在RtZXABC中，NA=90°,A8=AC=8泥，点E为AC的中点，点/在底边8C上，且尸E_L

BE,则CF长

VZA=90°,AB=AC=^^.•・4C=&A3=16近，ZC=45°,

•・•点£为47的中点，・・・A£=CE=4遍,

4遍

•••△CEH为等腰直角三角形，，EH=CH==4心:,BH=V2^

在RtZ\A3£中，BE=«AB2+AE2，

在RlABfT7中，*：EHLBF,:,BW=BH・BF,

即汨嚼匹/1"EMi收气3唳

故答案为至返.

3

6.如图，在矩形A8CD中，点E在边A。上，把aABE沿直线8E翻折，得到△G8E,8G的延长线交CD

于点立F为8的中点，连结CG,若点E,G,C在同一条直线上，尸G=l,则CO的长为2+2芯，

cosZDEC的值为1.

解：•・•四边形A8CD是矩形,

工AB=CD,AD//BC,ZBCD=ZA=ZD=90°

，NAEB=NEBC,ZBCG=ZDEC,

由折叠的性质得：BG=BA,ZEGB=ZA=9()°,NGEB=NAEB,

:.CD=BG,

：.ZEBC=ZGEB,

：.BC=EC,

•・•点、E,G,。在同一条直线上，

，/CGF=90°,ZCGfi=180°-ZEGB=90°,

•・•尸为CD的中点,

工CF=DF,

设C〃=Qb=.r,则AG=CQ=2x,

V/CFG=NBFC,

:・ACFGs丛BFC,

.CF=FG

**BF丽’

:,CF2=FG*BF,

即»=1X(l+2r),

解得：x=l+J5或x=l・(舍去)，

：.CD=2x=2+2^/2,

*：ZDEC+ZECD=9^,ZGFC+ZECD=90°,

:・/DEC=/GFC,

Z.cosZDEC=cosZGFC=—=—-1,

CF1W2

故答案为：2+2证,V2-I.

7.如图，在平面直角坐标系中，直线），=区+1分别交工轴，y轴于点A,B,过点8作8C_LAB交x轴于点

C,过点C作CQ_L4C交），轴于点Q,过点。作QEJ_C。交x轴于点£,过点£作E凡LOE交y轴于点

F.已知点A恰好是线段EC的中点，那么线段EF的长是.

解：因为AB的解析式为丁=履+1,所以B点坐标为（0,1）,4点坐标为（-（，0）,

由于图象过一、二、三象限，故攵＞0，

又因为8C_LA3,BO±AC,

所以在RtZXABC中，BO1=A0-CO,代入数值为：1=2・CO,CO=k,

k

同理，在RtZXBC。中，CO2』，。。。，

代入数值为：户=1・。。。。=必又因为A恰好是线段EC的中点，所以8为FO的中点，。斤=1+1+F,

RtAFED中，

根据射影定理，EO2=DO-OF,即（A+工+工）2=Ar*（l+Ar+l）,

kk

整理得（k-衣）（什&）（P+2）（么+1）=0,解得攵=①.

根据中位线定理，EF=2GB=2DC,DC=\（V2）2+（（V2）2）2=V6.EF=2近

8.如图，在菱形ABC。中，过点。作。E_LCO交对角线AC于点E,连接8E,点P是线段BE上一动点，

作P关于直线。E的对称点匕点。是AC上一动点，连接产。，DQ.若AE=I4,CE=I8,则D。-

P'Q的最大值为_向2_.

O

B

解：如图，连接8。交AC于点0,过点。作。K_L3C于点K,延长DE交AB于点R,连接EP，并延

长，延长线交A8于点/作£/关于AC的对称线段£7,则点P'的对应点。“在线段々’上.

当点P是定点时.，DQ-QP'=DQ-QPt,,

当Q,P”，。共线时，Q。-。尸'的值最大，最大值是线段。尸〃的长，

当点P与8重合时，点，'与/重合，此时OQ-QP的值最大，最大值是线段的长，也就是线

段阳的长.

•・•四边形A4C。是菱形，

AO=OC,

VAE=14.EC=18,

：.AC=32,AO=OC=16,

：.0E=A0-AE=16-14=2,

VDE1CD,

:・NDOE=NEDC=90",

NDE0=ZDEC,

:•△EDOsgCD,

：・DW=EO・EC=36,

:・DE=EB=EJ=6,

22

:<D=7EC-DE=V182-62=12v5,

^=7DE2-OE2=762-22=4V2»

・・.8。=8近，

,；S,\DCB=LXOCXBD=、BC・DK,

22

.”_16X8&_32

••/Jl\-----7=-----，

12V23

ZBER=ZDCK,

32

AsinZBER=sinZDCA：=—=―J=生但

CD12V29

93

•：EJ=EB,ERVBJ,

：.JR=BR=^^-,

3

:・JB=DJ'=1^2.,

3

:・DQ-P'Q的最大值为里亚.

3

解法二：DQ-PQ=RQ_PQWBF,显然产的轨迹夕，故最大值为即.勾股得CQ,OD.

BAD,BD2=BrBA,可得即=1&、历.

3

故答案为：里②

3

9.在矩形ABC。中，点E为射线BC上一动点，连接4E.

(I)当点E在BC边上时，将AABE沿AE翻折，使点B恰好落在对角线8。上点尸处，AE交BD于点

G.

①如图1,若8C=«A8,求/AFO的度数；

②如图2,当44=4,且七尸=EC时，求8C的长.

(2)在②所得矩形A4C。中，将矩形ABCO沿4E进行翻折，点C的对应点为C,当点EC,。三点

共线时，求3E的长.

图1图2备用图

解：（1）①•・•四边形44CO是矩形，・・・AQ=8C,N84D=90°,

，：BC=®AB,:.AD=gAB,・・・lan/AB7）=枭=V§，工/88。=60°,

由折叠的性质得：A/=A8,.'.△ABr是等边三角形，・・・NAFB=60°,

AZAFD=1800-ZAFB=120°；

②由折膏的性质得：BFLAE,EF=EB,

・：EF=EC,：,EF=EH=EC,:.BC=2BE,

•・•四边形ABC。是矩形，・・・NA8C=90°,AD=BC=2BE,AD//BC,

:•△ADGSAEBG,・,.里=池=2,：,AG=2EG,

EGBE

设bG=x,则AG=2x,：,AE=5x,

在△A8E中，BGA.AE,・・.A82=AG・AE（射影定理），BP42=Zv3x,

解得：x=2捉（负值已舍去），，AE=3x=2dG，

3

A^=VAE2-AB2=7（276）2-42=2^2»:.BC=2BE=4近,

即BC的长为小技；

（2）当点E,C,。二点共线时，如图3,

由②可知，BC=442,

•・•四边形ABC。是矩形，

・,.NA8C=N8CQ=90。,AD=BC=4^,CD=AB=4,AD//BC,

・・・NOCE=90°,NCED=NB'DA,

由折置的性质得：Air=AB=4,N8=N44C=90°,

：・NDCE=NB\DC=AB',：.4CDE@AB，AD（AAS）,

.\DE=AD=4^2,/.CE=^^=V（4V2）2-42=4,

・•・BE=BC+CE=4亚+4.

B1

B

图3

10.如图，已知OO的半径为2,A3为直径，CQ为弦，A8与CO交于点M,将弧CQ沿着CO翻折后,

点A与圆心。重合，延长OA至P,使AP=O4,连接PC

（1）求证：PC是。。的切线；

（2）点G为弧AO8的中点，在PC延长线上有一动点Q,连接QG交A3于点E,交弧5c于点“（尸

与8、C不重合）.问GE・G尸是否为定值？如果是，求出该定值：如果不是，请说明理由.

W：(1)'：PA=OA=2,AM=OM=1,CM=V§,

又•・•NCMP=NOMC=90°,

•••PC=VMC2+PM2=2V3，

VOC=2,PO=4,

：.PC2+OC2=PO1,

・・・NPCO=90°,

•••PC与。。相切；

(2)GE・G"为定值，理由如下：如图2,

连接GA、AF.GB,

•・•点G为弧403的中点,

AC-GB,

：.ZBAG=ZAFG,

NAGE=/FGA,

:.XAGEs△FGA,

・

••,AG'二FG，,

GEAG

：.GE*GF=AG2,

为直径，A8=4,

・・・NA4G=//1BG=45°,

・・・AG=2①

••・GE・G"=AG2=8.

11.如图1，在正方形ABC。中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A,8不重合），连接CE,过点8

作87LLCE于点G,交AO于点尸.

（1）求证：AABF丝ABCE；

（2）如图2,当点E运动到AB中点时，，连接。G,求证：DC=DG：

（3）如图3,在（2）的条件下，过点C作CM_LOG于点H,分别交A。，BF于点M,N,求理■的值.

NH

图1图2图3

(1)证明：•：BFLCE,

:・/CGB=90°,

・・・NGCB+NCBG=90,

•・•四边形4BCO是止方形，

工NC8E=90°=NA,BC=AB,

工NFBA+NCBG=90,

:・/GCB=/FBA,

:.△ABFQABCE(ASA)：

(2)证明：如图2,过点。作O〃_LCE于〃，

设A8=CO=3C=2m

•・•点E是A3的中点，

：.EA=EB=^AB=a,

2

:.CE=®i,

任RtZ\C'£8中，根据面积相等，得8G・Cb=C8•七B,

:.BG=凶反a,

5

・•・CG=4CB2-BG2

0

VZDCE+Z13CE=^,NCBF+NBCE=9(Y：

:・/DCE=/CBF,

,:CD=BC,NC〃O=NCGB=90°,

:.△CHD/ABGC(A4S),

:,CH=BG=^^-a,

5

:.GH=CG-CH=^^-a=CH,

5

VDH=DH,NCHD=NGHD=90°,

:.△DGH9△口CH(SAS),

:,CD=GD；

(3)解：如图3,过点。作OQ_LCE于Q,

SACDG=L・DQ*CG=XcH*DG,

22

・CH—CG，DQ8

DG5

在RlZXCQO中，CD=2a,

・•・^=VCD2-CH2=3'

z>

VZA/D/7+Z/7DC=90°,NHCD+NHDC=9D",

・•・ZMDH=ZHCD,

:.△CHDS/\DHM,

.DHMH=3

.•瓦而T

9

：.HM=­a.

10

在RlZXCHG中，CG=aCH=^-a

55

/=22

・•・GA7CG-CH=，

D

VZ/WGH+ZCGH=9U°，N〃CG+/CG〃=9U°,

:・/CGH=/CNG,

:.AGHNSACHG,

•.•HN=HG,

HGCH

.„_HG2_