超几何分布为背景的概率模型（解析版）-高考数学二轮复习专题训练

超几何分布为背景的概率模型

求超儿何分布件为背景的概率模型的解题思路：

第一步：确定参数N,M,〃的值.

第二步：明确随机变量的所有可能取值，声求出随机变量取每一个值时对应的概率.

第三步：列出分布列，求期望与方差

【易错提醒】二项分布与超几何分布的关系

在n次试验中，某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布.

①当这〃次试验是n重伯努利试验时（如有放

回摸球），X服从二项分布；

区别

②当〃次试脸不是〃重伯努利试脸时（如不放

回摸球），X服从超几何分布

在不放回〃次试脸中，如果总体数量N很大，

联系而试脸次数〃很，卜，此时超几何分布可近似

转化成二项分布如本例（3）

【典例】（2022•江苏高考模拟）某商场进行抽奖活动.已知一抽奖箱中放有8只除颜色外，其

它完全相同的彩球，其中仅有5只彩球是红色.现从抽奖箱中一个一个地拿出彩球，共取三

次，拿到红色球的个数记为X.

（1）若取球过程是无放回的，求事件“X=2”的概率：

（2）若取球过程是有放回的，求X的概率分布列及数学期望E（x）

【解题指导】（1）超几何分布概率公式计算概率；

（2）X的可能取值为一求得每个取值对应的概率一分布列一数学期望.

Cc；

G28

（5、

（2）随机变量X的可能取值为：为L2,3；且XB3,一

\8,

P（X=k）=C；ej（|「，欠=0,123

，二分布列如下:

X0I23

27135225125

P

512512512512

E(X)=3x-=—

V788

1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的

特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个

体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、琪不同类别的小球等概率模型，其

实质是占典概型.

2.考查超几何分布的概率问题求解、二项分布的分布列和数学期望的求解，关键是能够明确

有放回与无放回所符合的分布类型.

1.【与发展成就融合】(2()23•安徽宿州・统考一模)宿州号称“中国云都”，拥有华东最大的云

计算数据中心、CG动画集群渲染基地，是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家量

子通信节点城市.为了统计智算中心的算力，现从全市〃个大型机房和6个小型机房中随机

抽取若干机房进行算力分析,若一次抽取2个机房,全是小型机房的概率为；.

⑴求〃的值；

(2)若一次抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为X,求X的分布列和数学期望.

【答案】(1)4；(2)分布列见解析，2

5

C21

【分析】(1)根据占典概型计算公式可得尸=可，即可解得〃=4：(2)易知随机变曷X

的可能取值，利用超几何分布可求得其对应概率即可得分布列和期望值.

【详解】(1)由题知，共有〃+6个机房，抽取2个机房有C，种方法，

其中全是小机房有或种方法，

因此全是小机房的概率为?=景=:，解得〃=4.

即〃的值为4.

(2)X的可能取值为0,1,2,3.

c°c34_1

P(X=O)=^y^=-

C|012030

"X=2)=誉=瑞总

3

P(X=3)=^CPC-0=—202

C。12061

则随机变量X的分布列为

X0123

13

P

301026

I31I9

则X的数学期望£(X)=0X-!-+1X二+2X2+3XL=N.

3010265

2.【与统计融合】(2023•全国•模拟预测)新高考模式下，数学试卷不分文理卷，学生想得高

分比较困难.为了调动学生学习数学的积极性，提高学生的学习成绩，张老师对自己的教学

方法进行改革，经过一学期的教学实验，张老师所教的8()名学生，参加一次测试，数学学

科成绩都在[50,100]内,按区间分组为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],绘

制成如下频率分布直方图，规定不低于8()分(百分制)为优秀.

(1)求这80名学生的平均成绩(同一区间的数据用该区间中点值作代表)；

(2)按优秀与非优秀用分层抽样方法随机抽取10名学生座谈，再在这10名学生中，选3名学

生发言，记优秀学生发言的人数为随机变量X,求X的分布列和期望.

【答案】(1)73.5；⑵分布列见解析;期望上⑻4

【分析】(1)根据频率分布直方图估计平均数的方法直接计算即可；

(2)根据频率分布直方图可确定优秀与非优秀学生对应的频率，根据分层抽样原则可确定

10名学生中优秀学员的人数，由此可得X所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求

〃(ad-bc)’

附•K1=---------------------------------------,n=a+b+c+d

(〃+/?)(<?+〃)(〃+c)(b+d)

P（K』。）0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001

即1.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】（1）填表见解析；有95%的把握认为该学生数学测试成绩是否优秀与教学方式有关;

（2）分布列见解析；期里为।

【分析】（1）根据数据完成列联表，然后由公式计算K?即可判断.

（2）优秀的次数X的所有可能取值为0,1,2,属于超几何分布，计算各个取值的概率然

后完成分布列并计算期望.

（1）2x2列联表如下：

非优秀优秀合计

线上教学201030

线下教学304070

合计5050100

所以有95%的把握认为该学生数学测试成绩是否优秀与教学方式有关.

（2）从30次在线上教学期间进行的数学测试中，按成绩是否优秀用分层抽样法抽取6次测

试成绩，其中优秀的有2次，非优秀的有4次，从中随机抽取3次测试成绩，则优秀的次数

X的所有可能取值为0,1,2,

P(x=。)有4

P(X=])=£^=3

v7C5

户"=2）喑1

所以X的分布列为

X012

}_3

P

555

所以X的数学期望为E(X)=0xgI+lx3：+2x1T=l

JJJ

4.【与茎叶图融合】（2021.陕西西安•校联考模拟预测）某中学高一（I）班在接种了“新冠疫

苗’之后，举行了“疫情防控，接种疫苗”知识竞赛.这次竞赛前21名同学成绩的茎叶图如图所

示，已知前7名女生的平均得分为221分.

女生男生

X20349

62212688

81222789

6023578

（1）①求茎叶图中x的值；

②如果在竞赛成绩高于205分且按男生和女生分层抽样抽取6人，再从这6人中任选3人作

为后期举行的“接种疫苗，感恩祖国''主题班会中心发言人，求这3人中有女生的概率；

（2）如果在竞赛成绩高于220分的学生中任选4人参加学校座谈会，用4表示4人中成绩超

过235分的人数，求4的分布列和期望.

【答案】（1）①%=4；②;；（2）分布列见解析，期望为首.

J11

【分析】（1）①利用平均数公式可求得力的值；

②求得样本中的男生人数和女生人数，利用组合计数原理、古典概型以及对立事件的概率公

式可求得所求事件的概率；

（2）分析可知随机变量彳的可能取值有0、1、2、3,计算出随机变量4在不同取值下的

概率，可得出随机变量4的分布列，由此可求得随机变量4的数学期望值.

【详解】（1）①由茎叶图可知，前7名女生的平均得分为

200+X+212+216+221+228+230+236…

-------------------------------------=221,

7

解得x=4；

②竞赛成绩高于205分的女生有6人，男生有12人，

按男生和女生分层抽样抽取6人，则样本中的男生人数为6xJ|=4,女生人数为6x^=2,

IO1O

记事件A:从6人中任选3人作为后期举行的“接种疫苗，感恩祖国”主题班会中心发言人，这

3人中有女士，

则P（A）=>

（2）竞赛成绩高于220分的学生共有11人，成绩高于235分的学生共有3人，

由题意可知，随机变量4的可能取值有0、1、2、3,

e八〜八、仁70756x328

则%=（））=#=——=—,%=----=一,

'）C：33033I）33055

P伍=2）=空^=里=世尸片二a）：。；。：二8二4

信）《33055,信）C：330165

所以，随机变量g的分布列如下表所示：

0123

728144

P

335555市

因此，^)=0x^+lxg+2x^+3x-±=^.

33JJJD10311

【点睛】方法点睛：求随机变量的期望和方差的基本方法如下：

（1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；

（2）已知随机变量X的期望、方差,求，戊+/4〃£用的期望与方差，利用期望和方差的

性质CE（aX+b）=aE（X）+b,D（aX+h）=a2D（X））进行计算;

（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利

用常用分布列的期望和方差公式进行计算.

5.【与回归方程融合】（2020•全国•模拟预测）2020年，国庆“遇上”中秋，中国人把这个“超

长黄金周”过出了年味.假期期间，全国各大旅游景点、车站、机场人头攒动的景象也吸引了

世界的目光.外国媒体、专家和网友“实名羡慕”，这一派热闹景象证明了抗疫的成功，也展

示了中国经济复苏的劲头抗疫的成功离不开国家强大的医疗卫生体系，下表是某省2013年

至2019年医疗卫生机构数）（单位：万个）：

年份2013201420152016201720182019

年份代号/1234567

医疗卫生机构数》4.24.34.54.74.84.84.9

（I）求）'关于I的线性回归方程），=4+日（6,/；保留两位小数）；

（2）规定若某年的实际医疗H生机构数与估计值的差的绝对值不超过500个，则称该年是

“吻合'年利用（1）的结果，假设2020年该省医疗卫生机构数的估计值为实际值，现从2013

年至2020年这8年中任选3年，其中“吻合”年的个数为X,求X的分布列与数学期望.

参考数据：132.2,3=4.6.

;=|

参考公式：线性回归方程），=4+。中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

.心T一

b=J——a=y-bt.

J-I

3

【答案】(1)y=0.12/+4.12；(2)分布列见解析，-

【分析】首先根据表格数据计算得到7=4及£L-)=28,代入公式求得后和九第二问

/-I

先根据回归直线计算从2013年到2019年医疗卫生机构数的估计值，从而得到吻合”年有4

个，则“吻合”年的个数X的可能取值为0,123,又由于随机变量X服从超几何分布，写出

随机变量X的分布列并计算数学期望即可.

【详解】(1)由题意得、4，£(4一7『=(一3)2+(—2『+(-1『+()+12+22+32=28,

1=1

其

£（4-/）（7）132.2-7x4x4.6^^^

b=-^---------------------=--------------

2828

则&二亍一百”4.6-0.12x4=4.12,

所以)'关于/的线性回归方程为尸。.⑵+4.12.

(2)2013年至2019年这7年该省医疗卫生机构数的估计值与实际值(单位：万个)如下

表所示:

年份2013201420152016201720182019

实际值4.24.34.54.74.84.84.9

估计值4.244.364.484.64.724.844.96

则2013年至2020年这8年中“吻合”年有2013年，2015年，2018年，2020年，共4年,

故X的所有可能取值为0,1,2,3,

且p（x=k）=兴-,2=0.1,2,3,

故X的分布列为

X0123

1331

P

7714

^I^E（X）=0x-l-+lx-|+2x1+3xJ__3

14-2

【点睛】超几何分布描述的是不放I可抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何

分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查

某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模

型，其实质是古典概型.

6.1与统计图表融合】（2022•山东济宁・嘉祥县第一中学校考模拟预测）为了增强学生的冬奥

会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动为了

了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在北京市中小学学校中随机抽取了10

所学校，10所学校的参与人数如下：

（I）现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查.求选出的2所学校参与越野滑轮人数

都超过40人的概率；

（II）现有一名早地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导，记X为教练选

中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数，求X的分布列和数学期望；

（III）某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技

术指导.规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”.在指导前，该校甲

同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1.在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为

“优''.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理由.

【答案】（I）卷2（n）见解析，14（III）见解析

【分析】（I）记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件S,从这10所学

校中随机选取2所学校进行调查，可得基本事件总数为葡•参与越野滑轮人数超过40人的学

校共4所，随机选择2所学校共加种，利用古典概率计算公式即可得出概率..

（II）X的所有可能取值为0,1,2,参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所.利用超

几何分布列计算公式即可得出.

（III）答案不唯一•示例：虽然概率非常小，但是也可能发生，一旦发生，就有理由认为指

导后总考核达到“优”的概率发生了变化.

【详解】（I）记”选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件S,现从这1。所

学校中随机选取2所学校进行调查，可得基本事件总数为箫.

参与越野滑轮人数超过4G人的学校共4所，随机选择2所学校共C：=6种,

4x3

所以时）=旨=备V

2

（II）X的所有可能取值为0,1,2,参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所.

P(X=O)=等qp(x=l)=铲q，P(X=2)=C%C_2

2

Jo°JoIDJc。215

X的分布列为：

X012

82

P

31515

F(X)=0xl+lxA+2x—=-

'/315155

(III)答案不唯一.

答案示例1:可以认为甲同学在指导后总考核为"优''的概率发生了变化.理由如下:

指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：C5O.12.O.9+C；-O.13=O.O28.

指导前，甲同学总考核为“优”的概率非常小，一旦发生，就有理由认为指导后总考核达到“优”

的概率发生了变化.

答案示例2：无法确定.理由如下：

指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：C>0.12.0.9+C-013=0.028.

虽然概率非常小，但是也可能发生，所以，无法确定总考核达到“优”的概率发生了变化.

【点睛】本题考查古典概型，离散型随机变量的分布列和数学期望，以及根据概率统计做分

析和决策等相关问题，属于中档题.

7.【与分层抽样融合】（2021•西藏山南•山南二中校考•模）第七次全国人口普查登记于2020

年11月1日开始，这是在我国人口发展进入关键期开展的一次重大国情国力调查，可以为

编制“十四五”规划，为推动高质量发展，完善人口发展战略和政策体系、促进入口长期均衡

发展提供重要信息支持，本次普查主要调查人口和住户H勺基本情况.某校高三一班共有学生

54名，按人口普查要求，所有住校生按照集体户进行申报，所有非住校生（走读生及半走读

4

生）按原家庭申报，已知该班住校生与非住校生人数的比为7:2,住校生中男生占,，现从

住校生中采用分层抽样的方法抽取7名同学担任集体户户主进行人口普杳登记.

（1）应从住校的男生、女生中各抽取多少人？

（2）若从抽出的7名户主中随机抽取3人进行普查登记培训

①求这3人中既有男生又有女生的概率；

②用X表示抽取的3人中女生户主的人数，求随机变量X的分布列与数学期望.

【答案】（1）男生、女生就分别抽取4人，3人：（2）①亨；②分布列答案见解析，数学期

望号.

【解析】（1）找到住校生中男女生的比例关系，即可求出男女生分别抽取的人数.（2）①抽

取的3名户主中既有男生，又有女生，包含男生有1人，女生有2人和男生有2人，女生有

1人两种情况，分别求出概率再求和即可；②找到变量X的所有可能取值，服从超几何分布，

求出概率，列出分布列，求出期望即可.

43

【详解】（1）由已知住校生中男生占］，则女生占曰于采用分层抽样的方法从中拍取7

人，因此男生、女生就分别抽取4人，3人.

（2）①设事件A为“抽取的3名户主中既有男生，又有女生”，设事件8为“抽取的3名户

主中男生有1人，女生有2人”；事件C为“抽取的3名户主中男生有2人，女生有1人”，

贝|JA=5UC,且8与。互斥，

P（8）=等=4,P（C）=等=去故P（A）=P（8）+P（C）=

所以，事件A发生的概率为与.

②随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,

（攵=0,123）.随机变量X的分布列为

X0123

418121

P

35353535

随机变量X的数学期望2X)=0x34+lx1/8+2x港12+3乂31=*9

8.【与发展成就融合】（2023•重庆沙坪坝•重庆南开中学校考模拟预测）在中华人民共和国成

立70周年之际，《我和我的祖国》、《中国机长》、《攀登者》三大主旋律大片在国庆期间集体

上映，拉开国庆档电影大幕.据统计《我和我的祖国》票房收入为31.71亿元，《中国机长》

票房收入为29.12亿元，《攀登者》票房收入为10.98亿元.已知国庆过后某城市文化局统计

得知大量市民至少观看了一部国庆档大片，在已观影的方民中随机抽取了100进行调查，其

中观看了《我和我的祖国》的有49人，观看了《中国机长》的有46人，观看了《攀登者》

的有34人，统计图如下.

《艮”我的机典》

《中国机松

(1)计算图中的值；

(2)文化局从只观看r两部大片的观众中采用分层抽样的方法抽取了7人，进行观影体验

的访谈，了解到他们均表示要观看第三部电影，现从这7人中随机选出4人，用X表示这4

人中将要观看《我和我的祖国》的人数，求X的分布列及数学期望.

Q

【答案】(1)a=9,b=6,c=6；(2)分布列见解析，E(X)=-.

27+。+。+4=46

【分析】(1)由题意结合图表信息可得，30+a+c+4=49,解方程即可得解；

I8+6+C+4—34

(2)由题意结合分层抽栏的性质可得抽取的7人中没有看过《我和我的祖国》的有2人，

进而可得X=0』,2,由超几何分布的概率公式即可得P(X=。)、P(X=1)、P(X=2),进

而可得X的分布列，再由期望公式即可得X的数学期望.

27+。+匕+4=464=9

［详解】(1)由题意可得,30+a+c+4=49解得,c=6,

18+〃+c+4=34b=6

所以a=9,b=6,c=6；

(2)记“同时观看了《中国机长》和《我和我的祖国》，'的为A组，共9人；

“同时观看了《中国机长》和《攀登者》”为B组，共6人；

“同时观看《我和我的祖国》和《攀登者》”为。组，共6人；

所以按分层抽样，ABC组被抽取的人数分别为9x^7=3、6x^7=2、6x^7=2；

在被抽取的7人中，没有观看《我和我的祖国》的有2人，

/.X-0,1,2,

则P(X=O)=*=；,P(X=I)=等gP(X=2)=警=4,

所以X的分布列如下：

.♦・X的数学期望风X）=0亭1*泻4

【点睛】本题考查了统计图表的应用，考查了分层抽样的性质及离散型随机变量分布列和数

学期望的求解，属于中档题.

9.【与散点图融合】（2022•北京平谷・统考二模）某市旅游管理部门为提升该市26个旅游景

点的服务质量，对该市26个旅游景点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分，

每项评分最低分。分,最高分100分，每个景点总分为这五项得分之和，根据考核评分结果,

绘制交通得分与安全得分数点图、交通得分与景点总分散点图如下:

安华f2油肉分。安介却分做为图

得分

80859095100交工

得分

请根据图中所提供的信息，完成下列问题：

（I）若从交通得分前6名的景点中任取2个,求其安全得分都大于90分的概率;

（H）若从景点总分排名前6名的景点中任取3个，记安全得分不大于90分的景点个数为€，

求随机变量€的分布列和数学期望：

（01）记该市26个景点的交通平均得分为,安全平均得分为工，写出工和E的大小关系？

（只写出结果）

2

【答案】（I）（II）分布列见解析，期望为1;（IH）三＞工

【分析】（I）根据占典概型概率计算公式，计算出所求概率.

（II）利用超几何分布的知识求出分布列和数学期望.

（III）根据两种得分的数据离散程度进行判断.

【详解】（D由图可知，交通得分前6名的景点中，安全得分大于90分的景点杓4个，所以

C：_6_2

从交通得分前6名的景点中任取2个，求其安全得分都大于90分的概率为

Cl-15-5

（H）结合两个图可知，景点总分排名前6的的景点中，安全得分不大于90分的景点有2个,

所以4的可能取值为（）/，2.

rI"（4=2）

（）

。q=。）=^=mpg=i=5

所以g的分布列为:

012

3]_

P

5