2025-2026学年下学期江苏重点高中高三数学3月九校联考试卷（含解析）

高三数学本试卷满分150分,考试时间150分钟注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上；写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若z=2i+iA.1B.2C.5D.32.设集合A={−2,1,a},B=−A.-1B.0C.1D.23.x−1A.−52B.−324.已知两条直线m,n和平面αA.若m//n,m//α,则n//αC.若m⊥a,m//n,则n⊥a5.科学研究中经常涉及对粒子状态的分析.某假想粒子有状态1,状态2,状态3,⋯⋯,每种状态下的粒子经过1秒有两种可能:状态保持不变或变为更高一级状态,已知状态1的粒子有12的概率变为状态2,状态2的粒子有13的概率变为状态3,以此类推.现有若干状态1的该粒子,则经过3秒处于状态1A.39%B.51%C.64%D.73%6.若直线y=x+1上存在点A,圆x2+y−m2=2上存在点A.0B.2C.3D.47.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,A.1B.32C.338.已知正数a,b满足2A.b<a<2bB.a二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.下列说法正确的是A.若随机变量X∼N1,B.若事件A,B相互独立,则C.若样本数据x1,x2,⋯,xn的方差为D.用相关指数R2刻画回归效果，R2越接近10.已知函数fx=sinA.曲线y=fx与曲线B.曲线y=fx与曲线C.曲线y=f2x向左平移π3D.曲线y=f2x与曲线y=gx11.已知四棱锥P−ABCD的体积为12，四边形ABCD是平行四边形，Q为PA的中点，经过直线CQ的平面与侧棱PB,PD分别交于点M,NA.λ=μ时,AB//B.λ=12C.四面体PQBC的体积为3D.四棱锥P−MCNQ三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.已知向量a=1,−2,a+b=13.已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，直线x−2y+4=14.已知函数fx2=xx−22,对任意x∈0四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)如图，已知△PAB是圆锥PO的轴截面，PA(1)求圆锥PO的外接球的表面积；(2)若C为弧AB的中点,求二面角C−PA16.(15分)已知数列an各项均不为零，a1=1，a2(1)当t=1时,求an(2)若an>an+117.(15分)某次考试的多项选择题,每题4个选项中正确选项有2个或3个,得分规则如下:若正确选项有2个,只选1个且为正确选项得3分,选2个且都为正确选项得6分,否则得0分;若正确选项有3个,只选1个且为正确选项得2分,选2个且都为正确选项得4分,选3个且都为正确选项得6分,否则得0分.学生甲对其中的一道多项选择题完全不会,该题恰有2个正确选项的概率为p0<p<1,记X为甲随机选择1个选项的得分,(1)若p=23，求(2)求X的概率分布列和数学期望；(3)证明:当且仅当0<p<1218.(17分)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a,b>0的离心率为72,P4,(1)求C的方程；(2)若PA⋅PB=36，求(3)证明:△PAB的外接圆的圆心Q19.(17分)已知函数fx(1)对任意0<s<t,fx≥fs(2)对任意b>0，函数gx=f(i)求a的取值范围;(ii)对于(i)中给定的a,证明:当x1−x2一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若z=2i+iA.1B.2C.5D.3【答案】C因为z=2i+i2=−12.设集合A={−2,1,a},BA.-1B.0C.1D.2【答案】B由题意,a≠1且a≠−2,当a=−1时,A∪B={−2,1,−1}含有3个元素,不符合;3.x−1A.−52B.−32【答案】Ax−12x6的展开式中常数项为4.已知两条直线m,n和平面α，则下列命题为真命题的是A.若m//n,mB.若m//α,nC.若m⊥α,mD.若m⊥n,m【答案】C对于A,n⊂α或n//α对于B,m,n的关系不确定,故对于D,m可绕n任意旋转,故n与α关系不确定,故D错误.故选C5.科学研究中经常涉及对粒子状态的分析.某假想粒子有状态1，状态2，状态3，……，每种状态的粒子经过1秒有两种可能:状态保持不变或变为更高一级状态,已知状态1的粒子有12概率变为状态2，状态2的粒子有13概率变为状态3，以此类推.现有若干状态1的该粒子，则经过3秒处于状态1和状态A.39%B.51%C.64%D.73%【答案】C由题意,经过3秒处于状态1和状态2的粒子数目约占12×16.若直线y=x+1上存在点A,圆x2+y−m2=2上存在点A.0B.2C.3D.4【答案】D不妨设Ax,y,因为AB=0,1,所以B=x,x+2,故B所以d=−m+22≤2,解得0≤7.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,A.1B.32C.33【答案】B因为sinB所以sinBcosC+cosB故△ABC的面积为S△ABC8.已知正数a,b满足2A.b<aC.2b<a【答案】A解法一因为a,b为正数,所以故由2a+3a=令fx=2x+3x,易见fx单调递增,则解法二因为a,b为正数,所以令fa=2a+3f所以fa在b,2b上有零点.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.下列说法正确的是A.若随机变量X∼N1,B.若事件A,B相互独立,则C.若样本数据x1,x2,…,xn的方差为D.用相关指数R2刻画回归效果，R2越接近【答案】ACD对于A,由正态分布的对称性,A正确;对于B,由题意PA又PAPB≥对于C,若样本数据x1,x2,…,xn的方差为S,则数据ax1+b,ax2+b10.已知函数fx=sinA.曲线y=fx与曲线B.曲线y=fx与曲线C.曲线y=f2x向左平移π3D.曲线y=f2x与曲线y=gx【答案】AC因为fx对于fx,令x−π3=kπ,得对称中心对于gx,令2x+π3=kπ,得对称中心故有相同的零点π3,0,所以A正确,对于C,f2x=2sin2xy=2sin2对于D,f2x=2sin2x−π3与y11.已知四棱锥P−ABCD的体积为12，四边形ABCD是平行四边形，Q为PA的中点，经过直线CQ的平面与侧棱PB,PD分别交于点M,NA.λ=μ时,AB//B.λ=12C.四面体PQBC的体积为3D.四棱锥P−MCNQ【答案】BCD因为PA+PC=PB+因为PM=λPB,PN因为C,M,N,A四点共面，故PC=1λ对于A,当λ=μ时,得λ=μ=23,若AB//平面CMN平面PAB∩平面CMQN=QM,所以AB//QM,故M显然不满足PM=23PB,故对于B,代入λ=12到1λ+对于C,因为VP−QBC=12对于D,因为V=1因为3λ+μ=λ+故D正确.故选BCD.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=1,−2,a+b=【答案】-1因为a+b=3,因为a⊥b,所以a⋅b=2−13.已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，直线x−2y+4=【答案】5联立y2=2pxx−所以Δ=−4p2−4此时y2−16y+16=y−42=14.已知函数fx=xx−22，对任意x∈0,【答案】32解法一由题意fm=mm−22≤m,因为m又f′故fx在0,23和2,+∞又f23=23若1≤m<3227时,此时fx∈0,3227,故fx≤m不恒成立,不满足题意;若2<m≤3，此时fx∈0,3227或fx∈0,fm，必满足fx解法二由题意fm=mm−22≤m,因为m又f′故fx在0,23和2,+∞又f23=23此时1∈0,m若3227≤m≤2,此时fx若2<m≤3，此时fx∈0,3227或fx∈0,fm，必满足fx四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)如图,已知△PAB是圆锥PO的轴截面,PA(1)求圆锥PO的外接球的表面积；(2)若C为弧AB的中点，求二面角C−PA【解】(1)方法一圆锥外接球半径即为△的外接圆半径,记为R.在△PABcos∠所以sin∠APB=42故2R=所以外接球O1的表面积为4πR方法二设OO因为PO=32−1因为O1A=h2+所以22−h=h故R=所以外接球O1的表面积为4πR(2)方法一因为C是弧AB的中点，所以OC⊥因为PO⊥平面ABC,且OC,AB⊂所以PO⊥所以OB,OC,OP建立如图所示的空间直角坐标系O−则C1所以AC=设平面PAC的法向量为n=则n取n=2因为平面PAB的一个法向量为OC=所以cos⟨n,设二面角C−PA−B由图可知θ为锐角,所以cosθ所以tanθ=324,即二面角C−方法二在平面PAC内过C作CH⊥PA,垂足为H,连接因为OC⊥且OB,OP⊂平面所以OC⊥平面PAB,7因为PA⊂平面PAB所以OC⊥因为PA⊥且CH,OC⊂平面所以PA⊥平面CHO所以OH⊥所以∠CHO为二面角C−PA−因为OC=所以tan∠CHO=OCOH=324,即二面角16.(15分)已知数列an各项均不为零,a(1)当t=1时，求an(2)若an>an+1【解】(1)当t=1时,故1an所以1a即an+3=−a所以数列an是周期为6的数列,4又an+故an的前50a1+(2)方法一由题意an≠0，故an因为a1所以a3=13t−1故正整数t满足t≥当t≥2时,所以1a从而1an即1an+2−1an+故最小正整数t的值为2.15分方法二由(1)知,t=1时,a6=a1,故当t=2时,因为an≠0,在an1an+2=所以1an是等差数列,因为a1=1,a2=所以1an=2n−1所以an故最小正整数t的值为2.15分17.(15分)某次考试的多项选择题，每题4个选项中正确选项有2个或3个，得分规则如下:若正确选项有2个,只选1个且为正确选项得3分,选2个且都为正确选项得6分,否则得0分;若正确选项有3个,只选1个且为正确选项得2分,选2个且都为正确选项得4分,选3个且都为正确选项得6分,否则得0分.学生甲对其中的一道多项选择题完全不会,该题恰有2个正确选项的概率为p0<p<1,记X为甲随机选择1个选项的得分,(1)若p=23，求(2)求X的概率分布列和数学期望；(3)证明:当且仅当0<p<12【解】(1)记事件A为“该题恰有2个正确选项”，事件B为“该题恰有3个正确选项”，事件C为“甲随机选择1个选项为正确选项”，则PA=23所以PX≥=23(2)随机变量X的所有可能取值为0,2,3,PP8分所以随机变量X的概率分布列如下:Y023P13p所以EX=(3)证明:随机变量Y的所有可能取值为0,4,6,PP所以EY=所以EX<EY当且仅当2−p>318.(17分)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a,b>0的离心率为72,P4,(1)求C的方程；(2)若PA⋅PB=36，求(3)证明:△PAB的外接圆的圆心Q【解】(1)记c2=a2+b设c=7k,a=2k,k因为点P4,3在C上,所以即a2所以双曲线C的方程为x24(2)不妨设直线l的方程为y=−x所以y=−x+t3所以Δ=−8t2−44t2+x1+PA⋅PB所以t2−14t+49=36,解得故所求直线l的方程为x+y(3)方法一由题意AP的中垂线为:y−y1+同理BP的中垂线y=−x联立y=−x1−4y1−3得x2即7−因为x2≠x==72又设圆心为Qx0,y0故x1所以x1所以2x故x0−y0=78x1+x2=故圆心Qx0,y0在直线方法二设圆心为Qx0,y0y故y0−即2y所以x1整理得2x同理2x即x1,x2是方程从而x1+所以7t=x0−y0若t=7,则此时直线l为y=−x+7若t≠7,则y0=−72t−1故圆心Qx0,y0在直线方法三不妨设圆Q的方程为:x2+y2−2x0x所以2x即该方程的两个根为x1,x2,又x1,故x1+由点P4,3在圆上,故