20.2.1 勾股定理的逆定理（课件）-人教版(2024)八下

人教版（新教材）数学八年级下册第二十章

勾股定理20.2.1勾股定理的逆定理1.理解并掌握勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形.(重点)2.探究勾股定理的逆定理的证明方法，感悟数形结合思想的应用.(难点)3.会认识并判断勾股数，由特殊到一般寻找勾股数规律.如果∠A+∠B=90°，那么△ABC

就是一个直角三角形，∠C

为直角.即有如下的直角三角形的判定方法：两个角互余的三角形是直角三角形.思考：如何判定一个三角形是直角三角形？除了根据角的关系判定，还能根据其他的关系判定吗？

由勾股定理可以知道，直角三角形的两条直角边长的平方和等于斜边长的平方，反过来，如果三角形的三边长满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方，那么这个三角形是不是直角三角形呢？ACBabc

如图给出了确定直角的一张方法：把一根长绳打上等距离的

13

个结，然后以

3个结间距，4个结间距，5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.这种做法真能得到一个直角三角形吗？34532+42=52

这个三角形三边有什么关系吗？一般地，满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方的三角形是不是直角三角形呢？观察：(1)下列各组数中两个数的平方和等于第三个数的平方，分别以这些数为边长(单位：cm)画三角形：

①2.5，6，6.5；

②4，7.5，8.5.(2)量一量：用量角器分别测量上述各三角形的度数.2.566.547.58.5(3)想一想：判断这些三角形的形状，提出猜想.

如果三角形的三边长

a，b，c满足

a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.猜想是直角三角形.△ABC≌△A′B′C′

∠C

是直角△ABC

是直角三角形A

B

C

abc构造两直角边分别为a，b

的

Rt△A′B′C′【证一证】已知：如图，△ABC的三边长

a，b，c，满足a2+b2=c2．求证：△ABC是直角三角形．探究点1：勾股定理的逆定理证明：作

Rt△A′B′C′，使

B′C′=a，A′C′=b，∠C′=90°.所以△ABC≌△A′B′C′(SSS).因此∠C=

∠C′=90°，

即△ABC是直角三角形.ACaBbc在△ABC

和△A′B′C′中根据勾股定理，A′B′2=B′C′2+A′C′2=a2+b2.因为

a2+b2=c2，所以

A′B′

=c

.ACaBbcBC=a=B′C′，AC=b=A′C′，AB=c=A′B′.

如果三角形的三边长

a，b，c满足

a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.ACBabc勾股定理的逆定理这是判定直角三角形的一个依据.形数例1

判断由线段

a，b，c组成的三角形是不是

直角三角形：(1)a=

15，b=8，c=17；(2)a=13，b=14，c=15.

分析：根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要判断两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.解：(1)因为

82+152

=64+225=289，172=289，

所以

152+82=172，(2)因为

142+132=196+169

=365，152=225，

所以

132+142≠

152.根据勾股定理的逆定理，由线段

a，b，c组成的三角形是直角三角形.根据勾股定理的逆定理，由线段

a，b，c组成的三角形不是直角三角形.(1)a=

15，b=8，c=17；(2)a=13，b=14，c=15.思维轴1找2算3判最长边算出两短边的平方和与最长边的平方判断等量关系最长边为斜边，其所对应的角为直角利用边的关系判断直角三角形【变式题1】若△ABC的三边

a，b，c满足

a∶b∶c=3∶4∶5，试判断

△ABC的形状.解：设

a=3k，b=4k，c=5k(k＞0)，∵(3k)2+(4k)2=25k2，(5k)2=25k2，∴(3k)2+(4k)2=(5k)2，∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角.归纳：已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形.【变式题2】(1)若△ABC

的三边

a，b，c，且

a+b=4，ab=1，c=，试说明△ABC是直角三角形.解：∵

a+b=4，ab=1，∴a2+b2=(a+b)2-

2ab=16-

2=14.又∵

c2=14，∴a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形.(2)若△ABC

的三边

a，b，c

满足

a2

+

b2

+

c2

+

50

=

6a

+

8b

+

10c.

试判断△ABC

的形状.解：∵

a2

+

b2

+

c2

+

50

=

6a

+

8b

+

10c，∴a2－6a

+9+b2－8b

+16+c2－10c

+25

=0.即

(a－3)²+(b－4)²+(c－5)²=0.∴

a

=3，b

=4，c

=5.∴

a2

+

b2

=c2.∴△ABC是直角三角形.

如果三角形的三边长

a，b，c满足

a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.满足

a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.常见勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.勾股数拓展性质：

一组勾股数，都扩大相同倍数

k

(k

为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.如：3，4，56，8，10扩大

2

倍

【练一练】1.下列各组数是勾股数的是(

)

A.6，8，10B.7，8，9C.0.3，0.4，0.5D.52，122，132A方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最大数的平方是否等于其他两数的平方和即可.返回1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是(

)A．a∶b∶c＝5∶12∶13B．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5C．a＝9k，b＝40k，c＝41k(k>0)D．a＝32，b＝42，c＝52D返回【点易错】已知三角形三边的长，常常借助勾股定理的逆定理来探究三角形是不是直角三角形．在利用公式a2＋

b2＝c2时，一定要注意c是最大边，即∠C＝90°.【答案】D返回3．[2025西安雁塔区月考]如图，在由小正方形组成的3×2网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，M，N均在格点上，点A，B，C，D中能与点M，N构成一个直角三角形的是(

)A．点A

B．点B

C．点C

D．点DD返回4．[2025扬州]清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为____________．11，60，61返回5．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，BD＝2，则∠ACB＝________．90°6．如图，把一块△ABC土地划出一个△ACD后，测得CD＝3m，AD＝4m，BC＝12m，AB＝13m，其中∠ACB＝90°．(1)判断△ACD的形状，并说明理由；【解】△ACD是直角三角形．理由：∵∠ACB＝90°，BC＝12m，AB＝13m，∴由勾股定理得AC＝5

m.又∵CD＝3m，AD＝4m，∴AD2＋CD2＝25＝AC2.∴△ACD是直角三角形，且∠ADC＝90°.(2)求图中阴影部分的面积．返回【点方法】将求四边形面积的问题可转化为求两个直角三角形面积的和或差的问题，解题时要利用题目信息构造出直角三角形，如角度、三边长度等．返回7．如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边的长分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是(

)C8．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，BC边上的中线AD＝4，则△ABC的面积为(

)A．30B．24C．20D．48返回【答案】B9．如图是3×2的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，顶点称为格点．线段AB，CD的端点均在格点上，且交于点O，则∠BOD的度数为(

)A．30°B．45°C．50°D．60°返回【点拨】如图，取格点E，连接AE，BE，易知AE∥CD，∴∠BAE＝∠BOD.由勾股定理得AB2＝12＋22＝