第二十章 勾股定理【小结与复习】（课件）-人教版(2024)八下

人教版（新教材）数学八年级下册第二十章

勾股定理小结与复习1.如果直角三角形两直角边分别为

a，b，斜边为

c，那么a2

+b2=c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.在直角三角形中才可以运用2.勾股定理的应用条件一、勾股定理

3.

勾股定理表达式的常见变形：

a2＝c2－b2，b2＝c2－a2，

ABCcab二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长

a，b，c

满足a2+b2=c2

，那么这个三角形是直角三角形.满足

a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.2.勾股数ABCcab例1

在

Rt△ABC

中，∠ACB

=

90°，

CD⊥AB

于

D，AC

=

20，BC

=

15.(1)求

AB

的长；

(2)求

BD

的长．解：(1)∵

在

Rt△ABC

中，∠ACB

=

90°，(2)方法一：∵

S△ABC

=

AC

•

BC

=AB

•

CD，∴

20×15

=

25CD，∴

CD

=

12．∴

在

Rt△BCD中，方法二：设

BD=x，则

AD=25-

x.解得

x=9.∴

BD=9.【方法总结】对于本题类似的模型，若已知两直角边求斜边上的高常需结合面积的两种表示方法来考查，若是同本题(2)中两直角三角形共一边的情况，还可利用勾股定理列方程求解.∵AC²－AD²＝CD²，BC²－BD²＝CD²，∴AC²－AD²＝BC²－BD².∴20²－(25－x)²＝15²－x²，即

50x＝450.1.Rt△ABC

中，斜边

BC

=

2，则

AB2

+

AC2

+BC2

的值为

（）

A.8B.4C.6D.无法计算A3.一直角三角形的三边分别为

2、3、x，那么以

x

为边长的正方形的面积为___________.2.如图，∠C

=∠ABD

=

90°，AC

=

4，BC

=

3，BD

=

12，则

AD

的长为____．13

或

513【练一练】4．已知

Rt△ABC

中，∠C

=

90°，若

a+

b

=

14

cm，

c

=

10

cm，求△ABC

的面积.解：∵

a

+

b

=

14，∴(a

+

b)2

=

196.又∵

a2+

b2=

c2=100，∴

2ab

=

196

-

(a2

+

b2)=

96.∴ab

=

24.∴△ABC

的面积为24．例2在

O

的某海防哨所发现在它的北偏东

60°

方向相距

1000

米的

A

处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干小时后快艇到达哨所东南方向的

B

处.(1)此时快艇航行了多少米？分析：将实际问题转化为几何问题已知：

OA

=

1000米，∠AOC=30°，∠COB=45°

，AB⊥OC.求解：

AB

的长.北东OAB60°45°C30°解：根据题意得∠AOC=30°，∠COB=45°，AO=1000米.∴AC=500米，BC=OC.在Rt△AOC中，由勾股定理得∴BC=OC=(米).北东OAB60°45°C已知：

OA

=

1000米，∠AOC=30°，∠COB=45°

，AB⊥OC.求解：

AB

的长.30°∴

AB

=AC+

BC=(米).(2)此时快艇距离哨所多少米？解：在Rt△BOC中，由勾股定理得北东OAB60°45°C分析：将实际问题转化为几何问题，即求

OB

的长.例3如图所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点

A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点

C1处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？解析：蚂蚁由

A

点沿长方体的表面爬行到

C1

点，有三种方式：①沿

ABB1A1

和

A1

B1C1D1

面；②沿

ABB1A1

和

BCC1B1面；③沿

AA1D1D

和

A1B1C1D1

面，把三种方式分别展成平面图形，如下：①②③解：①

在

Rt△ABC1中，②在

Rt△ACC1中，③在

Rt△AB1C1中，∴沿路径①走路径最短，最短路径长为5.①②③【方法总结】化折为直：长方体中求两点之间的最短距离，展开方法有多种，一般沿最长棱展开，距离最短.5.现有一长

5

米的梯子架靠在建筑物的墙上，它们的底部在地面的水平距离是

3

米，则梯子可以到达建筑物的高度是______米．4【练一练】在Rt△AOB中，OA＝2，OB＝DC＝1.4，∴AB2＝22－1.42＝2.04，解得

AB≈1.43.∴AC＝AB+BC≈1.43+2.6＝4.03＞4．答：卡车可以通过，但要小心．解：过半圆的圆心

O，作直径的垂线交地面于点

D，在地面取点

C，使

CD＝1.4

米，过

C

作

OD

的平行线交半圆直径于点

B

，交半圆于点

A，连接

OA.6.如图，某住宅小区在相邻两楼之间修建一个上方是半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽2.8米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？例4

在△ABC中，AB

=

c，BC

=

a，AC=b，

，2c

-

b

=

12，求△ABC

的面积．解：由题意可设

a

=

3k，则

b

=

4k，c

=

5k，∵

2c

-

b

=

12，∴

10k

-

4k

=

12，∴k

=

2，∴

a

=

6，b

=

8，c

=

10，∵

62

+

82

=

102，∴

a2

+

b2

=

c2，∴△ABC

为直角三角形，∴△ABC

的面积为×6×8=24．例5B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°

方向以每小时8nmile的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15nmile的速度前进，2h后，甲船到

M岛，乙船到

P岛，两岛相距34nmile，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？解：甲船航行的距离为

BM=16（nmile），乙船航行的距离为

BP=30（nmile）．∵162+302=1156，342=1156，∴BM2+BP2=MP2，∴△MBP为直角三角形，∴∠MBP=90°

，∴乙船是沿着南偏东30°

方向航行的．7.下列各组数中，是勾股数的为（）A．1，2，3 B．4，5，6 C．3，4，5 D．7，8，98.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点上，可以判定三角形是直角三角形的有________．

(2)(4)

C【练一练】9.如图，在四边形

ABCD

中，AB

=

20

cm，BC

=

15

cm，CD

=

7

cm，AD

=

24

cm，∠ABC

=

90°．猜想∠BAD与∠BCD的关系，并加以证明．解：猜想∠BAD+

∠BCD=

180°．证明如下：连接AC.在

Rt△ABC

中，由勾股定理得

∴AD2

+

DC2

=

625

=

252

=

AC2．∴△ADC

是直角三角形，且∠D

=

90°．∵∠DAC+∠D

+∠DCA+∠CAB+∠B+∠ACB=180°×2，∴∠BAD+∠BCD=180°．例6如图，在长方形

ABCD

中，AB

=

3

cm，AD

=

9

cm，将此长方形折叠，使点

D

与点

B

重合，折痕为

EF，求

△ABE

的面积.解：由折叠可知

ED

=

BE.设

AE

=

x

cm，则

ED

=

BE

=(9

-

x)cm．在

Rt△ABE

中，AB2

+

AE2

=

BE2，∴

32

+

x2

=(9

-

x)2，解得

x

=

4.∴

△ABE

的面积为

×3×4

=

6(cm2).【方法总结】勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边的问题；如果只知一边和另两边的关系时，往往要通过勾股定理列方程去求解．10.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边

AC＝6cm，BC＝8cm，将

△ABC折叠，使点

B与点

A重合，折痕是

DE，则

CD的长为

cm．

1.75【练一练】【方程思想】

例7如图，在

△ABC

中，AB

=

17，BC

=

9，AC

=

10，AD⊥BC于

D.试求

△ABC

的面积．解：在

Rt△ABD

和

Rt△ACD

中，AB2

-

BD2

=

AD2，AC2

-

CD2

=

AD2．设

DC

=

x，则

BD

=

9

+

x．故

172

-(9

+

x)2

=

102

-

x2，解得

x

=

6.∴AD2=AC2

−

CD2=64．∴AD

=

8.∴S△ABC

=×9×8

=

36．解：当高AD在△ABC内部时，如图①.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，∴BD＝16.在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25，∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60.例8

在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长．【分类讨论思想】

【方法总结】题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高

AD

在△ABC

内的情形，忽视高

AD

在△ABC

外的情形．当高

AD

在△ABC

外部时，如图②.同理可得BD＝16，CD＝9.∴BC＝BD－CD＝7，∴△ABC的周长为

7＋20＋15＝42.综上所述，△ABC的周长为

42

或

60.

例9

有一圆柱体高为

8

cm，底面圆的半径为2

cm，如

图

在

AA1

上的点

Q

处有一只蜘蛛，QA1

=

3

cm，在

BB1

上的点

P

处有粘住了一只苍蝇，PB

=

2

cm.求蜘蛛爬到苍蝇处的最短路径长(π

取

3).解：如图，沿AA1剪开，过Q作QM⊥BB1于M，连接QP.则

PM

=

8

-

3

-

2

=

3(cm)，QM

=

A1B1

=

×2×π×2=

6(cm)．在

Rt△QMP

中，由勾股定理得答：蜘蛛爬行的最短路径长是

cm．【转化思想】

返回1．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题．对这个问题稍作改编，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＋AC＝9，BC＝3，则AC的长为________．4返回2．[2025东营]如图所示，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，……按照此规律继续下去，则S2025的值为________．3．如图①是浙江某高科技公司生产的一款高清球机，它能进行360°全方位监控与拍摄，夜间的监控距离为150m．图②中，射线OM，ON是两条相交的公路，∠MON＝30°，将图①的球机安装在公路ON上的A处，OA＝240m．求该球机夜间在公路OM上所能监控到的部分的长度．返回返回4．如图，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝4，BD＝7，DC＝9，则∠DBA＝________．45°返回A6．2025年是“全运年”，第十五届全运会于2025年11月9日至21日在粤港澳大湾区举行，健身运动的热潮也席卷全国，更多的人开始运动健身．小亮坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从A点到D点有两条路线，分别是A→B→D和A→C→D．已知AB＝160m，AC＝200m，点C在点B的正东方120m处，点D在点C的正北方50m处．(1)试判断AB与BC的位置关系，并说明理由；【解】AB⊥BC.理由如下：由题知AB＝160m，AC＝200m，点C在点B的正东方120m处，即BC＝120m.∵AB2＋BC2＝1602＋1202＝2002＝AC2，∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°.∴AB⊥BC.(2)如果小亮沿着A→C→D的路线跑，爸爸沿着A→B→D的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短．返回【点方法】利用勾股定理的逆定理可以判断一个三角形是否为直角三角形，所以此定理也是判定垂直关系的一个重要的方法．7．法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如x2＋y2＝z2的方程，显然，这个方程有无数组解．我们把满足该方程的正整数解(x，y，z)称为勾股数．如(3，4，5)就是一组勾股数．(1)请你再写出两组勾股数：__________，___________；(6，8，10)(9，12，15)(答案不唯一)返回(2)在研究直角三角形的勾股数时，古希腊哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x＝2n，y＝n2－1，z＝n2＋1，那么以x，y，z为三边的三角形为直角三角形(即x，y，z为勾股数)，请你加以说明．【解】∵x2＋y2＝(2n)