20.2.2 勾股定理的逆定理的应用（课件）-人教版(2024)八下

人教版（新教材）数学八年级下册第二十章

勾股定理20.2.2勾股定理的逆定理的应用1.理解勾股定理与其逆定理的区别和联系.2.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题，培养应用数学的意识.(重点)3.割补思想、转化思想和数形结合思想的应用.

(难点)A

B

C

abc勾股定理：在

Rt△ABC

中，若∠C=90°，则___________勾股定理的逆定理：回顾所学，并完成下列框图.互逆定理a2

+b2=c2在

△ABC中，若

a2

+b2=c2，则△ABC

为直角三角形且∠C=90°.

在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而常需要使用一些数学知识和方法，其中勾股定理的逆定理经常会被用到，这节课让我们一起来学习吧.12

例1

如图，港口

P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行

16nmile，“海天”号每小时航行

12nmile.

它们离开港口1.5h后分别位于点

Q，R

处，且相距

30nmile.

如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行吗？NEP

QR12NEP

QR实际问题：“海天”号沿哪个方向航行？16×1.5=2412×1.5=1830241830“远航”号沿东北方向∠1=45°抽象成数学问题解决实际问题12NEP

QR几何问题：知______________，求______________PQ,PR,QR

的长∠2

的度数利用勾股定理逆定理求度数解：根据题意，PQ

=

16×1.5

=

24，PR

=

12×1.5

=

18，QR

=

30.12NEP

QR由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1

=

45°.

因此∠2

=

45°，即“海天”号沿西北方向航行.所以∠QPR

=

90°.因为

242

+

182

=

302，即

PQ2

+

PR2

=

QR2，归纳总结：解决实际问题的步骤：①构建几何模型（从整体到局部）；②标注有用信息，明确已知和所求；③应用数学知识求解.【变式题】

如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？东北PABCQD分析：根据勾股定理的逆定可得△ABC

是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面积公式可求

PD，然后再利用勾股定理便可求

CD.解：∵

AC

=

10，AB

=

6，BC

=

8，∴

AC2

=

AB2

+

BC2，即△ABC

是直角三角形.设

PQ

与

AC

相交于点

D，根据三角形面积公式有

BC

·

AB

=

AC

·

BD，即

6×8

=

10BD，解得

BD

=在Rt△BCD

中，东北PABCQD又∵

该船只的速度为

12.8

海里/时，6.4÷12.8

=

0.5(小时)=

30(分钟)，∴

需要30分钟进入我领海，即最早晚上

10

时

58

分进入我领海.问题：勾股定理与其逆定理的区别和联系是什么？区别联系(1)勾股定理是已知直角三角形，得出三边之间的关系；勾股定理的逆定理是已知三角形的三边关系，得出直角三角形.(2)勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理.勾股定理及其逆定理都与直角三角形有关.例2

如图，在四边形

ABCD

中，AB＝5，BC＝3，AD＝

，DC＝.如果

AC⊥BC，判断

AC与AD

是否也垂直，并说明理由.分析：若能求出

AC的长，就可以根据勾股定理或其逆定理判断△ACD

是不是直角三角形，从而判断

AC

是否垂直于

AD.ABCD解：因为

AC⊥BC，所以∠ACB＝90°.在

Rt△ABC

中，根据勾股定理，AC²＝AB²－BC²＝5²－3²＝16.所以

AC＝4.在△ACD

中，所以

AC²＋AD²＝CD².因此△ACD

是直角三角形，即AC⊥AD.ABCD【练一练】

1.如图，在四边形

ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30cm2，DC＝12cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求△ABC的面积.解:∵S△ACD=30cm2，DC＝12cm.∴AC=5cm.又∵∴△ABC是直角三角形，∠B是直角.∴DCBA2.如图是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8m，AD＝

BC＝6m，AC＝9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？解：∵

AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，∴AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100.又∵

AC2＝92＝81，∴

AB2＋BC2≠AC2.∴∠ABC≠90°，∴该农民挖的不合格．【练一练】解：(1)

证明：∵

CD

=

1，BC＝

，BD

=

2，∴

CD2

+

BD2

=

BC2，∴△BDC

是直角三角形.(2)设腰长

AB

=

AC

=

x，在

Rt△ADB

中，∵

AB2

=

AD2

+

BD2，∴

x2

=(x

-

1)2

+

22，解得用到了方程的思想【练一练】3.

如图，△ABC

中，AB

=

AC，D

是

AC

边上的一点，CD

=

1，BC＝

，BD

=

2．(1)求证：△BCD

是直角三角形；(2)求△ABC

的面积．∴S△ADB

=

ABCD返回1．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于A，B处，且相距20海里，已知甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船的航行方向是(

)A．北偏东50° B．北偏东45°C．南偏东50° D．南偏东60°A2．[2025淄博期中]如图，学校在校园围墙边缘开垦了一块四边形菜地ABCD，测得AB＝9m，BC＝12m，CD＝8m，AD＝17m，且∠ABC＝90°，则这块菜地的面积是(

)A．48m2

B．114m2

C．122m2

D．158m2返回【答案】B3．如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是(

)A．AB2＝20B．∠BAC＝90°C．△ABC的面积为10D．点A到直线BC的距离是2返回【答案】C返回4．在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是________．5．如图，某小区的两个喷泉A，B之间的距离为250m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120m，BM的长为150m，则喷泉B到小路AC的最短距离为(

)A．90m B．120mC