20.3 勾股定理逆定理（同步练习）（解析版）-人教版(2024)八下

专题20.3勾股定理逆定理教学目标掌握勾股定理的逆定理内容，能够熟练地运用它来判断直角三角形以及在相关问题中运用；掌握勾股数并能够判断勾股数并能够熟练应用勾股数。教学重难点重点勾股定理逆定理；勾股数；2.难点（1）勾股定理逆定理的相关运用；（2）勾股数的证明。知识点01勾股定理逆定理勾股定理逆定理内容：在△ABC中，如果三角形的三边分别是且满足a2+b2=勾股定理的逆定理用于判断一个三角形是不是直角三角形。直角三角形的判定①勾股定理逆定理②三角形中有一个角是90°。③三角形中有两个角之和为90°。【即学即练1】1．以下列各组数为边长，能够组成直角三角形的是（）A．3，4，5 B．2，3，4 C．5，12，13 D．8【答案】C【解答】解：∵（3）2+（4）2＝7，（5）2＝5，∴3，4，5不能组成直角三角形，故A不符合题意；∵22+32≠42，∴2，3，4不能组成直角三角形，故B不符合题意；∵52+122＝132，∴5，12，13可以组成直角三角形，故C符合题意；∵82+132≠172，∴8，13，17不能组成直角三角形，故D不符合题意．故选：C．【即学即练2】2．若△ABC的三边分别是a，b，c，则下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．∠A＝∠B+∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．a＝5，b＝12，c＝13 D．a＝1，b=2【答案】B【解答】解：A、∵∠A＝∠B+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠A＝180°，则∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形，不符合题意；B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴设∠A＝3k，∠B＝4k，∠C＝5k，则3k+4k+5k＝12k＝180°，解得k＝15°，∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，∴△ABC不是直角三角形，符合题意；C、∵52+122＝25+144＝169，132＝169，∴52+122＝132，∴△ABC是直角三角形，不符合题意；D、∵12+(∴12∴△ABC是直角三角形，不符合题意，故选：B．【即学即练3】3．已知a，b，c是三角形的三边，如果满足（a﹣3）2+b-4+|c﹣A．底与腰部相等的等腰三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形【答案】D【解答】解：由题意得，a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0，解得a＝3，b＝4，c＝5，∵32+42＝9+16＝25＝52，∴a2+b2＝c2，∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形．故选：D．【即学即练4】4．如图，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13，连接AC．（1）判断△ACD的形状并说明理由；（2）计算四边形ABCD的面积．【答案】（1）△ACD是直角三角形．理由见解答；（2）24．【解答】解：（1）△ACD是直角三角形．理由如下：连接AC，∵AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，由勾股定理，得AC=AB∵AD＝13，CD＝12，∴AC2+CD2＝25+144＝169，AD2＝169，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形；（2）在Rt△ABC中，S△ABC=12BC•AB=12×3在Rt△ADC中，S△ADC=12CD•AC=12×12∴S四边形ABCD＝S△ADC﹣S△ABC＝30﹣6＝24．【即学即练5】5．如图，某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离AB的长为250m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120m，BM的长为150m．（1）求供水点M到喷泉A需要铺设管道MA的长；（2）BM的长是喷泉B到小路AC上各处的最短距离吗？请说明理由．【答案】（1）200m；（2）见解答．【解答】解：（1）∵在△ABM中，MN⊥AB，∴∠ANM＝∠BNM＝90°（垂直的定义），在Rt△MNB中，BN=∴AN＝250﹣90＝160（m），在Rt△AMN中，AM=答：供水点M到喷泉A需要铺设的管道AM的长为200m；（2）BM的长是喷泉B到小路AC上各处的最短的距离，理由如下：BM的长是喷泉B到小路AC上各处的最短的距离，∵AB＝250m，AM＝200m，BM＝150m，∴根据勾股定理得，BM2+AM2＝2002+1502＝40000+22500＝62500，AB2＝2502＝62500，∴BM2+AM2＝AB2（等量代换），∴△ABM是直角三角形，∴∠AMB＝90°，∴BM⊥AC，∴BM的长是喷泉B到小路AC上各处的最短距离．知识点03勾股数勾股数的定义：满足勾股定理（即）的三个正整数称为勾股数。注意：①一定要满足勾股定理；②一定要是正整数。常见的勾股数类型：基本勾股数：（3，4，5）（6，8，10）①倍数型勾股数：②奇数规律：满足的三个正整数。（为奇数）③偶数规律：满足的三个正整数。（为偶数）【即学即练1】6．下列各组数中，属于勾股数的是（）A．32，42，52 B．5，12，13 C．3，4，5 D．1【答案】B【解答】解：A、32＝9，42＝16，52＝25，∵92+162＝81+256＝337≠625＝252，∴不是勾股数，不符合题意；B、∵52+122＝25+144＝169＝132，∴是勾股数，符合题意；C、3，4，5非全部正整数，故不是勾股数，不符合题意；D、由13，14，故选：B．【即学即练2】7．一个直角三角形的两边长分别是3和4，且三边长构成一组勾股数，则第三边长为（）A．5 B．7 C．5或7 D．12【答案】一个．【解答】解：①若3和4为直角边，则斜边为32+4②若4为斜边，则另一条直角边为42-3∴直角三角形的第三边长为5，故选：A．【即学即练3】8．如果满足等式a2+b2＝c2的a，b，c是三个正整数，我们称a，b，c为勾股数．（1）已知m，n，k是正整数且m＞n，证明：a＝2mn，b＝m2﹣n2，c＝m2+n2是勾股数．（2）请写出任意一组含有68的“勾股数”：68，285，293（答案不唯一）．【答案】见解答；（2）68，285，293（答案不唯一）．【解答】（1）证明：a2+b2＝（2mn）2+（m2﹣n2）＝4m2n2+m4﹣2m2n2+n4＝m4+2m2n2+n4，c2＝（m2+n2）＝m4+2m2n2+n4，则a2+b2＝c2，∵m，n是正整数，m＞n，∴a＝2mn，b＝m2﹣n2，c＝m2+n2是勾股数；（2）解：2mn＝68，则mn＝34，当m＝17，n＝2时，m2﹣n2＝172﹣22＝285，m2+n2＝172+22＝293，∴68，285，293是一组含有68的“勾股数”，故答案为：68，285，293（答案不唯一）．题型01判断构成直角三角形的线段【典例1】以下列数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A．3，2，5 B．1，3，2 C．3，6，7 D【答案】B【解答】解：根据勾股定理的逆定理得，A、∵(3∴长为3，2，5的三边不可以组成直角三角形，所以此选项错误，不符合题意；B、∵12∴长为1，3，2的三边可以组成直角三角形，所以此选项正确，符合题意；C、∵32+62＝9+36＝45≠72＝49，∴长为3，6，7的三边不可以组成直角三角形，所以此选项错误，不符合题意；D、∵62+92＝36+81＝117≠122＝144，∴长为6，9，12的三边不可以组成直角三角形，所以此选项错误，不符合题意；故选：B．【变式1】以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（）A．5，12，13 B．1，2，5 C．1，3，2 D．4，5，6【答案】D【解答】解：A、∵52+122＝132，∴能构成直角三角形，故本选项错误；B、∵12+22＝（5）2，∴能构成直角三角形，故本选项错误；C、∵12+（3）2＝22，∴能构成直角三角形，故本选项错误；D、∵52+42≠62，∴不能构成直角三角形，故本选项正确．故选：D．【变式2】以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）A．3，4，5 B．3，4，5 C．32，42，52【答案】A【解答】解：A、∵32+42＝52，∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故选项正确；B、∵（3）2+（4）2≠（5）2，∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故选项错误；C、∵（32）2+（42）2≠（52）2，∴以这三个数为长度的线段，能构成直角三角形，故选项正确；D、∵（14）2+（15）2≠（13故选：A．题型02判定直角三角形【典例1】已知a，b，c为△ABC的三边长，下列条件中不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．a：b：c＝1：2：3 D．a2﹣b2＝c2【答案】C【解答】解：A、∠A+∠B＝∠C，此时∠C是直角，能判定△ABC是直角三角形；B、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么∠A＝30°、∠B＝60°、∠C＝90°，能判定△ABC是直角三角形；C、12+22≠32，不符合勾股定理的逆定理，不能够判定△ABC为直角三角形；D、a2﹣b2＝c2，则b2+c2＝a2，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC为直角三角形．故选：C．【变式1】满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．AB：BC：AC＝1：1：2 C．AB＝0.5cm，BC＝1.2cm，AC＝1.3cm D．∠A＝38°，∠C＝52°【答案】A【解答】解：A、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，则△ABC不是直角三角形，符合题意；B、设AB＝x，则BC＝x，AC=2x∵x2+x2＝（2x）2，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，不符合题意；C、AB2+BC2＝0.52+1.22＝1.69，AC2＝1.32＝1.69，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，不符合题意；D、∵∠A+∠C＝38°+52°＝90°，∴△ABC是直角三角形，不符合题意；故选：A．【变式2】在△ABC中，分别给出下列条件，不能判定是直角三角形的是（）【提示：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c】A．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．在△ABC中，∠A+∠B＝∠C C．在△ABC中，（a﹣b）（a+b）＝c2 D．在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5【答案】A【解答】解：A．设∠A＝3x，∠B＝4x，∠C＝5x，则3x+4x+5x＝180°，解得x＝15°，∴∠C＝75°，∴△ABC不是直角三角形，符合题意；B．∵∠A+∠B＝∠C，∴2∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，不符合题意；C．（a﹣b）（a+b）＝c2，∴a2＝c2+b2，∴△ABC是直角三角形，不符合题意；D．∵a＝3，b＝4，c＝5，∴c2＝a2+b2，∴△ABC是直角三角形，不符合题意．故选：A．题型03判断三角形的形状【典例1】已知a、b、c是△ABC的三边长，它们满足(aA．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【解答】解：根据算术平方根的非负性、偶次方的非负性、绝对值的非负性可知：a﹣10＝0，b﹣24＝0，c﹣26＝0，∴a＝10，b＝24，c＝26，∵a2+b2＝102+242＝676，c2＝262＝676，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，故选：B．【变式1】已知实数a，b，c满足(a（1）求实数a，b，c的值．（2）以a，b，c为边能否构成直角三角形？请说明理由．【答案】（1）a=（2）能构成直角三角形，理由如下见解答．【解答】解：（1）由题意得，a-∴a=（2）以a，b，c为边能构成直角三角形，理由如下：∵a=∴a2∴a2+c2＝b2，∴以a，b，c为边能构成直角三角形．【变式2】已知a+6的算术平方根是32，b﹣4的平方根是±3，﹣27的立方根是2﹣c（1）求a，b，c的值．（2）判断以a，b，c为边长的三角形的形状，并说明理由．【答案】（1）a＝12，b＝13，c＝5；（2）直角三角形．理由：由（1）知，a＝12，b＝13，c＝5，∵52+122＝132，∴以a，b，c为边长的三角形是直角三角形．【解答】解：（1）∵a+6的算术平方根是32，b﹣4的平方根是±3，﹣27的立方根是2﹣c∴a+6＝（32）2＝18，b﹣4＝（±3）2＝9，2﹣c=3-∴a＝12，b＝13，c＝5；（2）直角三角形．理由：由（1）知，a＝12，b＝13，c＝5，∵52+122＝132，∴以a，b，c为边长的三角形是直角三角形．题型04判断勾股数及其求值或证明【典例1】下列各组数是勾股数的是（）A．7，24，25 B．0.3，0.4，0.5 C．1.5，2，2.5 D．5，11，12【答案】A【解答】解：A选项，72+242＝625＝252，7，24，25是勾股数；B选项，三个数都不是正整数，0.3，0.4，0.5不是勾股数；C选项，1.5和2.5不是正整数，1.5，2，2.5不是勾股数；D选项，52+112＝146≠122，5，11，12不是勾股数；故选：A．【变式1】下列各组数中，是勾股数的一组是（）A．7，8，9 B．1，1，2 C．9，12，15 D．2，3，4【答案】C【解答】解：A、72+82≠92，不是勾股数，不符合题意；B、12+12≠22，不是勾股数，不符合题意；C、92+122＝152，是勾股数，符合题意；D、22+32≠42，不是勾股数，不符合题意，故选：C．【变式2】若n、8、10是一组勾股数，则n的值是（）A．2 B．6 C．8 D．10【答案】B【解答】解：∵n、8、10是一组勾股数，∴n2+82＝102或n2＝82+102，解得：n＝±6或n＝±241，∵n是正整数，∴n＝6，故选：B．【变式3】若5，a，12是一组勾股数，则a的值为（）A．13 B．119 C．119或13 D．11【答案】A【解答】解：分两种情况讨论：①a为最长边，a=52+12②12为最长边，a=1故选：A．【变式4】（1）我们知道像3，4，5这样三个整数是一组勾股数，那么3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数吗？请说明理由；（2）如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？请说明理由．（3）如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，请说明a，b，c为勾股数．【答案】见解答．【解答】解：（1）是勾股数，理由：∵3k，4k，5k（k是正整数），∴（3k）2+（4k）2＝9k2+16k2＝25k2＝（5k）2，∴3k，4k，5k是一组勾股数；（2）是勾股数，理由：∵a，b，c是一组勾股数，∴a2+b2＝c2，∴ak，bk，ck（k是正整数）也是一组正整数，∴k2a2+k2b2＝k2c2，∴（ak）2+（bk）2＝（ck）2，∴ak，bk，ck（k是正整数）也是一组勾股数；（3）是勾股数，理由：∵m表示大于1的整数，∴由a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1得到a、b、c均为正整数；又∵a2+b2＝（2m）2+（m2﹣1）2＝4m2+m4﹣2m2+1＝m4+2m2+1，而c2＝（m2+1）2＝m4+2m2+1，∴a2+b2＝c2，∴a、b、c为勾股数．题型05勾股定理逆定理的应用【典例1】如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB=BC=2，CD=5，（1）求AC的长度；（2）求∠DAB的度数．【答案】（1）2；（2）135°．【解答】解：（1）∵∠B＝90°，AB=∴AC=则AC的长度为2；（2）∵CD=5，DA＝∵AC＝2，∴根据勾股定理，DA2+AC2＝DC2，∴△DAC为直角三角形，即∠DAC＝90°，∵∠B＝90°，AB=∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，∴∠DAB＝90°+45°＝135°．【变式1】如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且网格中每个小正方形的边长都为1．（1）求四边形ABCD的周长；（2）求∠BAD的度数．【答案】（1）52+35+（2）∠BAD＝45°．【解答】解：（1）根据勾股定理得：AB=72+BC=42+CD=2AD=32∴AB+BC+CD+AD＝52+25+5+5＝52（2）连接BD，根据勾股定理得：BD=32∵AB＝52，AD＝5，∴BD2+AD2＝52+52＝50＝AB2，AD＝BD，∴△ABD是等腰直角三角形，∴∠BAD＝45°．【变式2】如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离AB＝20米，点A与地面上点C（点B，C处于同一水平面上）的距离AC＝25米，且BC＝15米．（1）求∠ABC的度数；（2）现这架无人机沿AB所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边AC的垂直平分线上，连接CD，求这架无人机向下飞行的距离（AD的长）．【答案】这架无人机向下飞行的距离（AD的长）为1258【解答】解：（1）∵AB2+BC2＝202+152＝625，AC2＝252＝625，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°；（2）设AD＝x米，若点D恰好在边AC的垂直平分线上，则CD＝AD＝x米，BD＝（20﹣x）米，在Rt△BDC中，DC2＝BD2+BC2，∴x2＝（20﹣x）2+152，解得x=125答：这架无人机向下飞行的距离（AD的长）为12581．以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6【答案】C【解答】解：A、因为12+22≠32，所以不能构成直角三角形；B、因为22+32≠42，所以不能构成直角三角形；C、因为32+42＝52，所以能构成直角三角形；D、因为42+52≠62，所以不能构成直角三角形．故选：C．2．下列各组数中，是勾股数的是（）A．0.3，0.4，0.5 B．10，15，18 C．13，14，15 D．6，【答案】D【解答】解：A、0.3，0.4，0.5不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；B、102+152≠182，不是勾股数，故此选项不合题意；C、13，14，D、62+82＝102，且都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意；故选：D．3．下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．a2﹣b2＝c2 D．a：b：c＝3：4：6【答案】D【解答】解：A、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C＝180°∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，不符合题意；B、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，设∠A＝k，∠B＝2k，∠C＝3k，则k+2k+3k＝6k＝180°∴k＝30°∴∠C＝90°∴△ABC是直角三角形，不符合题意；C、∵a2﹣b2＝c2，∴a2＝b2+c2，∴△ABC是直角三角形，不符合题意；D、∵a：b：c＝3：4：6，设a＝3k，b＝4k，c＝6k，则a2+b2＝9k2+16k2＝25k2，c2＝36k2∵a2+b2≠c2∴△ABC不是直角三角形，符合题意，故选：D．4．如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3cm至点D，则橡皮筋被拉长了（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm【答案】A【解答】解：Rt△ACD中，AC=12AB＝4cm，CD＝3根据勾股定理，得：AD=AC2+∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2（cm）；故橡皮筋被拉长了2cm．故选：A．5．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，列出的正确方程为（）A．x2+62＝102 B．（10﹣x）2+62＝x2 C．x2+62＝（10﹣x）2 D．（10﹣x）2+x2＝62【答案】C【解答】解：由图可得，x2+62＝（10﹣x）2，故选：C．6．平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺．一阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面．此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移动了4尺．由此可知水池的深度是（）A．7尺 B．152尺 C．8尺 D．17【答案】B【解答】解：设水池的深度为h尺，则h2+42＝（h+1）2，h2+16＝h2+1+2h，解得：h=故选：B．7．已知△ABC三边长分别为a，b，c，且满足a-1+|A．以c为斜边长的直角三角形 B．以b为斜边长的直角三角形 C．以a为斜边长的直角三角形 D．等腰三角形【答案】A【解答】解：由题意得，a﹣1＝0，b-2=0∴a＝1，b=2，∴a2∴△ABC是以c为斜边长的直角三角形，故选：A．8．如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳OA与地面垂直，摆绳长2m，向前荡起到最高点B处时距地面高度1.3m，摆动水平距离BD为1.6m，然后向后摆到最高点C处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且OB与OC成90°角，则小丽在C处时距离地面的高度是（）A．0.9m B．1.3m C．1.6m D．2m【答案】A【解答】解：如图，过点C作CE⊥OA于点E，则∠OEC＝90°，∵∠BOC＝90°，∴∠BOD+∠COE＝90°，由题意可知，OB＝CO，OA＝OB＝OC＝2m，BD＝1.6m，DF＝1.3m，BD⊥OA，∴∠BDO＝90°，∴OD=OB2-∴OF＝OD+DF＝1.2+1.3＝2.5（m），∵∠BDO＝∠OEC＝90°，∴∠BOD+∠OBD＝90°，∴∠COE＝∠OBD，在△OBD和△COE中，∠BDO∴△OBD≌△COE（AAS），∴OE＝BD＝1.6m，∴EF＝OF﹣OE＝2.5﹣1.6＝0.9（m），即小丽在C处时距离地面的高度是0.9m，故选：A．9．小惠同学用25个等距离的结把一根绳子分成等长的24段，她同时握住第1个结和第25个结，小淇同学握住第7个结，这时小婷同学应该握住第（）个结，拉紧绳子后才会得到一个以第7个结为直角顶点的直角三角形．A．13 B．14 C．15 D．16【答案】C【解答】解：∵小淇同学握住第7个结，∴小惠和小淇之间有6个单位长度，∵6，8，10是一组勾股数，且6+8+10＝24，∴小婷同学应该握住第15个结，拉紧绳子后才会得到一个以第7个结为直角顶点的直角三角形，故选：C．10．在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中：a68101214…b815243548…c1017263750…则当a＝18时，b+c的值为（）A．242 B．200 C．128 D．162【答案】D【解答】解：根据表格中数据可得：a2+b2＝c2，并且c＝b+2，则a2+b2＝（b+2）2，当a＝18时，182+b2＝（b+2）2，解得：b＝80，则c＝80+2＝82，则b+c＝162．故选：D．11．如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边AB和BC的长分别为2.4m和1m，又测得点A与点C间的距离为2.6m，则小红家的木门没有变形（填“已变形”或“没有变形”）．【答案】没有变形．【解答】解：∵AB2+BC2＝2.42+12＝6.76＝2.62＝AC2，∴∠ABC＝90°，则小红家的木门没有变形，故答案为：没有变形．12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，AC＝3，点I为Rt△ABC三条角平分线的交点，则点I到边AB的距离为1．【答案】1【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，CA＝3，AB＝5，∵点I为△ABC的三条角平分线的交点，∴IE＝IF＝ID，设IE＝x，∵S△ABC＝S△IAB+S△IAC+S△ICB，∴12×4×3=12IF×5+12IE×∴5x+3x+4x＝12，∴x＝1，∴点I到AB的距离等于1．故答案为：113．勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…分析上面规律，第4个勾股数组为（9，40，41）．【答案】（9，40，41）．【解答】解：根据图中给出的数据可得：由4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…第四个为4×（9+1）＝40，∴第4组中间的数为4×（9+1）＝40．故答案为：（9，40，41）．14．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t＝32或125s时，△【答案】32或【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝6cm，∠A＝∠B＝∠C＝60°，当∠PQB＝90°时，∠BPQ＝30°，∴BP＝2BQ．∵BP＝6﹣2x，BQ＝x，∴6﹣2x＝2x，解得x=3当∠QPB＝90°时，∠PQB＝30°，∴BQ＝2PB，∴x＝2（6﹣2x），解得x=12答：32或125秒时，△故答案为32或1215．在△ABC中，AB＝5，AC＝12，BC＝13，过点A的直线把△ABC分成两个三角形，若其中仅有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是15013或1500169或36013【答案】15013或1500169【解答】解：由条件可知AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°．∴面积为S△沿过点A的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况：当AB＝BP＝5时，如图1所示，S等腰当AB＝AP＝5，且P在BC上时，如图2所示，作△ABC的高AD，则AD=∴BD=∴BP=2∴S等腰当CA＝CP＝12时，如图3所示，∴S等腰综上所述：等腰三角形的面积可能为15013或1500169或故答案为：15013或1500169或16．若实数b的立方根为2，且实数a，b，c满足a-（1）求2a﹣3b+c的值；（2）若a，b，c是△ABC的三边，试判断三角形的形状，并说明理由．【答案】（1）23；（2）△ABC是直角三角形，理由见解答．【解答】解：（1）∵实数b的立方根为2，∴b＝8，∵a-∴a∴a﹣15＝0，a﹣c+2＝0，解得：a＝15，c＝17，∴2a﹣3b+c＝2×15﹣3×8+17＝23；（2）△ABC是直角三角形，理由：∵a＝15，b＝8，c＝17∴a2+b2＝152+82＝289，c2＝172＝289，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形．17．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC为四边形ABCD的对角线，已知AB＝8，BC＝6，CD=215，（1）请判断△ACD的形状，并说明理由；（2）过点D作DE⊥AC于点E，求线段CE的长．【答案】（1）△ACD是直角三角形，理由见解答；（2）线段CE的长为6【解答】解：（1）△ACD是直角三角形，理由：∵∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC2＝AB2+BC2＝82+62＝100，∴AC＝10，又∵AD=210，∴AD∴AD2+CD2＝AC2，∴△ACD是直角三角形；（2）∵△ACD是直角三角形，∠ADC＝90°，DE⊥AC，∴S△即12化简得2150=5DE∴DE∴CE∴CE＝6．18．当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个正整数为勾股数．（1）若a，b为一个直角三角形的两条直角边长，c为斜边长，a，b，c为勾股数，且a＝n+7，c＝n+8，n为正整数，求b的值（用含n的式子表示），并直接写出符合题意的最小的b值．（2）当n是大于1的整数时，判断2n，n2﹣1，n2+1是否是勾股数，并说明理由．【答案】（1）5；（2）是勾股数，理由见解析．【解答】解：（1）a，b，c为勾股数，c为斜边长，∴a2+b2＝c2，∵a＝n+7，c＝n+8，∴（n+7）2+b2＝（n+8）2，∴b2＝2n+15，b=∵n，b都为正整数，∴当n＝5时，b=∴最小的b值为5；（2）∵（2n）2＝4n2，（n2﹣1）2＝n4﹣2n2+1，（n2+1）2＝n4+2n2+1，∴（2n）2+（n2﹣1）2＝（n2+1）2，∴2n，n2﹣1，n2+1是勾股数．19．已知m、x、y均为正整数，且x