20.3 勾股定理逆定理（同步练习）（试题版）-人教版(2024)八下

专题20.3勾股定理逆定理教学目标掌握勾股定理的逆定理内容，能够熟练地运用它来判断直角三角形以及在相关问题中运用；掌握勾股数并能够判断勾股数并能够熟练应用勾股数。教学重难点重点勾股定理逆定理；勾股数；2.难点（1）勾股定理逆定理的相关运用；（2）勾股数的证明。知识点01勾股定理逆定理勾股定理逆定理内容：在△ABC中，如果三角形的三边分别是且满足，则该三角形一定是有一个直角三角形且∠C是直角。勾股定理的逆定理用于判断一个三角形是不是直角三角形。直角三角形的判定①勾股定理逆定理②三角形中有一个角是90°。③三角形中有两个角之和为90°。【即学即练1】1．以下列各组数为边长，能够组成直角三角形的是（）A．3，4，5 B．2，3，4 C．5，12，13 D．8【即学即练2】2．若△ABC的三边分别是a，b，c，则下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．∠A＝∠B+∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．a＝5，b＝12，c＝13 D．a＝1，b=2【即学即练3】3．已知a，b，c是三角形的三边，如果满足（a﹣3）2+b-4+|c﹣A．底与腰部相等的等腰三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形【即学即练4】4．如图，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13，连接AC．（1）判断△ACD的形状并说明理由；（2）计算四边形ABCD的面积．【即学即练5】5．如图，某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离AB的长为250m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120m，BM的长为150m．（1）求供水点M到喷泉A需要铺设管道MA的长；（2）BM的长是喷泉B到小路AC上各处的最短距离吗？请说明理由．知识点03勾股数勾股数的定义：满足勾股定理（即）的三个称为勾股数。注意：①一定要满足勾股定理；②一定要是正整数。常见的勾股数类型：基本勾股数：（3，4，5）（6，8，10）①倍数型勾股数：②奇数规律：满足的三个正整数。（为奇数）③偶数规律：满足的三个正整数。（为偶数）【即学即练1】6．下列各组数中，属于勾股数的是（）A．32，42，52 B．5，12，13 C．3，4，5 D．1【即学即练2】7．一个直角三角形的两边长分别是3和4，且三边长构成一组勾股数，则第三边长为（）A．5 B．7 C．5或7 D．12【即学即练3】8．如果满足等式a2+b2＝c2的a，b，c是三个正整数，我们称a，b，c为勾股数．（1）已知m，n，k是正整数且m＞n，证明：a＝2mn，b＝m2﹣n2，c＝m2+n2是勾股数．（2）请写出任意一组含有68的“勾股数”：．题型01判断构成直角三角形的线段【典例1】以下列数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A．3，2，5 B．1，3，2 C．3，6，7 D【变式1】以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（）A．5，12，13 B．1，2，5 C．1，3，2 D．4，5，6【变式2】以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）A．3，4，5 B．3，4，5 C．32，42，52题型02判定直角三角形【典例1】已知a，b，c为△ABC的三边长，下列条件中不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．a：b：c＝1：2：3 D．a2﹣b2＝c2【变式1】满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．AB：BC：AC＝1：1：2 C．AB＝0.5cm，BC＝1.2cm，AC＝1.3cm D．∠A＝38°，∠C＝52°【变式2】在△ABC中，分别给出下列条件，不能判定是直角三角形的是（）【提示：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c】A．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．在△ABC中，∠A+∠B＝∠C C．在△ABC中，（a﹣b）（a+b）＝c2 D．在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5题型03判断三角形的形状【典例1】已知a、b、c是△ABC的三边长，它们满足(aA．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【变式1】已知实数a，b，c满足(a（1）求实数a，b，c的值．（2）以a，b，c为边能否构成直角三角形？请说明理由．【变式2】已知a+6的算术平方根是32，b﹣4的平方根是±3，﹣27的立方根是2﹣c（1）求a，b，c的值．（2）判断以a，b，c为边长的三角形的形状，并说明理由．题型04判断勾股数及其求值或证明【典例1】下列各组数是勾股数的是（）A．7，24，25 B．0.3，0.4，0.5 C．1.5，2，2.5 D．5，11，12【变式1】下列各组数中，是勾股数的一组是（）A．7，8，9 B．1，1，2 C．9，12，15 D．2，3，4【变式2】若n、8、10是一组勾股数，则n的值是（）A．2 B．6 C．8 D．10【变式3】若5，a，12是一组勾股数，则a的值为（）A．13 B．119 C．119或13 D．11【变式4】（1）我们知道像3，4，5这样三个整数是一组勾股数，那么3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数吗？请说明理由；（2）如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？请说明理由．（3）如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，请说明a，b，c为勾股数．题型05勾股定理逆定理的应用【典例1】如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB=BC=2，CD=5，（1）求AC的长度；（2）求∠DAB的度数．【变式1】如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且网格中每个小正方形的边长都为1．（1）求四边形ABCD的周长；（2）求∠BAD的度数．【变式2】如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离AB＝20米，点A与地面上点C（点B，C处于同一水平面上）的距离AC＝25米，且BC＝15米．（1）求∠ABC的度数；（2）现这架无人机沿AB所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边AC的垂直平分线上，连接CD，求这架无人机向下飞行的距离（AD的长）．1．以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，62．下列各组数中，是勾股数的是（）A．0.3，0.4，0.5 B．10，15，18 C．13，14，15 D．6，3．下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．a2﹣b2＝c2 D．a：b：c＝3：4：64．如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3cm至点D，则橡皮筋被拉长了（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm5．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，列出的正确方程为（）A．x2+62＝102 B．（10﹣x）2+62＝x2 C．x2+62＝（10﹣x）2 D．（10﹣x）2+x2＝626．平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺．一阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面．此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移动了4尺．由此可知水池的深度是（）A．7尺 B．152尺 C．8尺 D．177．已知△ABC三边长分别为a，b，c，且满足a-1+|A．以c为斜边长的直角三角形 B．以b为斜边长的直角三角形 C．以a为斜边长的直角三角形 D．等腰三角形8．如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳OA与地面垂直，摆绳长2m，向前荡起到最高点B处时距地面高度1.3m，摆动水平距离BD为1.6m，然后向后摆到最高点C处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且OB与OC成90°角，则小丽在C处时距离地面的高度是（）A．0.9m B．1.3m C．1.6m D．2m9．小惠同学用25个等距离的结把一根绳子分成等长的24段，她同时握住第1个结和第25个结，小淇同学握住第7个结，这时小婷同学应该握住第（）个结，拉紧绳子后才会得到一个以第7个结为直角顶点的直角三角形．A．13 B．14 C．15 D．1610．在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中：a68101214…b815243548…c1017263750…则当a＝18时，b+c的值为（）A．242 B．200 C．128 D．16211．如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边AB和BC的长分别为2.4m和1m，又测得点A与点C间的距离为2.6m，则小红家的木门（填“已变形”或“没有变形”）．12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，AC＝3，点I为Rt△ABC三条角平分线的交点，则点I到边AB的距离为．13．勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…分析上面规律，第4个勾股数组为．14．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t＝s时，△PBQ为直角三角形．15．在△ABC中，AB＝5，AC＝12，BC＝13，过点A的直线把△ABC分成两个三角形，若其中仅有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是．16．若实数b的立方根为2，且实数a，b，c满足a-（1）求2a﹣3b+c的值；（2）若a，b，c是△ABC的三边，试判断三角形的形状，并说明理由．17．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC为四边形ABCD的对角线，已知AB＝8，BC＝6，CD=215，AD（1）请判断△ACD的形状，并说明理由；（2）过点D作DE⊥AC于点E，求线段CE的长．18．当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个正整数为勾股数．（1）若a，b为一个直角三角形的两条直角边长，c为斜边长，a，b，c为勾股数，且a＝n+7，c＝n+8，n为正整数，求b的值（用含n的式子表示），并直接写出符合题意的最小的b值．（2）当n是大于1的整数时，判断2n，n2﹣1，n2+1是否是勾股数，并说明理由．19．已知m、x、y均为正整数，且x≠y，当m＝x2+y2时，我们称正整数m为“可媲美勾股数”，把x与y的积称为m的“勾股值”，用A（m）表示，即A（m）＝xy．例如：13＝32+22，A（13）＝3×2＝6，13就是一个“可媲美勾股数”，6是13的勾股值．（1）下列各数中，属于“可媲美勾股数”的有．①5②25③49（2）求A（65）﹣A（20）的值．（3）已知正整数m为“可媲美勾股数”，且满足18＜m＜60，m的勾股值为m-9220．小亮在网上搜索到下面的文字材料：在x轴上有两个点它们的坐标分别为（a，0）和（c，0），则这两个点所成的线段的长为|a﹣c|；同样，若在y轴上的两点坐标分别为（0，b）和（0，d），则这两个点所成的线段的长为|b﹣d|．如图，在直角坐标系中的任意两点P1，P2