19.2 二次根式的性质（同步练习）（解析版）-人教版(2024)八下

专题19.2二次根式的性质教学目标掌握二次根式的非负性，并能够结合绝对值，偶次方等的非负性灵活运用。2.掌握二次根式的其他性质，并能够在解决问题时熟练的应用。教学重难点重点（1）二次根式的性质。2.难点（1）利用二次根式的性质化简及其求取值范围；（2）利用二次根式为整数求值（易错点）。知识点01二次根式的性质二次根式的性质：二次根式具有双重非负性，二次根式本身大于等于0，被开方数大于等于0。即≥0，≥0。考点：几个非负数的和等于0，这几个非负数分别等于0初中的三大非负数类型：、、【即学即练1】1．已知a+2+b-1=0，那么（A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2【答案】A【解答】解：∵a+2∴a+2＝0，b﹣1＝0，解得：a＝﹣2，b＝1，∴（a+b）2025＝（﹣2+1）2025＝﹣1，故选：A．【即学即练2】2．若|a+1|+b2-4b+4+cA．4 B．16 C．±4 D．﹣4【答案】A【解答】解：∵b2﹣4b+4＝（b﹣2）2，∴原式可化为|a∴a＝﹣1，b＝2，c＝﹣3，∴a+b3+c2＝﹣1+23+（﹣3）2＝16，∵16=4∴a+b3+c2的算术平方根为4，故选：A．知识点02的性质的性质：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。即a。【即学即练1】3．若a=(5)A．5 B．±5 C．±5 D．【答案】D【解答】解：原式＝5．故选：D．【即学即练2】4．(-2025)2=【答案】2025．【解答】解：(-2025)故答案为：2025．知识点03的性质的性质：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。即|a|。再根据a的正负去绝对值符号。【即学即练1】5．化简：(3-π)2=π﹣【答案】π﹣3【解答】解：∵3﹣π＜0，∴原式＝|3﹣π|＝π﹣3．故答案为：π﹣3．【即学即练2】6．如图，数轴上点A表示的数为a，化简a2+(a-5)【答案】5．【解答】解：由数轴知0＜a＜5，则a﹣5＜0，∴原式＝a﹣（a﹣5）＝a﹣a+5＝5，故答案为：5．【即学即练3】7．若(2a-3)2=3-2a，则a【答案】a≤【解答】解：根据二次根式的性质可知：3﹣2a≥0，解得a≤故答案为：a≤【即学即练4】8．若(2a-3)2=2a-3【答案】a≥【解答】解：根据二次根式有意义条件可知2a﹣3|＝2a﹣3，根据绝对值的意义，当且仅当2a﹣3≥0时，该等式成立，解得2a≥3，即a≥故答案为：a≥【即学即练5】9．已知18n是正整数，则正整数n的最小值是2【答案】2【解答】解：18n=9×2∵n是正整数，18n∴n的最小值为2．故答案为：2．题型01二次根式的性质【典例1】下列各式中运算正确的是（）A．(-2)2=-2 BC．(-4)2=±4 【答案】D【解答】解：A、(-2)B、49=7≠±7C、(-4)D、-(-3故选：D．【变式1】下列各式中，正确的是（）A．(-5)2=-5 B．C．(±5)2=±5 D．【答案】B【解答】解：A、(-5)2B、-52C、(±5)2D、52=故选：B．【变式2】若a+|a|＝0，则(aA．2 B．﹣2a C．2或﹣2a D．2a【答案】C【解答】解：∵a+|a|＝0，∴|a|＝﹣a，∵|a|≥0，∴a≤0，则(＝|a+1|+|a﹣1|＝|a+1|+1﹣a，当a＜﹣1时，则|a+1|+1﹣a＝﹣a﹣1+1﹣a＝﹣2a；当﹣1≤a≤0时，则|a+1|+1﹣a＝a+1+1﹣a＝2；故选：C．题型02二次根式的非负性【典例1】已知a-3+b-8=0，则（a﹣b）【答案】±5．【解答】解：根据算术平方根的非负性求出a，b的值可得：a﹣3＝0，b﹣8＝0，∴a＝3，b＝8，∴（a﹣b）2＝（3﹣8）2＝25，∴（a﹣b）2的平方根是±25故答案为：±5．【变式1】若(x-2)A．10 B．﹣10 C．3 D．﹣3【答案】A【解答】解：∵(x∴x﹣2＝0，y+5＝0，z+1＝0，∴x＝2，y＝﹣5，z＝﹣1，∴xyz＝10，故选：A．【变式2】若a+2+4b2-4b+1=0，则a2023•【答案】-1【解答】解：∵a+2+4b2-4b+1=0，即a+2+（2∴a+2＝0，2b﹣1＝0，解得a＝﹣2，b=∴a2023•b2024＝（﹣2）2023•（12）＝（﹣2）2023•（12）2023＝（﹣2×12）＝﹣1×=-1故答案为：-1题型03利用二次根式的性质化简【典例1】已知a、b、c在数轴上的位置如图：化简a2A．a+b﹣c B．2b+2c﹣a C．2c﹣a D．2b﹣a【答案】B【解答】解：由数轴得：a＜b＜0＜c，|a|＞|c|＞|b|，∴a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＞0，∴原式＝﹣a﹣（﹣a﹣b）+c﹣a+b+c＝﹣a+a+b+c﹣a+b+c＝2b+2c﹣a，故选：B．【变式1】若﹣1≤x≤7，化简：x2-14x+49-x2【答案】6﹣2x．【解答】解：∵﹣1≤x≤7，∴x﹣7≤0、x+1≥0，∴原式=＝7﹣x﹣（x+1）＝7﹣x﹣x﹣1＝6﹣2x．【变式2】若2、5、n为三角形的三边长，则化简(3-nA．5 B．2n﹣11 C．11﹣2n D．﹣5【答案】A【解答】解：由三角形三边关系可知：3＜n＜7，∴3﹣n＜0，8﹣n＞1，原式＝|3﹣n|+|8﹣n|＝﹣（3﹣n）+（8﹣n）＝﹣3+n+8﹣n＝5，故选：A．【变式3】已知a，b，c为三角形的三边，则(a+b-c)2【答案】a+b+c【解答】解：∵a，b，c为三角形的三边，∴a+b＞c，c+a＞b，b+c＞a，∴a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，b+c﹣a＞0，∴(a+b-c)2+(b-c-a)2+(b+c-a)2=|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|b+c﹣a故答案为：a+b+c．题型04利用二次根式的性质求取值范围【典例1】若(a-5A．a＞5 B．a＜5 C．a≥5 D．a≤5【答案】D【解答】解：若(a则a﹣5≤0，解得a≤5，故选：D．【变式1】若(a-5)2=aA．a＞5 B．a＜5 C．a≥5 D．a≤5【答案】C【解答】解：∵(a且(a-5)2∴a﹣5≥0，解得a≥5．故选：C．【变式2】如果(3a-1)2=A．a＜13 B．a≤13 C．a＞1【答案】B【解答】解：∵(3a-1)2=∴1﹣3a≥0，∴﹣3a≥﹣1，∴a≤1故选：B．题型05根据二次根式是整数求值【典例1】若10-a是有理数，则满足条件的最大正整数a的值是10【答案】10．【解答】解：根据算术平方根的非负性可得，10﹣a≥0，解得：a≤10，由条件可知正整数a＝10或9或6或1，则满足条件的最大正整数a的值是10，故答案为：10．【变式1】已知二次根式12n的值是正整数，其中n为整数，则n的最小值为3【答案】3．【解答】解：12n∵二次根式12n的值是正整数，其中n∴n的最小值为3，故答案为：3．【变式2】已知n是一个正整数，75n是整数，那么n的最小值为3【答案】3．【解答】解：∵75n∴n的最小值为3．故答案为：3．1．下列计算正确的是（）A．a2=a BC．a4=a2【答案】C【解答】解：A、a2=|B、(-a)2C、a4D、a2+b2故选：C．2．《九章算术》中勾股术曰：“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，即c=a2+b2（a为“勾”，b为“股”，A．A点 B．B点 C．C点 D．D点【答案】C【解答】解：若“勾”为2，“股”为3，则22∵9＜13＜16，∴3＜13＜则“弦”在如图所示数轴上可表示在C点，故选：C．3．已知(x-1)2+y-A．1 B．﹣1 C．2023 D．﹣2023【答案】B【解答】解：已知(x（x﹣1）2＝0，y-∴x＝1，y＝2，∴x﹣y＝﹣1，∴（x﹣y）2025＝（﹣1）2025＝﹣1，故选：B．4．若2＜a＜3，则(2-aA．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣1 D．2a﹣5【答案】D【解答】解：因为2＜a＜3，所以(2-a)2-(3-a)2=a﹣2﹣（3﹣a）＝a﹣2故选：D．5．若(a+1)A．4 B．2 C．0 D．﹣2【答案】D【解答】解：∵(a∴a+1＜0，∴a＜﹣1，∴a的值可以是﹣2．故选：D．6．已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示：试化简：a2A．2a B．0 C．2a﹣2b D．2b【答案】C【解答】解：由数轴得，b＜0＜a，|b|＞|a|，∴a﹣b＞0，∴原式＝|a|+|a﹣b|+|b|＝a+a﹣b﹣b＝2a﹣2b．故选：C．7．如果一个三角形的三边长分别为3、a、7，则(aA．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．15﹣2a【答案】C【解答】解：一个三角形的三边长分别为3、a、7，∴4＜a＜10，∴a﹣4＞0，a﹣11＜0，∴(a故选：C．8．当0＜a＜1时，化简(aA．a B．﹣a C．a-2a D．【答案】B【解答】解：∵0＜a＜1，∴a＜1∴(a-1a)2-故选：B．9．已知y=(x-2)2-x+4，当x分别取1A．2027 B．2025 C．4048 D．4052【答案】D【解答】解：由条件可知(xa．当x≤2时，|x﹣2|＝2﹣x，∴y＝（2﹣x）﹣x+4＝6﹣2x，x取1和2：x＝1时，y＝6﹣2×1＝4，x＝2时，y＝6﹣2×2＝2，∴总和为4+2＝6；b．当x＞2时，|x﹣2|＝x﹣2，∴y＝（x﹣2）﹣x+4＝2；x从3到2025，共2023个值，每个y＝2，∴和为2023×2＝4046，综上，6+4046＝4052．故选：D．10．化简23-610+4A．3+2 B．3-22 C．3+22 【答案】D【解答】解：23-6=23-6=23-6=23-6=23-6==23-6(2+=23-12-6=11-6=(3-=3-2故选：D．11．计算：(-2)2+(5)【答案】7．【解答】解：(-2)2+(5故答案为：7．12．若(5-a)2+5=a，则a的取值范围是a【答案】a≥5【解答】解：∵(5-a∴(5-a∴a﹣5≥0，∴a≥5，故答案为：a≥5．13．二次根式24a是一个整数，那么正整数a的最小值是6【答案】6．【解答】解：∵24a是一个整数，24＝4×6∴正整数a的最小值为6．故答案为：6．14．若1＜x＜2，化简x2-2x+1-x2【答案】2x﹣3．【解答】解：原式=(∵1＜x＜2，∴x﹣1＞0，x﹣2＜0，∴原式＝x﹣1﹣（2﹣x）＝x﹣1+x﹣2＝2x﹣3．故答案为：2x﹣3．15．已知|x2+y-1|+y2-4|y|+4=0，且【答案】19【解答】解：∵|x∴|x∴|x2+y-1|=0，（|y|﹣∴x2+y-1=0，|y|∴y＝±2，当y＝2时，x2+2-1=0，当y＝﹣2时，x2-2-1=0，x2=3∵xy＜0，y＝﹣2，∴x＞0，∴x＝3，∴xy=3故答案为：1916．通过计算下列各式的值探究问题：（1）①42=4；②(-2)2=2探究：对于任意负有理数a，a2=综上，对于任意有理数a，a2=|a（2）应用（1）所得的结论解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示．化简：a2【答案】（1）4，2，﹣a，|a|；（2）﹣a﹣3b．【解答】解：（1）①42=4；②由(-2)2=2归纳出：对于任意负有理数a，由42=4；0=0，(-2)2=2故答案为：4，2，﹣a，|a|；（2）观察数轴可知：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，a﹣b＜0，a+b＜0a2＝﹣a﹣b﹣[﹣（a﹣b）]+[﹣（a+b）]＝﹣a﹣b+a﹣b﹣a﹣b＝﹣a﹣3b．17．阅读理解：阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答：化简：(1-3解：隐含条件1﹣3x≥0，解得x≤∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x．启发应用：已知△ABC三条边的长度分别是x+1，(5-x)2，4-(4-x)（1）若x＝2，求C△ABC的值；（2）请用含x的代数式表示△ABC的周长C△ABC（结果要求化简），并写出x的取值范围．【答案】（1）5+3（2）x+1+【解答】解：（1）当x＝2时，C△ABC=2+1+=3+3+4＝5+3（2）由二次根式有意义的条件可得x+1＞0，4﹣x≥0，且5﹣x≠0，解得：﹣1＜x≤4，则C△ABC=x+1=x+1+（5﹣x）+4﹣（4=x+1+5﹣x+4=x+118．我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似ba的形式，我们把形如ba的式子称为根分式，例如32（1）下列式子中①aa2+1，②3x+1，③a（2）写出根分式x-1x-2中x的取值范围x≥1且x（3）已知两个根分式M=x2-6x+7x-2，【答案】（1）③．（2）x≥1且x≠2．（3）x＝1．【解答】解：（1）由题意可知：③是根分式．故答案为：③．（2）由题意可知：x-解得：x≥1且x≠2．故答案为：x≥1且x≠2．（3）M2=x2-6x∵M2﹣N2＝1，∴x2-x2-x2﹣8x+8＝x2﹣4x+4，﹣4x＝﹣4，x＝1，经检验：x＝1是原方程的解．19．（1）当2≤a≤5时，化简；(a-2)2（2）