19.3二次根式的加法与减法（第1课时 二次根式加减）（教学设计）-人教版(2024)八下

19.3二次根式的加法与减法（第1课时）教学设计一、内容和内容解析1.

内容本节课是在学习二次根式乘除运算及化简的基础上，研究二次根式的加减运算。二次根式的运算方法与数的运算方法本质上是一致的，实数的运算律对二次根式的运算仍然适用。2.

内容分析本节课是二次根式运算的核心内容之一，承接二次根式的乘除运算与化简，是实数运算体系在根式领域的延伸。其核心逻辑是类比数的加减运算本质，将二次根式的加减转化为“同类二次根式的合并”，这与整式加减中“同类项的合并”的思想一脉相承。同时，实数的运算律（交换律、结合律、分配律）是二次根式加减运算的依据，既巩固了“运算律通用于实数系”的认知，也为后续更复杂的根式混合运算奠定基础，在初中代数运算教学中起到承上启下的关键作用。基于以上分析，确定本节课的教学重点为：在化简二次根式的基础上，应用分配律进行二次根式的加减运算。二、目标和目标解析1.

目标（1）探索二次根式加减运算的方法和步骤，发展推理能力。（2）会进行二次根式的加减运算，发展运算能力。2.

目标解析（1）聚焦过程性学习，强调学生不是被动接受“先化简，再合并”的步骤，而是通过自主探究、类比迁移，理解二次根式加减运算的本质。引导学生类比整式加减中同类项的概念，自主归纳同类二次根式的定义，实现从“数的加减”到“式的加减”的迁移推理；通过具体例子的计算，让学生提炼出“先化简二次根式，再合并同类二次根式”的运算步骤，培养逻辑推理与归纳概括能力。（2）聚焦技能掌握，要求学生能熟练运用运算步骤解决具体问题，同时深化运算能力的培养。能准确判断同类二次根式，熟练完成二次根式的化简；能处理含括号的二次根式加减运算，合理运用运算律简化计算，同时通过运算过程培养严谨的数学思维习惯。三、教学问题诊断分析具体表现：一是误将不同类二次根式直接合并；二是对同类二次根式的判断存在局限，认为只要根号下的数字不同就不是同类二次根式，无法识别需要化简后才能判断的同类二次根式。诊断分析：学生对同类二次根式的本质内涵理解不到位，混淆了二次根式的加减运算与被开方数的加减运算，同时二次根式化简技能不熟练，不能将非最简二次根式转化为最简形式，进而无法准确判断同类二次根式。应对策略：教学中可采用类比教学法，将同类二次根式与整式中的同类项概念进行对比，明确二者“本质属性一致才能合并”的共性，帮助学生建立知识关联；总结“先化简，再看被开方数；被开方数相同，才能合并”的口诀，强化学生的判断逻辑；设计对比辨析练习题，选取典型题目，让学生分组判断并阐述理由，加深对概念的理解。基于以上分析，确定本节课的教学难点为：准确判断同类二次根式。四、教学过程设计（一）复习引入前面我们学习了二次根式的乘法与除法运算，接下来研究怎样进行二次根式的加法与减法运算.设计意图：明确学习脉络：清晰呈现二次根式的学习框架（概念→性质→运算→应用），帮学生梳理已有知识（乘法、除法），同时引出本节课重点——二次根式的加减运算。启发学习方法：渗透“类比学习”的思路，让学生意识到可以将已有知识的学习方法迁移到新内容的探究中，培养知识迁移能力。（二）合作探究思考如何计算27+追问1如何化简27和答：27+12=追问2化简后的两个二次根式有什么特征？这两个二次根式的被开方数相同，我们称它们为同类二次根式．追问3类比整式运算中的合并同类项，你能计算33=33+2=(3+2)3=53二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并.简记为：“一化简、二判断、三合并”设计意图：从具体问题切入：以具体的计算为载体，让学生在实际运算需求中自然进入二次根式加减的学习，避免抽象概念的生硬灌输。分层拆解难点：通过3个追问，逐步拆解二次根式加减的核心步骤；渗透数学思想：通过“类比整式的合并同类项”，强化知识迁移的学习方法，同时借助“分配律”体现代数运算的共性逻辑。（三）典例分析概念辨析下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（D）A．8与3 B．2与12 C．5与15 D．75与27例1计算：（1）80-45；（2）9a+25a；解：(1)80(2)9(3)2追问比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论?例2计算：（1）(12+20)+2(3-5)；解：（1）(（2）1例3有一块长为7.5dm、宽为5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm²和18dm²的正方形木板?分析由图可以看出，只要木板的宽大于大正方形木板的边长，木板的长大于两个正方形木板的边长的和，就能截出所要求的两个正方形木板.解：大正方形木板的边长为18dm.因为18<5，所以这块木板够宽.两个正方形木板的边长的和为(8+18)dm，而8+18=22+32=(2+3)2=5由2<1.5可知52<7.5，即两个正方形木板的边长的和小于这块木板的长，所以这块木板够长.因此，可以用这块木板按要求裁出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板.设计意图：概念巩固：通过“概念辨析”题，让学生快速检验对“同类二次根式”的理解，强化“先化简再判断”的核心逻辑。方法落地：例1聚焦基础运算，分不同形式练习“化简→合并”的步骤，帮学生熟练掌握二次根式加减的基本操作；例2拓展到含括号的运算，类比整式的去括号法则，让学生迁移运算经验，掌握更复杂的二次根式加减运算。联系实际应用：例3将二次根式加减与实际问题结合，既巩固运算技能，又让学生体会数学的实用价值，提升应用意识。（四）巩固练习1.下列计算是否正确?为什么?(1)4+9=(2)8-3=(3)32-22.计算：(1)27-67；(2)12+27-313解：(1)2(2)12(3)18(4)(3.如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是62.8和141.3.求圆环的宽度d(π取3.14).解：设大圆的半径为R，小圆的半径为r，由题意得：πR2=141.3，πr2=62.8，解得：R=35，r=2∴d=R−r=3答：圆环的宽度d为5.设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略。归纳总结

（六）感受中考1．（2023年山东烟台）下列二次根式中，与2是同类二次根式的是（

C

）A．4 B．6 C．8 D．122．（2023年山东青岛）下列计算正确的是（C）A．2+3=5 B．23-3．（2025年广东广州）下列运算正确的是（

D

）A．a2⋅aC．a-b=4．（2023年山东临沂）设m=515-45，则实数m所在的范围是（A．m<-5 B．-5<m<-4 C．5．（2025年四川自贡）计算：18-32=6．（2023年江苏南京）计算12×6-18的结果是7．（2024年山东淄博）计算：27-23=8．（2