19.1二次根式及其性质（第1课时）（教学设计）-人教版(2024)八下

19.1二次根式及其性质（第1课时）教学设计一、内容和内容解析1.

内容本节课从实际问题出发，用含有根号的式子表示数量和数量关系，归纳得到二次根式的概念，并探索二次根式有意义的条件。2.

内容分析本节课是“数与代数”领域的重要内容，承接算术平方根的知识，是后续学习二次根式运算以及解无理方程的基础。从实际问题引入，通过用含根号的式子表示数量和数量关系，让学生经历“具体情境→数学抽象→概念形成”的过程，符合学生从具象到抽象的认知规律。二次根式的概念界定与有意义的条件探究，是本节课的核心，前者是对“形如a(a≥0)的式子”的本质概括，后者则是对二次根式中被开方数取值范围的精准把握，二者共同构成了本节课的知识框架，也为培养学生的数学抽象、逻辑推理素养搭建了载体。基于以上分析，确定本节课的教学重点为：了解二次根式的概念，探索二次根式有意义的条件。二、目标和目标解析1.

目标（1）根据算术平方根的意义了解二次根式的概念；探索二次根式有意义的条件，发展推理能力。（2）能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系，发展抽象能力和应用意识。2.

目标解析（1）让学生经历从特殊到一般的抽象过程，得到二次根式的概念；探索二次根式有意义的条件时，需结合算术平方根的非负性进行推理，培养学生严谨的逻辑思维能力。（2）学生将实际问题中的几何量、物理量等抽象为二次根式的数学表达式，建立实际问题与数学符号之间的联系，体现“用数学的语言表达现实世界”的学科价值。这一过程也能提升学生分析问题、解决问题的能力，强化数学与生活的关联。三、教学问题诊断分析1.

有意义条件的易错点学生易忽略被开方数非负的隐含条件，例如误将-2当被开方数为含字母的代数式时（例如x-2.

认知衔接的断层点本节课的知识基础是算术平方根，但部分学生对“非负数才有算术平方根”这一前提记忆模糊，导致在探索二次根式有意义的条件时，缺乏理论支撑，出现逻辑断层。同时，学生对“代数式”的概念缺乏系统梳理，容易将二次根式与整式、分式割裂看待。应对策略：让学生明确被开方数非负的原因，设计对比练习，促进学生的反思总结。基于以上分析，确定本节课的教学难点为：探索二次根式有意义的条件。四、教学过程设计（一）情境引入引言广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越远，从而能收听收看到广播电视节目的区域就越广.实际上，广播电视塔高h与广播电视节目信号的传播半径r之间存在近似关系r=2Rh，其中R是地球半径，R≈6400整式，分式和含有根号的式子都可以表示数量和数量关系。设计意图：联系实际，激发兴趣：用广播电视塔的高度与信号传播半径的实际例子，联系数学知识和生活实际，让抽象的式子变得有实际意义，吸引学生的注意力。自然引出新内容：借助2Rh这个含根号的式子，顺势衔接之前学过的整式、分式，点明构建知识体系：把整式、分式、含根号的式子归为一类（都能表示数量关系），帮学生梳理知识间的关联，形成更完整的代数式认知框架。（二）合作探究思考用含有根号的式子填空，看一看写出的结果有什么共同特征：(1)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m²,则它的宽为65m.(2)一个大正方形的面积是一个边长为a的正方形与另一个边长为1的正方形的面积之和，则大正方形的边长为a2+1(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下时离地面的高度h(单位：m)的关系近似为h=5t2.如果用含有h的式子表示t，那么t为h5观察归纳（1）这些式子分别表示什么意义？答：分别表示65，a2+1，h5，2Rh的算术平方根．（2）这些式子有什么共同特征？答：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根．二次根式的概念一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫作二次根式.二次根式也是代数式.设计意图：通过实例具象化概念：借助长方形围栏、正方形面积、自由落体时间这3个不同场景的实际问题，让学生用含根号的式子表示数量关系，把抽象的“二次根式”和具体情境相关联，降低理解门槛。引导自主归纳特征：通过“观察归纳”，让学生自主发现这些式子的共同特点（表示非负数的算术平方根），培养其观察、总结的能力，而非直接灌输概念。自然导出核心概念：从实例和归纳的特征，顺理成章引出“二次根式”的定义，让概念的出现有依据、有铺垫，帮助学生建立“从具体到抽象”的认知逻辑。（三）典例分析例1下列式子，哪些是二次根式？5，x2+1，321，-3，答：5，x2+1，a例2当x满足什么条件时，x-2解：由x−2≥0，得x≥2.当x≥2时，x-2思考当x满足什么条件时，x2在实数范围内有意义？x3答：当x为任意实数时，x2≥0，x2当x为非负实数时，x3≥0，x3在实数范围内有意义设计意图：巩固概念，明确判定标准：通过例1，让学生运用刚学的二次根式定义进行判断，区分开三次根式、被开方数为负的式子等，强化对概念的理解。聚焦核心条件，突破易错点：例2及后续思考，围绕“被开方数非负”这一关键条件展开，覆盖不同类型的被开方数，帮助学生掌握“二次根式有意义的条件”，同时解决易混淆的情况。（四）巩固练习1．下列各式x-12，-3，37，aA．1个 B．2个 C．3个 D．4个2.要画一个面积为18cm2的长方形，使它的长与宽之比为3:2，它的长、宽各应取多少？解：设它的长为3xcm，宽为2xcm，根据题意得：3x·2x=18，x2=3，∵x为正数，∴x=3，∴3x=33，2x=23.答：它的长为33cm，宽为23cm.3.当a满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义?(1)a-1；(2)5-a解：(1)由a−1≥0，得a≥1.当a≥1时，a-1(2)由5−a≥0，得a≤5.当a≤5时，5-a在实数范围内有意义(3)由2a+1≥0，得a≥-1当a≥-12时，24.当a满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义?(1)a2-2a解：(1)a2−2a+1=(a−1)2，∵(a−1)2≥0，∴当a取任意实数时，a2-(2)由−(a−1)2≥0，得(a−1)2≤0，又∵(a−1)2≥0，∴(a−1)2=0，即a=1.当a=1时，-(a5.当a=5时，a-12的值是6.已知一个大圆的面积是两个小圆的面积之和.如果大圆的半径为r，两个小圆的半径分别为2和3，求r的值.解：根据题意得：πr2=π×22+π×32，r2=13，∵r为正数，∴r=13.答：r的值是13.7.△ABC的面积为12，AB边上的高是AB边长的4倍.求AB的长.解：根据题意得：12AB×4AB=12AB2=6，∵AB>0，∴AB=6.答：AB的长为6.设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略。归纳总结

（六）感受中考

1．（2025·江苏镇江）使二次根式2x-4有意义的x的取值范围是（

A．x≥2 B．x≤2 C．x>22．（2025·西藏）若代数式2-x有意义，则实数x的取值范围是（

D

A．x>2 B．x≥2 C．x<23．（2025·青海西宁）当x=1时，下列代数式在实数范围内有意义的是（

B

A．x-1x-1 B．x-4．（2025·河南）请写出一个使5-x在实数范围内有意义的x的值：3（答案不唯一）5．（2021·浙江衢州）若x-1有意义，则x的值可以是36．（四川凉山）已知y=2x-5A．-15 B．15 C．-152设计意图：在学习完新知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。（七）小结梳理设计意图：构建知识关联，降低学习难度：通过“类比”分式的知识框架（概念→性质→运算→应用），梳理二次根式的学习脉络，让学生借助已熟悉的分式知识，快速理解二次根式的学习逻辑，建立新旧知