财经应用数学

第1章代数实用知识第一章：代数实用知识引言引言你会存款吗？你会投资经商吗？你懂得证券行情外汇牌价吗？….当今世界已进入信息化数字化的新时代,数学已经渗透到一切社会活动和生活中，特别是在经济生活中,其中蕴涵着深刻的数学规律.引言引言问题1:某公司第一季度盈利60万元,第二季度亏损30万元,第三季度不盈利也不亏损,第四季度盈利58万元,问这个公司全年结算盈利还是亏损?问题2:张先生2004年3月1日存入银行10000元,存期3年,到3年期满时张先生没有取出存款.后来因为急需用钱,于2007年5月13日取出了全部存款.问银行应支付多少利息给张先生?第1章代数实用知识第1章代数实用知识§1.1数的运算§1.1数的运算学习目标学习目标1.理解实数及其相关概念（数轴/绝对值/倒数）

2.会运用实数的运算法则进行实数运算

3.理解比例、正比例、反比例的基本概念4*.掌握比例的基本运算内容提要内容提要数的运算

实数的概念与运算

比例(1)实数系实数有理数无理数整数分数正无理数负无理数正整数零负整数正分数负分数有限小数或无限循环小数无限不循环小数自然数1.1.1实数的概念与运算1．实数的概念规定了原点、正方向和长度单位的直线叫做数轴

说明∶0-2-121①数轴上的0表示原点，原点右边的点表示正数，原点左边的点表示负数。（2）实数的相关概念②每个实数都可以用数轴上的点来表示。1.1.1实数的概念与运算◆数轴上表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值

（2）实数的相关概念1.1.1实数的概念与运算说明∶②

一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离。

③

任何实数都有唯一的绝对值，且绝对值非负，即。①◆1除以一个非零实数的商叫做这个数的倒数

说明∶如果ab=1，则a、b互为倒数；如果a、b互为倒数，则ab=1。（2）实数的相关概念1.1.1实数的概念与运算符号法：正数大于零，负数小于零，正数大于负数数轴法：沿数轴箭头方向的实数越来越大（3）比较两个实数的大小1.1.1实数的概念与运算ａ－ｂ=0ａ－ｂ＜0ａ＝ｂ

ａ＜ｂ

ａ－ｂ＞0

ａ＞ｂ

1.1.1实数的概念与运算比差法：任意两个实数a和b，具有如下基本性质

加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值2．实数的运算（1）实数的四则运算-----加法1.1.1实数的概念与运算例如：①（－32）＋（－64）＝－（32＋64）111111

＝－96；

②－32＋64＝＋（64－32）＝32；

③32+(－64)＝－（64－32）＝－32。（1）实数的四则运算-------加法1.1.1实数的概念与运算减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。例如：32－64＝32+(－64)=－32。（1）实数的四则运算-------减法1.1.1实数的概念与运算乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与０相乘都得０。例如：（－32）×2＝－（32×2）=－64

（1）实数的四则运算-------乘法1.1.1实数的概念与运算（1）实数的四则运算---------除法除法法则:

除以一个数等于乘以这个数的倒数。例如：1.1.1实数的概念与运算例1

计算：(1)(2)解∶(1)(2)举例举例1.1.1实数的概念与运算例2

计算：(1)(2)解∶(2)(1)1.1.1实数的概念与运算例3

计算下列各题：(1)(2)解∶(1)(2)1.1.1实数的概念与运算乘方

求n个相同因数的积的运算叫做乘方

底数

指数

乘方的结果叫做幂

2．实数的运算（2）实数的乘方与开方

1.1.1实数的概念与运算0的正数次幂等于0，非零实数的0次幂等于1正数的任何次幂是正数负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数注：（2）实数的乘方与开方

1.1.1实数的概念与运算(设m、n为正整数)（2）实数的乘方与开方

幂的运算法则

1.1.1实数的概念与运算幂的运算法则

1.1.1实数的概念与运算

注意：底数是分数或负数时，要用括号把底数括起来．如和平方根如果，那么x就叫做的平方根

数的平方根表示为：叫做被开方数，2是根指数。

2．实数的运算（3）实数的平方根与立方根

1.1.1实数的概念与运算立方根如果，那么x就叫做的立方根

数的立方根表示为：叫做被开方数，3是根指数。

1.1.1实数的概念与运算（3）实数的平方根与立方根

例4

计算下列各题：(1)(2)(3)解：＝（－2）×（－2）×（－2）×（－2）＝16(1)＝－（4×4×4×4）＝－256(2)(3)举例举例1.1.1实数的概念与运算例5

求下列各数的平方根：(2)(1)解：(1)(2)举例举例1.1.1实数的概念与运算例6

求下列各数的立方根：(3)(2)(1)(1)解：(2)(3)举例举例1.1.1实数的概念与运算＊拓展延伸

一个正数a（a>0）的平方根，是两个互为相反的数；

其中正的平方根叫做a的算术平方根（或算术根）零的平方根只有一个，仍是零；负数没有平方根。平方根1.1.1实数的概念与运算＊拓展延伸的性质：1.1.1实数的概念与运算＊拓展延伸●正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根还是0。●任何数都有立方根，且只有一个立方根。立方根1.1.1实数的概念与运算想一想，练一练想一想，练一练计算:1.1.1实数的概念与运算1.1.2比例两个数相除所得的商叫做这两个数的比1．比如：3比2，记作3：2表示3是2的几分之几倍关系（也表示3÷2）。符号“：”叫做比号，读作“比”1.1.2比例1．比比号前面的量或数叫做比的前项比的后项

比号后面的量或数叫做意义相同如果两个数（或量）的比，等于另外两个数（或量）的比，那么这四个数（或量）叫做成比例例如：内项外项2．比例的概念1.1.2比例

在其他有关的量一定的情况下，若两种量中的一种扩大（或缩小）若干倍，另一种也扩大（或缩小）相同的倍数，则这两种量叫做成正比例的量。3．正比例1.1.2比例例如：

（1）当速度一定时，时间和距离成正比例关系。（2）当商品的单价一定时，总价与该商品数量成正比例关系。3．正比例1.1.2比例4．反比例

在其他有关的量一定的情况下，若两种量中的一种扩大（或缩小）若干倍，另一种却缩小（或扩大）相同的倍数，则这两种量叫做成反比例的量。1.1.2比例例如：（1）当距离一定时，等速运动的时间和速度成反比例关系。4．反比例（2）当商品的总价一定时，单价与该商品数量成反比例关系。1.1.2比例＊拓展延伸比的基本性质

比的前项和后项同时扩大或缩小相同的倍数，其比值不变即：

或

由此性质还可得出以下结论：1.1.2比例＊拓展延伸比例的性质比例的两个外项的积等于两个内项的积。

即，若

则

1.1.2比例1.1.2比例举例举例例7*:解下面各比例中的x(1)9:x＝6：12(2)1.1.2比例举例举例例7*:解：（1）根据比例的基本性质得：

6x=9×12x＝18（2）根据比例的基本性质得：

0.1x=3×0.45x＝13.51.1.2比例想一想，练一练想一想，练一练解下面各比例中的x(1)1.2:10＝6：x(2)作业作业第1章代数实用知识第1章代数实用知识全国中等职业学校财经类教材财经应用数学§1.2代数式的运算§1.2代数式的运算学习目标学习目标1.理解整式的概念2.掌握整式的相关运算（加、减、乘、乘方）3.掌握因式分解常用的三种方法：提公因式法、十字相乘法、公式法4.会灵活选用不同的方法将多项式分解因式5.理解分式的基本概念6.掌握分式的基本运算（约分、加减、乘除）7.理解二次根式的基本概念8.*掌握二次根式的相关运算（加减、乘除）内容提要内容提要代数式的运算整式因式分解分式二次根式1.2.1整式1．整式的概念由数与字母的乘积组成的代数式，叫做单项式单独一个数或一个字母也是单项式如：都是单项式

1．整式的概念单项式中的数字因数叫做它的系数。单项式中的所有字母的指数的和叫做它的次数如：的系数是,次数是1；

的系数是1，次数是2；的系数是－1，次数是3；4的系数是4，次数是01.2.1整式1．整式的概念几个单项式的和叫做多项式。

每个单项式叫做多项式的项其中不含字母的项叫做常数项次数最高项的次数，就是这个多项式的次数

如：是四次三项式是一次二项式；是二次三项式1.2.1整式1．整式的概念单项式和多项式统叫做整式在一个多项式里所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项。

如：是同类项,

不是同类项

把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。1.2.1整式举例举例

例１先标出多项式中的同类项，再合并同类项。解：

是同类项，是同类项，是同类项。合并同类项的法则是：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变．1.2.1整式2．乘法公式平方差公式：

完全平方公式：

立方和公式：

立方差公式：

1.2.1整式3．整式的运算（1）加减运算整式的加减运算就是合并同类项，若有括号，应先去括号；再合并同类项。

例2

化简解：

1.2.1整式3．整式的运算（2）乘法与乘方

单项式乘以单项式：把系数相乘作为积的系数，并把同底数的幂相乘。1.2.1整式例3

计算：

（2）

（1）

（1）解：

（2）1.2.1整式举例举例例4

计算

解：

1.2.1整式举例举例（2）乘法与乘方

单项式乘以多项式把单项式分别乘以多项式的各项，再将所得的积相加．即：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc1.2.1整式3．整式的运算例5

计算：

解：

1.2.1整式举例举例3．整式的运算（3）整式的除法：

单项式除以单项式：将它们的系数及同底数幂分别相除。1.2.1整式例6计算：（1）（2）解：

（1）（2）1.2.1整式举例举例（3）整式的除法：

多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。1.2.1整式3．整式的运算例7

计算解：

1.2.1整式举例举例想一想练一练计算：（1）（4m2－4mn－3n2）－（2m2－4mn＋n2）；（2）1.2.1整式想一想练一练计算：（3）（4）1.2.1整式1.2.2因式分解1.基本概念

把一个多项式分成几个整式的乘积形式，叫做因式分解。如：整式乘法因式分解2.因式分解的方法

（1）提公因式法

如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。1.2.2因式分解例1

把下列各式分解因式：（1）（2）解：

（1）（2）1.2.2因式分解举例举例

把下列各式分解因式：（1）（2）1.2.2因式分解想一想练一练2x(a－2)－3y(2－a)14abx－8abx＋4ax（2）十字相乘法若能分解为且它们交叉乘积的和等于一次项的系数（即则对于二次三项式1.2.2因式分解例2

把下列各式分解因式：（1）（2）解：（1）121-8（2）1

41-71.2.2因式分解举例举例

把下列各式分解因式：（1）（2）1.2.2因式分解想一想练一练（3）运用公式法

利用乘法公式对多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法。

1.2.2因式分解（3）运用公式法平方差公式：

完全平方公式：

立方和公式：

立方差公式：1.2.2因式分解例3

把下列各式分解因式：（1）（2）（3）解：

（1）（2）（3）1.2.2因式分解举例举例

把下列各式分解因式：（1）（2）1.2.2因式分解想一想练一练p3－27x2＋4xy＋4y2－11.2.3分式1.分式的概念形如的式子叫做分式。

其中、是整式且中含有字母，分数线

分式的分子

分式的分母

例如：等都是分式。1.分式的概念注意：分式与整式的区别在于分式的分母中含有字母，整式中有时有分母但不含字母。分式运算的最后结果应为最简分式或整式。例如：都不是分式而是整式整式和分式统称有理式

1.2.3分式＊拓展延伸

在分式中，分母的值不能为0，分母的值为0时，分式没有意义如：在分式中，；在分式中，。分式的概念1.2.3分式例*

当x取什么值时，下列分式有意义？解：

（1）由分母，得∴当时，分式有意义。（2）由分母，得∴当

时，分式有意义。1.2.3分式举例举例1.2.2因式分解想一想练一练当x取什么值时，下列分式有意义？(1)(4)(3)(2)2.分式的运算(1)分式的基本性质

分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．这个性质叫做分式的基本性质。

（其中M是不等于零的整式）1.2.3分式例1

约分：解：

分式的分子、分母中都有相同的因式这个相同的因式我们称它为公因式。所以1.2.3分式举例举例2.分式的运算(2)分式的加减法同分母的分式加减法的运算公式：异分母的分式加减法的运算公式：1.2.3分式例2

计算

解：1.2.3分式举例举例例3

计算

解：先找出两个分式的最简公分母。最简公分母是(n+4)(n－4)1.2.3分式举例举例例4

计算

解：最简公分母是a－21.2.3分式举例举例(3)分式的乘法

分式乘以分式的运算方法：用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母。用式子表示：1.2.3分式2.分式的运算(3)分式的除法

分式除以分式的运算方法：把除式的分子分母颠倒位置后，与被除式相乘。用式子表示：1.2.3分式2.分式的运算例5

计算（1）（2）（1）注意：分式运算的最后结果应为最简分式或整式．解：

（2）1.2.3分式举例举例想一想练一练计算:1.2.3分式想一想练一练1.2.3分式1.二次根式的概念

形如的式子叫做二次根式，其中a叫做被开方数如：等都是二次根式1.2.4二次根式

例1

当x是什么实数时，式子在实数范围内有意义？

解：

由知，得，所以当，式子在实数范围内有意义。1.2.4二次根式举例举例想一想练一练当x是什么实数时，下列各式在实数范围内有意义？(2)(1)(3)(4)1.2.4二次根式２.二次根式的性质(1)(2)例如：1.2.4二次根式3.二次根式的乘除法乘法：

除法：

分母有理化：分子、分母同乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号.1.2.4二次根式例2

化简解：

1.2.4二次根式举例举例例3计算:解:

1.2.4二次根式举例举例想一想练一练(1)(2)(3)计算1.2.4二次根式例4

把下列各式的分母有理化解：1.2.4二次根式举例举例想一想练一练把下列各式的分母有理化(1)(2)1.2.4二次根式4.最简二次根式满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式①开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因式或因数。

1.2.4二次根式例5把下列各式化成最简二次根式：解：1.2.4二次根式举例举例想一想练一练把下列各式化成最简二次根式：(1)(2)(3)1.2.4二次根式5.二次根式的加减

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，则这几个二次根式叫做同类二次根式如：

；因此，是同类二次根式。1.2.4二次根式例6

计算

解：

1.2.4二次根式举例举例先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式。1.2.4二次根式小结小结6.二次根式的混合运算

两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,那么这两个代数式叫做互为有理化因式。

如:互为有理化因式。1.2.4二次根式例7

计算：解：

1.2.4二次根式举例举例想一想练一练计算(1)(2)(3)1.2.4二次根式作业作业习题1.2第1章代数实用知识第1章代数实用知识全国中等职业学校财经类教材财经应用数学§1.3：代数的简单应用§1.3：代数的简单应用

例1

某公司下辖甲、乙、丙三个市场部。现筹集资金120万元，要分配给各市场部。试根据下表的上一年有关财务资料，拟订资金分配方案。1.比例在资金分配中的应用1.3.1比例的应用举例举例15622.51601，000合计364872107.55.02040100200300500甲乙丙资金周转天数（天）资金周转次数（次）平均流动资金（万元）销售额（万元）市场部

解：设分配给甲、乙、丙三个市场部的资金依次为：万元。但从不同的角度会有不同的分配方案。摘要列举如下：方案一：保持比例，即保持上年的平均流动资金比例，按旧比例进行分配，有比例式：1.比例在资金分配中的应用1.3.1比例的应用例1答案

例13

方案三：讲求效益，即根据上年的流动资金周转速度进行分配。分配资金额与周转次数成正比例，有比例式：方案二：着眼销售，即按上年的销售额比例进行分配,有比例式：1.3.1比例的应用解上述三种方案的比例式，具体得数见下表市场部方案（一）按资金比例方案（二）按销售比例方案（三）按周转比例甲乙丙15307524366053.340.026.7合计1201201201.3.1比例的应用2.比例在实际生产中的应用

相对指标

把两个有联系的指标之比（相除）叫做相对指标，比值是相对指标数，简称相对数。

它是用来描述相关数量之间的相对程度。1.3.1比例的应用

例如某工厂2006年计划工业总产值为250万元，实际完成270万元，其计划完成程度为：工业总产值计划完成程度=举例举例

该厂2006年工业总产值超额8%完成计划。这里，计划规定数就是对比的标准、对比的基础。相对指标

1.3.1比例的应用同一时期实际完成数与计划数之比，叫做计划完成相对数

其用来说明计划完成的程度与进度。一般以百分数表示，故又称计划完成百分数

计划完成相对数1.3.1比例的应用

例如某工厂2007年10月生产螺丝产品计划每个工人日平均产量为100件，实际每人日平均产量为130件，则劳动生产率计划完成相对数举例举例计划完成相对数

计算结果说明超额30%完成了计划。1.3.1比例的应用结构相对数

各部分数值与总体数值之比，叫做结构相对数

其用来描述总体各部分在总体中所占的比重，一般用百分数表示。1.3.1比例的应用

例如某超市经营商品分为食品、衣着、日用品等三大类，年销售情况如下表。

100．0038000合计39．8114．3045．8915126543317441食品类衣着类日用品类结构相对数（%）销售额（万元）按商品类型分组结构相对数

由表可见，日用品类销售所占的比重大，食品类次之，衣着类最小。我们可以将其与以往的资料进行比较，以观察其结构是否合理。1.3.1比例的应用比较相对数

同一时期两个同类现象之比，叫做比较相对数

其用来描述现象在不同空间下的差异程度。比较相对数一般用百分数或倍数表示。1.3.1比例的应用

前者说明雅戈尔服装在甲专卖店平均月销售量是乙专卖店的59.15%；后者说明雅戈尔服装在乙专卖店平均月销售量是甲专卖店的1.69倍。比较相对数

例如雅戈尔服装在甲专卖店平均月销售量是362件，在乙专卖店平均月销售量是612件，求比较相对数。1.3.1比例的应用

两个有联系的不同事物的数值之比，叫做强度相对数，又称强度指标。

其用来表明经济发展水平的高低和现象的强度、密度或普遍程度。强度相对数*

1.3.1比例的应用

（公倾/万人）或举例举例强度相对数

例如某地区人口1689万人，公共绿地面积为8000公倾，求强度相对数。1.3.1比例的应用

例3*

某快速配售中心定点加工厂开发某新品种时，计划2004年至2006年三年中，最后一年该新品种的年产量应达到2000万袋，实际生产情况如下表，求其计划完成的程度。200420052006上半年三季度四季度一季度二季度三季度四季度产量1200650355400445535620720某快速配售中心某新品种2004—2006年际生产情况单位：万袋举例举例1.3.1比例的应用

由于产量计划是以最低限度提出的，所以是超额完成计划，且超额16%，即比计划多生产了（万袋）。

例3*解：1.3.1比例的应用

例4*

某车间计划全年生产洗衣机15000台，实际第一季度生产了3550台，第二季度生产了4250台，检查其计划执行的进度值：解：上半年计划完成程度相对数举例举例

由于时间过半，而生产量也超过50%，表明计划执行进度良好。1.3.1比例的应用想一想，练一练想一想，练一练1.一个晒盐场用100克海水可以晒出3克盐，如果一块盐田一次放入585000吨海水，可以晒出多少吨盐？1.3.1比例的应用想一想，练一练想一想，练一练2.某合作社购进干果18，000千克，统货（不分等级）价格每千克1.70元。经挑选整理后，计有：一级品9，500千克，二级品4，500千克，三级品3，600千克。按规定：各等级之间的零售比价是10：8：6；毛利率20%，求各等级商品的每千克零售价。1.3.1比例的应用想一想，练一练想一想，练一练1.3.1比例的应用3*某企业计划年利润500万元，而实际实现利润589万元，求利润计划完成程度相对数。4*广州某区某镇高中学龄人数1878人，高中实际在校生人数为1811人，求强度相对数。

例1

某公司第一季度盈利60万元，第二季度亏损30万元，第三季度平，第四季度盈利58万元，问：该公司到年底结算时是盈利还是亏损？盈利（亏损）多少万元？

1.3.2实数运算在经济中的应用1.实数运算与投资

举例举例设公司盈利额为正，亏损额为负，则根据题意，公司最后的盈利额列式计算如下：解：(＋60)＋(－30)＋0＋(＋58)＝60－30＋58

＝88＞0

答：公司到年底结算时盈利88万元．1.3.2实数运算在经济中的应用1.实数运算与投资

例1答案1.实数运算与投资

例2

某商场以每件150元的价格从某服装厂购进服装20件，后来经与厂家协商，又以每件125元的价格购进这种服装80件，如果商场在销售这批服装时，要获利润30%，那么每件服装的销售价格应该是多少元？1.3.2实数运算在经济中的应用举例举例解：根据题意列式如下：1.3.2实数运算在经济中的应用1.实数运算与投资

例2答案2.实数运算与理财——各种类型存款利息计算

类型一整存整取下表列出现阶段常见的储蓄种类的利率：储蓄种类3个月6个月12个月24个月36个月60个月年利率%1.712.072.252.703.243.61.3.2实数运算在经济中的应用

例3：张先生2004年3月15日存入银1000元行人民币(所有储种个人利息所得税率均为20%).

如果期限为6个月，到2004年9月15日，问到期后张先生的税后利息为多少?

如果期限为3个月，到2004年6月15日，问到期后张先生的税后利息为多少?

如果期限为12个月，到2005年3月15日，问到期后张先生的税后利息为多少?1.3.2实数运算在经济中的应用举例举例(1)3个月后取出的税后利息为:(2)6个月后取出的税后利息为:(3)12个月后取出的税后利息为:例3答案：

解：根据利率的有关规定,月利率=年利率×,税后利息=本金×月利率×存期×(1－20%),所以1.3.2实数运算在经济中的应用

例4：赵大妈于2003年10月2日存入20000元人民币，期限为一年，如果在2004年9月2日提前支取了该笔存款，问应得税后利息为多少(活期储蓄存款的利率是0.72%)?解：按现行规定,提前支取存款的利率按活期计算，因此税后利息应为：举例举例1.3.2实数运算在经济中的应用类型二零存整取

例5：如果某客户向银行约定每个月存入1000元人民币，存期为12个月，问该客户一年后得到的本利和为多少(零存整取一年的利率为1.71%)?1.3.2实数运算在经济中的应用举例举例税后利息=本金月利率本利和=本金＋税后利息。所以，一年后客户所得本利和为类型二零存整取1000×12＋88.92＝2088.92(元)因此客户税后利息为:解：1.3.2实数运算在经济中的应用例5答案：类型三定活两便存期计息方式不足三个月整个存期按支取日的活期储蓄利率计付利息三个月(含三个月)以上，不满半年整个存期按支取日定期整存整取三个月利率打六折计付利息半年以上(含半年)，不满一年整个存期按支取日定期整存整取半年期利息打六折计付利息存期在一年以上(含一年)整个存期按支取日定期整存一年期存款利率打六折计付利息1.3.2实数运算在经济中的应用类型三定活两便

例6：如果李大爷于2007年5月1日存入本金为12000元人民币，类型为定活两便，于2007年9月1日支取，问李大爷支取时得到利息为多少？本利和为多少？1.3.2实数运算在经济中的应用举例举例解：定活两便存期4个月税后利息=所以，李大爷税后利息＝类型三定活两便

本利和=12000＋32.83＝12032.83

(元)1.3.2实数运算在经济中的应用例6答案想一想，练一练想一想，练一练1、王女士于2004年3月31日存入19551元人民币，期限为六个月，到期日为2004年9月30日，问到期后王女士的税后利息为多少？想一想，练一练想一想，练一练2、李大妈于2004年6月1日存入本金为25500元人民币，类型为定活两便，于2004年10月1日支取，问李大妈支取得到利息为多少？本利和为多少第2章方程、方程组及应用第2章方程、方程组及应用第2章方程、方程组及应用全国中等职业学校财经类教材财经应用数学引言引言我们日常生活中常遇到一些相等数量关系的问题，例如：总价=半价×货物数量；路程=速度×时间；在这些相等的数量关系中，我们常遇到已知其中的一些量求未知量的情况，而列方程解应用题恰是一种行之有效的方法。例如这样一个问题：一个小商贩向顾客推销一个赛车玩具，原价10元打八折后再便宜2元，卖了以后，小商贩还能获利20%，问这个赛车玩具进货价多少元？这样的问题如果用方程来解答就很简单了！引言引言第2章方程、方程组及应用§2.1方程和方程组§2.1方程和方程组内容提要内容提要方程与方程组一元一次方程一元二次方程二元一次方程组

分式方程

无理方程学习目标学习目标1.理解一元一次方程的概念2.会求解一元一次方程2.1.1一元一次方程2.1.1一元一次方程.看一看，想一想看一看，想一想仔细观察以下两条方程并说出其特点：(1)(2)1.方程有多少个未知数？2.未知数的最高次数是多少？2.1.1一元一次方程1.一元一次方程的概念

只有一个未知数且未知数的最高次数是1的方程叫做一元一次方程。一元一次方程的一般形式:是未知数的系数，是常数项。例如：在一元一次方程中，是未知数，和－3是已知数，我们把称做未知数的系数，－3称做常数项．

2.1.1一元一次方程2.一元一次方程的解法

解一元一次方程的基本步骤:①有分母先去分母：方程两边同时乘以各分母的最小公倍数；②有括号先去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号；③移项：将方程中的某些项从方程的一边移到另一边，同时改变该项符号；④合并同类项：化为一元一次方程的最简形式（）；⑤系数化为1：方程两边都除以未知数的系数，得方程的解：．2.1.1一元一次方程2.一元一次方程的解法

举例举例例1．2.1.1一元一次方程2.一元一次方程的解法

举例举例例2．2.1.1一元一次方程解下列一元一次方程:.(1)(2)想一想练一练学习目标学习目标1.理解一元二次方程的概念2.会求解一元二次方程2.1.2一元二次方程2.1.2一元二次方程.看一看，想一想看一看，想一想仔细观察以下两条方程并说出其特点：(1)(2)1.方程有多少个未知数？2.未知数的最高次数是多少？2.1.2一元二次方程1.一元二次方程的概念

只有一个未知数且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式:例如：在一元二次方程中，叫二次项，3叫做二次项系数；叫一次项，－5叫做一次项系数；6称做常数项．

2.1.2一元二次方程2.一元二次方程的解法

一元二次方程的常用解法有:直接开平方法、公式法、因式分解法、配方法等。（1）直接开平方法2.1.2一元二次方程2.一元二次方程的解法

举例举例例1.2.1.2一元二次方程2.一元二次方程的解法

举例举例例2．2.1.2一元二次方程用直接开平方法解下列一元二次方程:.(1)(2)想一想练一练2.1.2一元二次方程2.一元二次方程的解法

（2）公式法2.1.2一元二次方程2.一元二次方程的解法

（2）公式法用公式法解一元二次方程的一般步骤:2.1.2一元二次方程2.一元二次方程的解法

举例举例例3．2.1.2一元二次方程用公式法解下列一元二次方程:.(1)(2)想一想练一练2.1.2一元二次方程2.一元二次方程的解法

（3）因式分解法用因式分解法解一元二次方程的一般步骤:①通过移项将方程右边化为零;②当方程的左边能分解因式时,就将左边的二次三项式分解为两个一次因式的积;③令每个因式分别为零,得到两个一元一次方程;④解这两个一元一次方程,它们的解就是原一元二次方程的解.2.1.2一元二次方程2.一元二次方程的解法

举例举例例4．2.1.2一元二次方程2.一元二次方程的解法

举例举例例5．2.1.2一元二次方程解下列一元二次方程:.(1)(2)想一想练一练学习目标学习目标1.理解二元一次方程组的概念2.会求解二元一次方程组2.1.3二元一次方程组2.1.3二元一次方程组看一看，想一想看一看，想一想仔细观察以下两条方程并说出其特点：(1)(2)1.方程有多少个未知数？2.未知数的最高次数是多少？3.方程有多少组解？2.1.3二元一次方程组1.二元一次方程组的相关概念

有两个未知数且未知数的最高次数都是1的方程叫做二元一次方程。

由两个二元一次方程而组成的一组方程叫做二元一次方程组。

使二元一次方程组中每个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。2.1.3二元一次方程组2.二元一次方程组的解法

二元一次方程组的常用解法有:代入消元法和加减消元法。（1）代入消元法

通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来求解，这种解法叫做代入消元法。2.1.3二元一次方程组2.二元一次方程组的解法

举例举例例1

．2.1.3二元一次方程组解下列二元一次方程组:.(1)(2)想一想练一练2.1.3二元一次方程组2.二元一次方程组的解法

（2）加减消元法

方程组中，若有某未知数的系数的绝对值相等（若不等，可通过同解变形使其相等），可将两个方程相加（或相减）而消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程求解，这种解法叫做加减消元法。2.1.3二元一次方程组2.二元一次方程组的解法

举例举例例2．2.1.3二元一次方程组解下列二元一次方程组:.(1)(2)想一想练一练学习目标学习目标1.理解分式方程的概念2.会求解分式方程2.1.4分式方程2.1.4分式方程看一看，想一想看一看，想一想1.分母是否含有未知数？2.第（2）（3）条方程与第（1）方程有什么区别？仔细观察以下三条方程并说出其特点：(1)(2)(3)2.1.4分式方程

分母中含有未知数

的方程叫做分式方程。1.分式方程的概念

2.1.4分式方程2.分式方程的解法

解分式方程的一般步骤:(1)在分式方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程；(2)解这个整式方程；(3)检验：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去；使最简公分母不等于零的根是原方程的根。2.1.4分式方程2.分式方程的解法

举例举例例1

．2.1.4分式方程2.分式方程的解法

举例举例例2

．2.1.4分式方程解下列分式方程:.(1)(2)想一想练一练学习目标学习目标1.理解无理方程的概念2.会求解简单的无理方程2.1.5无理方程2.1.5无理方程看一看，想一想看一看，想一想1.根号里是否含有未知数？2.第（2）（3）条方程与第（1）方程有什么区别？仔细观察以下三条方程并说出其特点：(1)(2)(3)2.1.5无理方程

根号里含有未知数

的方程叫做无理方程。1.无理方程的概念

2.1.5无理方程2.无理方程的解法

解无理方程的基本思路:

将无理方程转化为有理方程来求解。解无理方程的常用方法:

将无理方程两边都乘方相同的次数，化为有理方程，再进行求解，然后检验根。2.1.5无理方程2.无理方程的解法

举例举例例1

．2.1.5无理方程2.无理方程的解法

举例举例例2

．2.1.5无理方程解下列无理方程:.(1)(2)想一想练一练第2章方程、方程组及应用§2.2方程和方程组的应用§2.2方程和方程组的应用全国中等职业学校财经类教材财经应用数学内容提要内容提要方程和方程组的应用一元一次方程的应用一元二次方程的应用二元一次方程组的应用学习目标学习目标1.掌握列方程解应用题的一般方法2.会运用一元一次方程或一元二次方程求解实际问题2.2.1方程的应用.

通过列方程来解答实际问题，关键在于找出问题中有关数量的相等关系，列出方程，求得方程的解后,经过检验，便可得到实际问题的解答。2.2.1方程的应用.列方程解应用题的一般步骤:

1.弄清题意和题目中的数量关系，用字母（如

x）表示题目中的未知数；

2.找出应用题中各数量之间的等量关系；

3.根据等量关系列出方程；

4.解方程，求出未知数的值；

5.检验求得的值是否正确和是否符合题意，写出答案。2.2.1方程的应用2.2.1方程的应用1.一元一次方程的应用

举例举例例1在商品市场经常可以听到小贩的叫嚷声和顾客的讨价还价声：“10元一个的玩具赛车打八折，快来买啊！”“能不能再便宜2元？”如果小贩真的让利（便宜）2元卖了，他还能获利20%，根据公式：

利润=进价×利润率

=销售价×打折数-让利数-进价求一个玩具赛车的进价是多少元？2.2.1方程的应用1.一元一次方程的应用

举例举例2.2.1方程的应用1.一元一次方程的应用

举例举例例2设商业批发部门核定某种商品的批发价格的计算公式是：批发价格=出厂价格+流通费用+营业税+利润，其中：出厂价格每吨1300元；流通费用中的利息费用是以商品平均储存期为两个月，银行借款月息按6‰计算；除利息外的其他流通费用综合为销售收入的1.8%；批发营业税按规定是毛利收入的10%；计划利润定为销售收入的5%。试计算该商品的批发价格。2.2.1方程的应用1.一元一次方程的应用

举例举例2.2.1方程的应用某商品的售价780元，为了薄利多销，商场按售价的9折销售再返还30元礼券，此时仍可获利10%，此商品的进价是多少元？想一想练一练2.2.1方程的应用2.一元二次方程的应用

举例举例例3云南省是我国花卉产业大省，一年四季都有大量鲜花销往全国各地，花卉产业已成为云南省许多地区经济发展的重要项目。近年来某乡的花卉产值不断增加，2003年花卉的产值是640万元，2005年产值达到1000万元。（1）求2004年、2005年花卉产值的年平均增长率；（1）增长率问题2.2.1方程的应用2.一元二次方程的应用

举例举例例3云南省是我国花卉产业大省，一年四季都有大量鲜花销往全国各地，花卉产业已成为云南省许多地区经济发展的重要项目。近年来某乡的花卉产值不断增加，2003年花卉的产值是640万元，2005年产值达到1000万元。（2）若2006年花卉产值继续稳步增长（即年增长率与前两年的年增长率相同）。那么2006年这个乡的花卉产值将达到多少万元？（1）增长率问题2.2.1方程的应用某农场粮食在两年内从3000吨增长到3630

吨，问其平均每年增产的百分率是多少？想一想练一练2.2.1方程的应用2.一元二次方程的应用

举例举例例4某商场原来将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可售出100件，后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量就可增加10件。(1)求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）利润问题2.2.1方程的应用2.一元二次方程的应用

举例举例例4某商场原来将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可售出100件，后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量就可增加10件。（2）若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？（2）利润问题2.2.1方程的应用1.某种产品，原来每件的成本是300元，由于连续两次降低成本，现在的成本是195元，问平均每次降价了百分之几？（精确到1%）2.某商场今年1月份销售额是100万元，2月份销售额下降了10%，随后该商场采取措施改进经营管理，使月销售额大幅上升，4月份的销售额达到129.6万元，求3、4月份平均每月销售额增长的百分数。想一想练一练学习目标学习目标1.掌握列方程组解应用题的一般方法2.会运用二元一次方程组求解实际问题2.2.2方程组的应用2.2.2方程组的应用.

在实际生活中，我们常常会遇到所求的未知量不止一个的问题，这时设两个或多个未知数往往容易列出方程组，从而把问题转化为解方程组。2.2.2方程组的应用.列方程组解应用题的一般步骤:

1.弄清题目中的数量关系，找出未知数，用x、y

表示所要求解的两个未知数；

2.找出应用题中各数量之间的所有等量关系；

3.根据各个等量关系，列出方程组；

4.解方程组，求出各个未知数的值；

5.检验求得的值是否正确和是否符合题意，写出答案。2.2.2方程组的应用1.二元一次方程组的应用

举例举例例1小明买了80分与2元的邮票共16枚，花了18元8角，80分和2元的邮票各买了多少枚？2.2.2方程组的应用1.二元一次方程组的应用

举例举例例2A、B两地相距1375米，甲跑步，乙骑车，他们都从A地前往B地。甲提前10分钟出发，到达B地后立即返回，在返回的路上与乙相遇，相遇时乙骑车行了5分钟；相遇后他们都返回A地，当乙回到A地时，甲离A地还有750米。求甲和乙的速度各是多少。2.2.2方程组的应用1.二元一次方程组的应用

举例举例[分析]AB相遇处设甲的速度为每分钟x米，乙的速度为每分钟y米，则数量关系如下图。5y(10+5)x数量关系一：甲15分钟的路程+乙5分钟的路程=1375×2数量关系二：乙5分钟的路程=甲5分钟的路程+7502.2.2方程组的应用1.二元一次方程组的应用

举例举例例2A、B两地相距1375米，甲跑步，乙骑车，他们都从A地前往B地。甲提前10分钟出发，到达B地后立即返回，在返回的路上与乙相遇，相遇时乙骑车行了5分钟；相遇后他们都返回A地，当乙回到A地时，甲离A地还有750米。求甲和乙的速度各是多少。2.2.2方程组的应用1.二元一次方程组的应用

举例举例2.2.2方程组的应用1.如果矩形的一边增加1厘米，而相邻的边减少1厘米，那么它的面积就增加了3平方厘米，已知这个矩形原来的面积是12平方厘米，求它的长和宽。2.甲、乙二人相距6km，二人同时出发，若同向而行，甲3小时可追上乙；若相向而行，1小时相遇，问二人的平均速度各是多少？想一想练一练第3章集合、逻辑用语及应用第3章集合、逻辑用语及应用第3章集合、逻辑用语及应用全国中等职业学校财经类教材财经应用数学引言引言日常生活中，我们经常遇到很多具有共同特征的总体，如某校会计专业部的会计老师或全校的数学老师等，为了清楚陈述这些概念或共同特征对象，需引入集合的相关概念及运算关系。逻辑用语也是我们日常交际与交流、相互学习和工作中不可缺少的工具，尤其是财经类学生学习财经与会计知识，也要以数学逻辑为基础。我们来看生活中的一个例子：08级财会专业的学生有750人，其中会骑自行车的有370人，会游泳的有420人，两样中至少会一样的有600人，问：①两样都会的有多少人？

②两样都不会的有多少人？学完本章后你将会觉得这个问题很简单！引言引言第3章集合、逻辑用语及应用§3.1集合§3.1集合学习目标学习目标1.理解集合与元素的概念,掌握集合的表示方法,

会准确表达元素与集合的关系.2.理解集合的子集、真子集、集合相等的概念；并能正确用符号判断表示两个集合之间的关系

3.理解集合的交集、并集、补集的概念；并掌握交集、并集、补集的运算。内容提要内容提要

集合的运算集合与集合的关系集合的概念与表示集合3.1.1集合的概念与表示1．集合的概念通常我们把具有某种属性的一些事物的全体叫做集合

,简称集.把构成集合的那些事物叫做集合的元素，简称元．例如：某中等职业学校财经专业部全体学生构成一个集合，其中财经专业部的每个学生都是这个集合的元素；你能再举出几个集合的例子吗?3.1.1集合的概念与表示2．集合的表示法◆集合与元素的简单表示通常用大写的英文字母A、B、C…表示集合，用小写的英文字母a、b、c…表示集合的元素．3.1.1集合的概念与表示2．集合的表示法习惯使用下列几个字母表示特定的数集:代表自然数集（包括0）；

代表正整数集；代表整数集；代表有理数集；代表实数集．3.1.1集合的概念与表示2．集合的表示法◆集合的常用表示方法————列举法与描述法(1)列举法:把集合里的元素一一列举出来，元素之间用逗号隔开，并写在一个大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法

3.1.1集合的概念与表示2．集合的表示法(1)列举法:例如：①由数1，2，3，4，5组成的集合，可以表示为{1,2,3,4,5}；②由2008年1月1日执行的人民币各年限贷款利率组成的集合为{6.57%,7.47%,7.56%,7.74%,7.83%}．3.1.1集合的概念与表示2．集合的表示法◆集合的常用表示方法————列举法与描述法(2)描述法:把描述集合中元素的公共属性或表示集合中元素的规律，写在大括号内来表示集合的方法叫做描述法．元素的一般形式元素的公共属性{x|p(x)}3.1.1集合的概念与表示2．集合的表示法◆集合的常用表示方法————列举法与描述法(2)描述法:例如：①由所有大于0而小于1的实数组成的集合可以表示为{x|0＜x＜1}②不等式x＋3＞0的解集可以表示为.{x|x＋3＞0}3.1.1集合的概念与表示(2)描述法:有时为了方便，还可以把满足某种条件的元素的名称直接写在大括号内来表示集合．例如，由所有正方形构成的集合可以表示为{正方形}．3.1.1集合的概念与表示举例举例例1

用列举法表示下列集合（1）所有小于5的自然数所构成的集合；（2）由会计的基本要素构成的集合；（3）所有小于100的正奇数所构成的集合．3.1.1集合的概念与表示举例举例例1

用列举法表示下列集合（答案）

解：（1）设所有小于5的自然数构成的集合是A，则A＝{0，1，2，3，4}；（2）设由会计的基本要素构成的集合是B，则B＝{资产，负债，所有者权益，收入费用，利润}；（3）设所有小于100的正奇数所构成的集合是C，则C＝{1，3，5，7，…，99}．3.1.1集合的概念与表示举例举例例2*

用列举法表示下列集合(1)方程x2-5x-36=0的解的集合；(2)满足方程：x+y=6，x∈N+，y∈N+的点的集合。（3）由小于100的自然数所组成的集合3.1.1集合的概念与表示举例举例例2*

用列举法表示下列集合（答案）

解：(1)方程x2－5x－36=0解的集合为{-4，9}；(2)满足方程：x+y=6，x∈N+，y∈N+的点的集合为{（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）}（3）小于100的自然数所组成的集合为{0，1,2,3,…,99}.3.1.1集合的概念与表示举例举例例3

用描述法表示下列集合（1）由所有的统计报表组成的集合；（2）由所有正奇数组成的集合；（3）由满足不等式2＜x＜3所有实数解组成的集合.3.1.1集合的概念与表示举例举例例3

用描述法表示下列集合（答案）

解：

（1）设由所有的统计报表组成的集合为A，则A={统计报表}.

（2）设所有正奇数组成的集合为B，则B={x∣x=2n－1，n∈N+}.

（3）设由满足不等式2＜x＜3所有实数解组成的集合为C，则C={x∣2＜x＜3}.3.1.1集合的概念与表示举例举例例4

*

用描述法表示下列集合（1）由第一象限所有的点组成的集合（2）满足方程2x+3y=0所有解组成的集合

（3）由所有大于10的有理数构成的集合3.1.1集合的概念与表示举例举例例4

*

用描述法表示下列集合（答案）解：（1）由第一象限所有的点组成的集合表示为

{(x,y)︱x＞0,且y＞0}.（2）满足方程2x+3y=0所有解组成的集合表示为：

{(x,y)︱2x+3y=0}.

（3）由所有大于10的有理数构成的集合表示为：

{x︱x＞10且x∈Q}3.1.1集合的概念与表示3．元素与集合关系如果a是集合A的元素就说a属于集合A，记作“a∈A”；如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作3.1.1集合的概念与表示3．元素与集合关系怎样去才知道某个元素是否属于集合？要看在这个集合里是否能找到这个元素！3.1.1集合的概念与表示3．元素与集合关系对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的；是互异的；是无序的．3.1.1集合的概念与表示3．元素与集合关系

（1)集合中的元素是确定的．例如，由所有小于5的自然数构成的集合．集合中的元素是：0，1，2，3，4；（2）集合中的元素是互异的即同一集合中的元素是没有重复现象的．例如集合{1，1，2，2，3，3}应记作{1，2，3}；3.1.1集合的概念与表示3．元素与集合关系用列举法表示集合时，不必考虑元素之间的顺序．例如，由三个元素1，2，3组成的集合可以表示为：{1，2，3}，{2，3，1}或{3，1，2}．（3）集合中的元素是无序的．3.1.1集合的概念与表示3．元素与集合关系观察元素3、5、8与集合{1，3，4，5，7}的关系如何？{1,3,4,5}．3∈{1，3，4，5，7}；5∈{1，3，4，5，7}；83.1.1集合的概念与表示举例举例例5：用符号∈和来填空：（1）1____N(2)0_____Q(3)-3_____Z(4)3.14_____Q(5)0_____N

3.1.1集合的概念与表示举例举例例5：用符号∈和来填空（答案）解：（1）1∈N（2）0∈Q

（3）-3∈Z（4）3.14∈QQ（5）0∈N（6）∈R（7）Z（8）3.1.1集合的概念与表示想一想练一练１．用列举法表示下列集合：（1）大于3小于15的偶数构成的集合；（2）方程（x-2）(x-3)＝0的实数根所构成的集合；（3）中国四大银行所构成的集合；（4）﹡方程x2-2x-3=0的解的集合.3.1.1集合的概念与表示想一想练一练2．用描述法表示下列集合：（1）由所有大于2而小于7的实数构成的集合；（2）所有大于–1而小于8的整数构成的集合；（3）所有家具企业构成的集合；（4）所有正偶数构成的集合；（5）能被5整除的所有实数构成的集合；3.1.1集合的概念与表示想一想练一练3．用适当的符号填空：（1）0__{0},0__(2）－2___{x||x|＝2}，3___{x︱x3=27}；（3）4____{1,2,3}（4）c____{a，b}（5）π____R(6)0_____Φ3.1.2集合与集合的关系1.子集设A、B为集合，如果A中的每一个元素都是B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集.

记作AB或BA，

读作“A包含于B”或“B包含A”．

例如，整数集Z是有理数集Q的子集，即ZQ有理数集Q是实数集R的子集，即QR3.1.2集合与集合的关系1.子集某超市全部商品A该超市全部食品类商品B

其中，集合A表示超市的全部商品，集合B表示该超市中全部食品类的商品，这样，集合B是集合A的子集，记作ＢＡ．3.1.2集合与集合的关系1.子集任何一个集合都是它本身的子集，即AA同时，我们规定，空集是任何集合A的子集，即A3.1.2集合与集合的关系2.真子集如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于集合A，那么集合A叫做集合B的真子集

记作AB或BA读作“A真包含于B”或“B真包含A”．例如，N+NZQR3.1.2集合与集合的关系2.真子集当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，B或BA记作A例如，集合A＝{a，b