初中数学人教版八年级上册 第十一章 三角形复习教学设计（共8课时）

“三角形”单元教学设计【学习内容】内容组合：人教版教材八年级上册第十一章《三角形》统领要素：三角形的概念、表示、分类、有关线段和角、基本性质、应用.【学习目标】1.理解三角形的概念和表示，会对三角形进行分类1.1从生活实例发现三角形的共同特征；1.2根据图形的主要特征概括出三角形概念，并会用数学符号表示；1.3从边和角度对三角形分类.2.理解三角形有关线段的概念和特征2.1理解三角形的三边关系，会证明三角形的任意两边之和大于第三边；2.2理解三角形的高线、中线、角平分线的概念；2.3了解三角形重心的概念.3.理解三角形有关角的概念和特征3.1探索并证明三角形的内角和定理；3.2理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的锐角互余，掌握有两个角互余的三角形是直角三角形；3.3掌握三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.4.了解三角形的基本性质4.1了解三角形的稳定性；4.2了解四边形的不稳定性.5.了解多边形的相关概念，掌握多边形外角和与外角和公式5.1了解多边形的概念；5.2了解多边形的顶点、边、内角、外角与对角线；5.1探索并掌握内角和与外角和公式.6.应用三角形、多边形的边角特征和基本性质解决问题6.1综合应用三角形的边角特征和基本性质解决三角形问题；6.2把三角形的稳定性、四边形的不稳定性应用于实际生活；6.3用几何语言完整地表达解决问题的过程，思维严谨，表述清晰，推理有据.【核心任务】三角形是最简单的多边形，也是认识其他图形的基础，本章将在学习三角形及其有关的线段和角的基础上，学习多边形的相关知识，学习本章后，我们不仅可以进一步认识三角形，而且还可以了解研究几何问题的基本思路和方法.核心任务一：理解三角形的定义分类.根据实物的共同特征，抽象出三角形的概念，并用数学符号表示，并从角和边的角度分类；核心任务二：掌握三角形的性质特征.关注三角形的边、角的关系特征，推理并掌握三角形的内角和定理及推论，证明三角形三边关系，了解三角形的稳定性；核心任务三：了解多边形的定义性质.类比三角形的定义进一步研究多边形，借助三角形的内角和探究多边形的内角和与外角和；核心任务四：三角形、多边形的性质应用。利用三角形的边角特征和性质解决简单问题，并将图形平铺应用于生活实际.【课时安排】本单元学习共8个课时：11.1与三角形有关的线段3课时11.2与三角形有关的角3课时11.3多边形及其内角和2课时第一课时【内容段落】段落一：定义对象段落二：符号表示段落三：图形分类段落四：三边关系【侧重目标】目标1.1，目标1.2，目标1.3，目标2.1，目标6.1.【评价任务】1.完成“小组合学1”“小组合学2”，评估目标1.1，1.2；2.完成“小组合学3”“深化探究”“练习应用”，评估目标1.3，2.1；3.完成“后续学习”，评估目标1.1，1.2，1.3，2.1，6.1.【学习过程】先行学习展示实物，播放图片，特别突出屋顶结构图.任务1：请仔细观察实物与课件，找出不同的三角形.与同伴交流各自找到的三角形.这些三角形有什么特点？交互学习段落一定义对象〖小组合学1〗围绕任务1，通过学生间交流，师生共同得出：1.由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．2.三角形有哪些基本要素：边、角、顶点．段落二符号表示〖小组合学2〗教师强调，为了简单起见：三角形用符号“△”表示，如图的三角形ABC就表示成△ABC,三个顶点为：A，B，C，三边分别为:AB，BC，AC。通常顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示.任务2：图中有几个三角形？用符号表示这些三角形.段落三图形分类〖小组合学3〗三边都相等的三角形叫做等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。问题：那么等边三角形是否属于等腰三角形呢？任务3：我们以前按角的大小是如何分类的？如何按照边的关系对三角形进行分类？围绕任务3，通过小组研讨，学生得出，三角形的分类：1.按角的大小分类锐角三角形2.按边的关系分类&段落四三边关系〖深化探究〗任务4：学生自主探究问题（1）任意画一个△ABC，从点B出发，沿边到点C，有几条路线？（2）各条路线的长有什么关系？说明理由.围绕任务4，学生画出图形并探讨，得出结论：三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.通过小组研讨，证明以上结论，并推出：三角形两边之差小于第三边.〖练习应用〗1.下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？3，4，8（2）5，6，11（3）5，6，10三、后续学习1.图中有几个三角形？用符号表示这些三角形.2.长为10，7，5，3的四根木条，选其中三根组成三角形，有几种选法？为什么？3.用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形（1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边长是4cm的等腰三角形吗？为什么？4.举例说说生活中三角形应用的实例.第二课时【内容段落】段落一、创设情境引入新课段落二、合作交流探索新知段落三、应用迁移巩固提高【侧重目标】目标2.2，目标2.3.【评价任务】1.通过完成活动一、活动二、活动三，评估目标2.2；【学习过程】一、先行学习1.过直线外一点作已知直线的垂线2.作已知线段的中点3.作已知角的角平分线二、交互学习段落一创设情境引入新课1.你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗？2.过三角形的一个顶点，你能画出它到对边的垂线段吗？教师给出三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.如图，线段AD是边BC上的高.符号语言：在△ABC中，∵AD⊥BC，∴AD是△ABC的边BC上的高.活动一：师生共同探究三角形的三条高之间的关系.1.锐角三角形的三条高教师让学生画一个锐角三角形，并完成下列问题（1）你能画出这个三角形的另两条高吗？（2）这三条高之间有怎样的位置关系？答案：锐角三角形的三条高交于同一点.锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部？答案：锐角三角形的三条高都在三角形的内部.2.教师提出，如果画的是一个直角三角形，那么他的三条高会有怎样的位置关系呢？答案：直角边BC上的高是AB；直角边AB上的高是CB；斜边AC上的高是BD.通过观察发现，直角三角形的三条高交于直角顶点.3.钝角三角形的三条高教师提出：（1）钝角三角形的三条高交于一点吗？（2）它们所在的直线交于一点吗？学生通过自己画出钝角三角形的高，得出结论，钝角三角形的高不相交于一点，但三条高所在直线交于一点.通过对三种类型的三角形进行作高，完成下列表格：即：三角形的三条高所在直线交于一点.设计意图：学生在小学时，已经学过三角形的高，因此由难易程度较低的三角形的高进行本课的开始，引导学生用已学的知识发现“新学”的知识，从而培养学生自主探究的能力.段落二合作交流探索新知活动二：三角形的中线教师展示课件，给出定义.在三角形中，连接一个顶点和它所对的边的中点的线段叫做三角形的中线.符号语言：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD=12B教师提出，学生在刚才练习所画出的三角形中，利用刻度尺画出这个三角形另两条边的中线，有发现了什么？学生通过实践得出：三角形的三条中线相交于一点，交点在三角形的内部.教师提出，取一块质地均匀的三角形木板，顶住三条中线的交点，木板会保持平衡，这是为什么呢？学生进行思考，逐渐有重心的概念.教师顺势给出：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.活动三：三角形的角平分线教师展示课件，给出定义.在三角形中，一个内角的平分线和它所对的边相交于一点，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.符号语言：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC教师提出，学生在练习本上，利用量角器画出这个三角形三个角的角平分线,有发现了什么?学生通过实践得出：三角形的三条角平分线相交于一点，交点在三角形的内部.为了加深学生印象，教师展示课件，让学生完成填空.∵BE是△ABC的角平分线，∴∠ABE=∠CBE=12∠ABC∵CF是△ABC的角平分线，∴∠ACB=2∠ACF=2∠BCF.教师提问：三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？学生积极回答，教师适当表扬学生，最后总结：三角形的角平分线是一条线段，角的平分线是一条射线.设计意图：本环节新学的两种线段，对于学生来说，不难理解，因此可以通过实践、讨论等方式丰富课堂，让学生印象深刻之余还培养了学生的语言表达能力.段落三应用迁移巩固提高例1.如图，△ABC中，边BC、AC上的高分别是AD、BE.已知BC=5cm，AD=6cm，AC=7cm，求BE的长度.例2.如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高.试判断△ABD和△ADC的面积有何关系例3.如图，已知：△ABC中，BD、CE分别是△ABC的两条角平分线，相交于点O.（1）当∠ABC=60°，∠ACB=80°时，求∠BOC的度数.（2）当∠A=40°时，求∠BOC的度数.（3）当∠A=x°时，求∠BOC的度数(用含x代数式表示)设计意图：学生刚学习新课知识，通过教师讲解例题，总结方法，加深学生对新知识的理解.【答案】BE的长度为307cmS△ABD=S△ADC.（1）∠BOC=10°；（2）∠BOC=110°；（3）∠BOC=90°+12x.三、后续学习(拓展延伸能力提升)1.不等边△ABC的两条高长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长．2.已知等边三角形ABC和点P，设点P到△ABC三边AB，AC，BC的距离分别为h1，h2，h3，△ABC的高AM的长为h.若点P在△ABC的边BC上，如图①所示，此时，h3=0，可得结论h1+h2+h3=h.当点P在△ABC内或在△ABC外时，如图②③所示，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；不成立h1，h2，h3与h之间有怎样的关系？请写出你的猜想.设计意图：本环节难度较高，综合性较强，展现了教学有弹性、有梯度的理念.【答案】1.h=5.2.如图2，当点P在△ABC内时，结论成立．证明如下：连接PA，PB，PC∵S△PAB+S△PAC+S△PBC＝S△ABC∴12BC·AM=12AB·PD+12BC·PF+12∵△ABC是等边三角形∴AB=AC=BC，∴AM=PD+PF+PE，∴h1+h2+h3=h，当点P在△ABC外时，结论不成立.四、总结反思知识内化课堂小结：三角形的角平分线、中线、高的比较相同点：都是线段；都从顶点画出；所在直线都相交于一点.不同点：角平分线反映的是角的相等关系；中线反映的是线段的相等关系；高反映的是它和对边或对边所在直线的垂直关系.设计意图：通过知识小结，使学生梳理本节课所学内容，理解本课核心知识，提高学习质量.第三课时【内容段落】三角形的稳定性【侧重目标】目标4.1，目标4.2，目标6.2【评价任务】1.完成“小组合学1”“小组合学2”，评估目标4.12.完成“小组合学2”“深化探究”“练习应用”，评估目标4.2，6.2；3.完成“后续学习”，评估目标4.1，4.2，6.2【学习过程】一、先行学习工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架，其中的道理是什么？盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条.为什么要这样做呢？二、交互学习〖小组合学1〗围绕任务1，通过学生间交流，师生共同得出：三角形具有稳定性〖小组合学2〗如图(1)，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？如图(2)，将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？如图(3)，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？结论：三角形木架的形状不会改变，而四边形木架的形状会改变．就是说三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性．〖深化探究〗四边形不具有稳定性，人们往往通过改造，将其变成三角形从而增强其稳定性.三角形的稳定性在生活中有广泛的应用，你能举出一些例子吗？四边形的不稳定性在生活中也有广泛的应用，你能举出一些例子吗？学生探讨，得出结论：“只要三角形三条边的长度固定,这个三角形的形状和大小也就完全确定,三角形的这种性质叫做“三角形的稳定性”.这就是说,三角形的稳定性不是“拉得动、拉不动”的问题,其实质应是“三角形边长确定，其形状和大小就确定了”.〖练习应用〗1.如图所示，工人师傅砌门时，常用木条EF固定门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是()A.两点之间线段最短B.三角形两边之和大于第三边C.长方形的四个角都是直角D.三角形的稳定性2、下列设备,没有利用三角形的稳定性的是()A.活动的四边形衣架B.起重机C.屋顶三角形钢架D.相机支架三、后续学习1、下列图形中，具有稳定性的有（填序号）。2.人站在晃动的公共汽车上．若你分开两腿站立，则需伸出一只手去抓栏杆才能站稳，这是利用了.第四课时【内容段落】三角形的内角【侧重目标】目标3.1，目标3.2.【评价任务】通过创设恰当且有趣的情景，引发学生思考，并通过动手操作、实践、推理等方法验证了三角形的内角和为180°，强化了对性质的理解，采用了小组合作学习的方法促进学生的合作探究能力和培养了学生的逻辑推理能力。【学习过程】一、创设情境内角三兄弟之争：在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结。可是有一天，二哥突然不高兴，发起脾气来，它指着大哥说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”大哥说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？”二哥很纳闷。教师提问：同学们，你们知道其中的道理吗？学生回答：三角形的内角和为180°。教师追问：可以通过哪些方法验证这个结论呢？学生回答:可以通过度量或剪拼的方法。教师提到这两种验证方法不能完全让人信服，能否通过几何推理的方法给与证明呢？二、引入新课，探究新知利用剪拼三角形的经验，证明三角形内角和是180°学生动手：将三角形的三个内角剪下来拼合在一起，你有什么发现吗，你能证明你的发现吗？小组合作讨论：通过讨论，小组代表介绍讨论成果。已知：△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°.证法一：过点A作l∥BC，∴∠B=∠1.(两直线平行,内错角相等)∠C=∠2.(两直线平行,内错角相等)∵∠2+∠1+∠BAC=180°，∴∠B+∠C+∠BAC=180°.教师让学生尝试其他证法.证法二：思路点拨（学生完成）思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？三角形内角和等于180°的核心是借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.思考：还有其它方法吗？结论：三角形的内角和等于180°.三、快速训练，应用定理求出下列各图中的x值．四、例题分析，能力提升例1：课本例题例2、变式训练：如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数．教师给予学生充足时间思考，然后抽选学生回答解题思路,教师在黑板上板书。五、课堂练习，巩固新知1.如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃,那么最省事的办法是()A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去2.如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=_______.3.如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度数．反思回顾，归纳总结1.本节课，我学到了哪些知识？2.本节课，给我感受最深的是什么？3.课后你准备对哪方面进行进一步研究？七、学情反馈，布置作业课本第13页练习1、2，习题3.第五课时【内容段落】段落一：直角三角形的组成段落二：直角三角形的性质段落三：直角三角形的判定段落四：直角三角形性质与判定的运用【侧重目标】目标3.2，目标6.3.【评价任务】1.完成“小组合学1”“小组合学2”，评估目标4.2；2.完成“小组合学3”“深化探究”“练习应用”，评估目标3.2，6.3；3.完成“后续学习”，评估目标3.2，3.3，6.3.【学习过程】一、先行学习任务1：在草稿纸上任意画一个三角形？任务2：画出该三角形的高线，（请一个同学上黑板板演）任务3：思考？作了高线后，图片中有了哪些三角形？像……这样的三角形，它的边、角之间有哪些关系呢？带着这个问题我们走进这一课。二、交互学习段落一直角三角形的构成〖小组合学1〗围绕任务3，通过学生间交流，师生共同得出：1.构成要素：（1）边：构成直角的两边叫做直角边，直角相对的那边叫做斜边（2）角：一个直角，两个锐角2.学生板演，分别说出图片中有了三角形的边和角3.表示方法：直角三角形ABC记作Rt△ABC段落二直角三角形的性质〖小组合学2〗任务1：观察△ABC,过顶点A画一条高线，图中有哪些直角三角形？任务2：Rt△ABD中，直角是……，锐角是……任务3：猜一猜：直角三角形两锐角间有什么关系？猜想………………任务4：验证猜想：学生交流并总结验证……任务5：得出结论：直角三角形的两锐角互余（和为90）段落三直角三角形的判定〖小组合学3〗通过以上的学习，我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么，这歌直角三角形的两锐角互余，即两锐角的和为90度。问题：那么反过来，有没有办法让我们判断这个三角形是直角三角形呢？思考：有哪些办法可以得出三角形是直角三角形？交流：……任务1：判定三角形是直角三角形的方法有哪些：直角三角形的判定：（1）定义：有一个角为90度的三角形是直角三角形；（2）判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。段落四直角三角形性质与判定的运用〖深化探究〗任务2：例题剖析如图：AB,CD相交于点O,AC垂直于CD于点C,若∠BOD=38度，则∠A=°.（2）在△ABC中，∠B=2∠A,∠C=3∠A，试判定△ABC的形状，并说明理由.〖练习应用〗1.如图：AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，∠B=75度，∠C=45度，求∠DAE的度数后续学习1.一副直角三角尺按如图所示的方式放置，使含30度角的三角尺的直角边和含45度角的三角尺的一条直角边在同一条直线上，则∠1的度数为（）A.75度B.65度C.45度D.30度2.如图所示，AB//CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F,角BEF的平分线与角DFE的平分线相交于点P,求证：三角形EFP是直角三角形。第六课时【内容段落】段落一：三角形外角定义段落二：三角形外角和定理段落三：三角形外角和定理的应用【侧重目标】目标3.3，目标5.1，目标6.3【评价任务】1.完成“小组合学1”“小组合学2”，评估目标3.3，5.1；2.完成“小组合学3”“深化探究”“练习应用”，评估目标6.3.【学习过程】一、先行学习通过回顾三角形内角和的知识，引出三角形外角的概念。提问：“在证明三角形内角和定理时，我们曾将三角形的一边延长，得到的角是什么角？二、交互学习段落一三角形的外角定义〖小组合学1〗围绕任务1，通过学生间交流，师生共同得出：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角段落二三角形外角和定理〖小组合学2〗活动1：分组讨论并尝试证明三角形外角的性质（一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）。探究：∠3与∠1、∠2之间有怎样的数量关系活动2：三角形有多少个外角，它们之间有怎样的数量关系？探究：∠1、∠2、∠3之间又有怎样的数量关系？段落三三角形外角定理的应用〖小组合学3〗利用三角形外角定理来解决实际问题例1：如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，求∠ACD例2：在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，BE、CD相交于F，∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°，求∠BDC和∠BFD的度数。三、后续学习1、说出下列图形中∠1与∠2的度数2、如图，CE是∆ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，求证：∠BAC=∠B+2∠E第七课时【内容段落】段落一：情景导入段落二：新知探究【侧重目标】目标5.1，目标5.2.【评价任务】完成“练习”，评估目标5.1,5.2.【学习过程】一、情境导入活动设计：利用多媒体展示生活中常见的多边形图片（如窗户、地板砖、建筑物等），引导学生观察并找出其中的多边形。目的：激发学生的学习兴趣，引出本节课的课题——多边形。二、新知探究活动一：多边形的定义及概念内容：讲解多边形的定义，即在同一平面内，由不在同一条直线上的n（n≥3）条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做n边形。介绍顶点、边、内角、外角等概念。方法：类比三角形的定义，引导学生归纳出多边形的定义。活动二：凸多边形与凹多边形的区分内容：通过展示不同形状的多边形图片，引导学生观察并区分凸多边形与凹多边形。方法：讲解凸多边形与凹多边形的定义：如果多边形的边都在任意一条边所在的直线的同旁，该多边形即是凸多边形，否则即是凹多边形。小组讨论，动手操作，画出多边形的边所在直线，观察多边形是否在同一侧。活动三：正多边形的定义及性质内容：讲解正多边形的定义，即各边相等、各角相等的多边形。方法：通过展示正三角形、正方形等图形，引导学生观察并归纳出正多边形的性质。强调正多边形定义中的两个关键条件：各边相等、各角相等。活动四：多边形对角线的概念及计算内容：讲解多边形对角线的定义，即连接多边形不相邻的两个顶点的线段。引导学生探究并计算四边形、五边形等多边形的对角线条数。三、后续学习观察图中的图片，其中的房屋结构、蜂巢结构等给我们以由一些线段围成的图形的形象，你能从图中想象出几个由一些线段围成的图形吗？我们学过三角形，类似的得出多边形的概念请你按以下提示思考解决问题（1）回想三角形的表示方法，多边形应如何表示?（2）类比三角形的有关概念，说明什么是多边形的顶点、边、内角、外角和对角线。（3）三角形有对角线吗?为什么?画出三角形、四边形、五边形、六边形、多边形中从一个顶点出发的对角线，写出它的条数；它们把这个多边形分成了几个三角形？（4）下列两个多边形有何异同呢？凸多边形的判断方法：（5）判断一个n边形是正n边形的条件第八课时【内容段落】段落一：内角和公式推导段落二：外角和公式推导段落三：问题解决【侧重目标】目标5.1，目标6.3.【评价任务】1.完成“小组合学1”“小组合学2”，评估目标5.1；2.完成“自我检测”，评估目标6.3.【学习过程】一、先行学习〖知识储备〗1.三角形内角和为.2.长方形内角和为,正方形内角和为。二、交互学习段落一内角和公式推导〖小组合学1〗内角和公式推导教师提出问题：任意一个n（n≥3）边形的内角和是多少呢？1.五边形内角和为.2.六边形内角和为.3.七边形内角和为.4.n边形内角和为.（学生自行阅读教材，寻找相关内容）任务1.学生自主探究问题n边形从一个定点出发引出条对角线.上面(1)中的那些对角线将n边形分成了个三角形.n边形内角和为.上述过程体现了哪些数学思想？完成下列表格一个顶点出发引出的对角线分割的三角形个数内角和度数四边形五边形六边形n边形（n≥3且n为整数）段落二外角和公式推导〖小组合学2〗教师提