黑龙江省龙东十校联盟2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题（含解析）

2025~2026学年度高一年级第二学期开学考试数学考生注意:1.满分150分,考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围:人教A版必修第一册.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知角α=−1670∘,则角αA.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角2.已知集合A={−2,0,A.{5}B.{−2,3.若函数fx=tanωx+φω>0A.1B.2C.4D.84.已知sin5π12−α2A.−1125B.−31255.已知α,β∈R,则“α≠β”A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.某公司为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入，若该公司2025年全年投入科研经费1700万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长13%，则该公司全年投入的科研经费开始超过2500万元的年份是()(参考数据:lg1.13A.2027年B.2028年C.2029年D.2030年7.函数fx=1A.12,2B.228.若a⋅2aA.a<bC.b<c二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.若a>b,A.ac2C.ac>bd10.已知函数fx满足:∀x∈R,fx+1fxA.aB.fxC.fxD.关于x的方程fx=log311.已知函数fx=xA.fxB.gx在1,+∞C.当x∈−π2D.若n>m>0,且g三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.log13.已知m>0,n>0，且m14.已知函数fx=cossinωx−1ω>0四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(1)已知tanα−3π=3(2)若α是第一象限角，且sinα=513，求16.已知函数fx(1)求fx(2)若fα2+π12=55，且17.某同学用“五点法”画函数fx=Asinωx0ππ3π2πxπ5πA-6(1)求函数fx(2)求不等式fx≤(3)将fx图象上的所有点向右平移tt来的12(纵坐标不变),得到函数gx的图象.若gx满足g5π6−18.已知函数fx=loga9(1)求fx(2)判断gx在−∞,+∞(3)若∀x1∈1,2，∃x2∈119.已知函数fx的定义域为R,且fx−sinx是偶函数，(1)求fx(2)已知函数gx(i)证明:函数gx(ii)记函数gx的零点为x0,证明:1.B已知角α=−1670∘,所以α=−1670∘=130∘2.C由题意知B=x x−3x≥0=−∞,3.C因为函数fx=tanωx+φω>0图象的相邻两个对称中心的距离为π8,所以fx的最小正周期T=4.D因为sin5π12−α2=−25,所以5.B若α=π6,β=5π6,此时α≠β,但是sinα=sinβ,故“α≠β”不是“sinα≠sinβ”的充分条件;若sinα≠sinβ,则α≠β6.C取2026年是第1年,根据题意得第n年该公司全年投入的科研经费为1700×1+13%n,令1700×1+13%n>2500,即1.13n>2517,即1.13n>2.57.D因为1−sinx≥0,1fx2=1−sinx+1+sinx2=2+21−sinx1+sinx=28.A因为a⋅2a=1,而当a≥1时,a⋅2a>1,当a≤0时,a⋅2a≤0,所以0<a<1;因为b3log3b=1,而当0<b≤1时,b3log3b≤0,所以b>1;因为c3log5c=1,而当0<c≤由图可得c>b>1.综上，9.BD当c=0时,显然不成立,故A错误;因为a>b,所以a3−b3=a−ba2+ab+b2=a−ba+12b2+34b2>0,即a3>b3,故B正确；当10.BC在fx+1fx=2中,令x=0,得f1f0=2,又当x∈0,1时,fx=2x+a,所以f0=2a,f1=21+a,所以f0f1=2a⋅21+a=22a+1=2,解得a=0,故A错误;由fx+1fx=由图可知函数y=fx的图象与y=log3x的图象有6个交点,故关于x的方程fx=11.ABD因为f−x+fx=−x3+−x+2+x3+x+2=4,所以fx的图象是中心对称图形,故A正确;gx=fxx=x2+2x+1=x2−2x+2x+1x+1=x−12+2x+1x,又y=x−12, y=x+1x均在12.17log113.3由题可得n=12mm2+n+nm+n2=2mm2+1−m+1−mm+114.(函数fx=cossinωx−1ω>0在区间−π6,π4上恰有两个零点,则cossinωx=1在区间−π6,π4上有两个实数解,所以sinωx=2kπ,k∈Z,又sinωx∈−15.(1)5解:(1)由题意知tanα−3π=tan(2)因为sinα=513，又α是第一象限角，易得所以116.1(2)5+解:(1)由题意知fx所以fx的最小正周期为2π令π2解得π6+kπ≤x(2)由题意知fα2又0<α<π,所以π3<α+π3所以π2<α+π所以sin=17.1(2)−(3)π解:(1)由题意知π解得ω=又Asin3π2=−6所以fx(2)由fx≤33，得sin2x−π6≤32，所以−4π3+2kπ(3)将fx的图象向右平移tty=6sin2(纵坐标不变),得到gx=因为g5π6−x=−gx,所以所以4×解得t=因为t>0,所以当n=1时,此时t18.解:(1)由题意知9⋅2x−4x−8>0,整理得2x−12x−8(2)gx在−∞,+∞证明:任取x1,x2∈Rg3又x1<x2,所以3x1<3x2,3x1+x2>(3)若∀x1∈1,2,∃x2由(2)知gx在1,2上单调递增，所以记hx=9⋅2x−4x−8=−2x−922+494,因为x∈1,2,所以2x∈2,4,所以hx∈6当0<a<1时，fx=loga9⋅2x−4x−8∈loga12综上,a的取值范围为0,19.(1)解:因为fx−sinx是偶函数,所以f−x−sin−x=fx−sinx,所以fx−f−x=2sin(2)证明:(i)由题意知gx=fx+32lnx=sinx−cosx+