中考数学总复习《方程应用》专项测试卷（附答案解析）

第中考数学总复习《方程应用》专项测试卷（附答案解析）一、【真题再现】1．（2025成都）2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个．(1)求每个A种挂件的价格；(2)某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件．2．（2024成都）推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进A，B两种水果共进行销售，其中A种水果收购单价10元/，B种水果收购单价15元/．(1)求A，B两种水果各购进多少千克；(2)已知A种水果运输和仓储过程中质量损失，若合作社计划A种水果至少要获得的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价．3．（2023成都）年月日至月日，第届世界大学生运动会将在成都举行．“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买，两种食材制作小吃．已知购买千克种食材和千克种食材共需元，购买千克种食材和千克种食材共需元．(1)求，两种食材的单价；(2)该小吃店计划购买两种食材共千克，其中购买种食材千克数不少于种食材千克数的倍，当，两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．二、【二元一次方程应用】4．石西经贸兴趣小组同学计划在春节前购进对联和灯笼两种商品进行销售，据了解得知，若购进40副对联和25对灯笼需要310元，若购进50副对联和50对灯笼需要500元．(1)求每副对联和每对灯笼的进价各是多少；(2)经贸兴趣小组同学们计划将一天中灯笼销售的全部利润捐给儿童福利院．经调研发现当灯笼每对售价为10元时，每天可以销售灯笼50对，且灯笼售价每升高0.5元/对，日销量减少3对，若经贸兴趣小组希望向儿童福利院捐款228元，且尽量优惠顾客，求此时每对灯笼的售价应为多少元．5．“郫县豆瓣酱”是成都的一张美食名片，辣椒是制作“郫县豆瓣酱的关键原料之一，好的辣椒能决定豆瓣酱的品质，为了追求更好的品质，豆瓣酱厂用16000元从农科院购进A，B两种辣椒共制作两种豆瓣酱，其中A种辣椒收购单价为5元/，B种辣椒收购单价为6元/．(1)A，B两种辣椒各购进多少千克？(2)已知A种辣椒从收购到制作的过程中质量会损失，豆瓣酱每千克辣椒所需配料费用约5元（辣椒可以制出“郫县豆瓣酱”），若A种辣椒制作的“郫县豆瓣酱售出后至少要获得的利润，不计其他费用，求A种辣椒制作的郫县豆瓣酱最低销售单价．6．春节是中国的传统节日，春节前是购物的高峰期，苹果寓意“平平安安”，销售特别火爆．某水果商从农户手中购进、两种糖心苹果，其中种糖心苹果进货价为元/件，种糖心苹果进货价为元/件．(1)水果店用元购进、两种糖心苹果共件，求两种糖心苹果分别购进的件数；(2)如果种糖心苹果按照销售价为元/件销售，平均每天可售件．销售一段时间后，水果店发现种糖心苹果还有大量剩余，决定对种糖心苹果调价销售．经调查发现，每降价元，平均每天可多售件．为了尽快减少库存，将销售价定为每件多少元时，才能使种糖心苹果每天销售利润为元？7．哈尔滨作为2025年亚洲冬季运动会的举办城市，不仅用冰雪景观吸引了全世界的目光，还凭借独特的美食文化，让来自五湖四海的运动员和游客们赞不绝口．其中一美食店推出了两款哈尔滨红肠套餐，其中一份套餐比一份套餐贵6元，经盘点结算发现该美食店每天卖100份套餐和150份套餐共获得5600元．(1)求每份套餐和每份套餐的售价；(2)为了尽可能多地吸引游客，该美食店决定促销，经过几天的试销售，发现套餐每份降低1元，将多卖出10份，该套餐的成本价是14元/份，为保证商家至少获得的利润，每份套餐定价为多少元可使得套餐的销售额最大，并求出最大销售额．8．在数字经济时代，成都加大对电子信息、生物医药及人工智能等领域的投资力度，促进“成都造”的品牌价值和市场认可度．某工厂现有，两个工种的工人共人，每月发工人工资元，，两个工种的工人的月工资分别为元和元．(1)，两个工种的工人各有多少人？(2)现工厂扩大生产投入，需再招聘，两个工种的工人共名，招聘要求全工厂工种的人数不少于工种人数的倍，那么此次招聘工种工人多少人时，可使每月所付的工资总额最少？并求出最少工资总额．三、【一元二次方程应用】9．如图，设计师要给长城风景画安装上一个四周宽度相等的空白画框，制成一个矩形工艺品后进行销售，该工艺品的长为，宽为．(1)若该工艺品中间风景画的面积为，此时空白画框的宽度是多少？(2)已知该工艺品的成本是元／件，若以元／件销售，则每天可售出件．该公司决定降价销售该工艺品，根据销售经验，销售单价每降低元，每天可多售出件，则当该公司把销售单价降低多少元时，每天所获利润为元？10．某品牌手机，去年每台的售价（元）与月份之间满足关系，去年的月销量（万台）与月份之间成一次函数关系，其中第一季度的销量情况如表：月份（）1月2月3月销售量（）3.9万台4.0万台4.1万台(1)求关于的函数关系式；(2)求去年12月份的销售量与销售价格；(3)今年1月份比去年12月份该品牌手机的售价下降的百分率为，销售量下降的百分率为，今年2月份，经销商对该手机以1月份价格的八折销售，这样2月份的销售量比今年1月份增加了1.5万台，销售额为6400万元，求的值．11．某商品的进价为每件10元，售价为每件16元，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于20元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为元．(1)求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；(2)每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是550元？12．小李在毕业后的暑假为了挣零花钱，购进了紫皮腰果和香酥腰果两种类型的腰果在校门口销售．第一批小李两种类型的腰果共购进了100盒，其中紫皮腰果购进了56盒．已知每盒香酥腰果的进价比紫皮腰果的进价多15元，本次小李购进紫皮腰果的成本比购进香酥腰果的成本低360元．(1)求紫皮腰果和香酥腰果的进价；(2)第一批两种类型的腰果每盒售价均为50元．在第一批腰果销售完后，小李购进了第二批两种类型的腰果进价均未改变，聪明的小李在经过思考后，将紫皮腰果的售价提高元，并在第一批的基础上增加了盒的进货量；香酥腰果的进货量为60盒，售价与第一次相同．但因小李的嘴馋，购进的香酥腰果中有被他自己吃掉而无法销售，结果第二批销售完后小李获利3002元，求的值．13．“大寒”是二十四节气中最后一个节气，也是一年中最冷的时候，人们都穿上了羽绒服和棉衣，某服装店在销售A款羽绒服和B款棉衣时发现，购买3件A款羽绒服和2件B款棉衣需支付1800元；购买2件A款羽绒服和4件B款棉衣需支付2000元；(1)求A款羽绒服和B款棉衣的销售单价各多少元？(2)已知每销售一件A款羽绒服可获利80元，平均每天可售出20件，若每降价10元，则可多卖出5件A款羽绒服，为了实现每天销售A款羽绒服获利1750元，又要让消费者获得实惠的目标，则应该降价多少元？四、【分式方程应用】14．近年来光伏建筑一体化广受关注．朝阳社区拟修建，两种光伏车棚若干个，分别使用甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍．(1)求甲种光伏板的单价是多少？(2)若社区计划购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多40块，且乙种光伏板的数量不低于400块，购进两种光伏板的总费用不超过511000元，求社区有几种购买方案?哪种方案的费用最低?最低费用是多少元?15．元旦将至，某玩具店准备购进甲、乙两种玩具，每个甲种玩具进价比每个乙种玩具进价少元．已知用元购进甲种玩具的数量等于用元购进乙种玩具的数量．(1)求玩具店购进甲种玩具每个进价是多少元？(2)该玩具店准备购进甲、乙两种玩具共个，计划每个甲玩具的售价为元，每个乙玩具的售价为元，且销售两种玩具的总利润不低于元，该玩具店最少购进乙种玩具多少个？16．“激情全运会，活力大湾区．”第十五届全国运动会于年月日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比B型号纪念品的单价多元，用元购买型号纪念品的数量是用元购买型号纪念品数量的倍．(1)求两种型号纪念品的单价分别是多少元；(2)若计划购买两种型号的纪念品共个，且所花费用不超过元，求最多能购买多少个型号的纪念品？17．载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“天宫”模型的成本比“神舟”模型低20%，同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个．(1)“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？(2)该航模店计划购买两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，“天宫”模型的售价为25元．设购买“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）；②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？18．列方程解应用题：“人形机器人”是当前的热门话题．某工厂同时生产A、B两款人形机器人，每月生产A款人形机器人的数量比每月生产B款人形机器人的数量多40台，2个月生产的A款人形机器人的数量与3个月生产的B款人形机器人的数量相同．(1)求该厂每月生产的A、B两款人形机器人的数量分别是多少台？(2)由于市场需求量增加，该厂对A、B两款人形机器人的生产线均进行了升级改造．改造后，A款人形机器人每月增产的数量是B款人形机器人每月增产数量的3倍．若生产1500台A款人形机器人与生产900台B款人形机器人所用的时间相同，求升级改造后每月可生产A款人形机器人多少台？参考答案与解析一、【真题再现】1．（2025成都）2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个．(1)求每个A种挂件的价格；(2)某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件．【答案】(1)每个A种挂件的价格为25元(2)该游客最多购买11个A种挂件【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解答的关键．（1）设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为，根据题意列分式方程求解即可；（2）设该游客购买y个A种挂件，则购买个B种挂件，根据题意列不等式求解即可．【详解】（1）解：设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为元．根据题意，得，解得，经检验是原方程的解，且符合题意，答：每个A种挂件的价格为25元；（2）解：设该游客购买y个A种挂件，则购买个B种挂件，由（1）得每个B种挂件的价格为（元），根据题意，得，解得，由于y为正整数，故该游客最多购买11个A种挂件．2．（2024成都）推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进A，B两种水果共进行销售，其中A种水果收购单价10元/，B种水果收购单价15元/．(1)求A，B两种水果各购进多少千克；(2)已知A种水果运输和仓储过程中质量损失，若合作社计划A种水果至少要获得的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价．【答案】(1)A种水果购进1000千克，B种水果购进500千克(2)A种水果的最低销售单价为元/【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，（1）设A种水果购进x千克，B种水果购进y千克，根据题意列出二元一次方程组求解即可．（2）根据题意列出关于利润和进价与售价的不等式求解即可．【详解】（1）解：设A种水果购进x千克，B种水果购进y千克，根据题意有：，解得：，∴A种水果购进1000千克，B种水果购进500千克（2）设A种水果的销售单价为元/，根据题意有：，解得，故A种水果的最低销售单价为元/3．（2023成都）年月日至月日，第届世界大学生运动会将在成都举行．“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买，两种食材制作小吃．已知购买千克种食材和千克种食材共需元，购买千克种食材和千克种食材共需元．(1)求，两种食材的单价；(2)该小吃店计划购买两种食材共千克，其中购买种食材千克数不少于种食材千克数的倍，当，两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．【答案】(1)种食材单价是每千克元，种食材单价是每千克元(2)种食材购买千克，种食材购买千克时，总费用最少，为元【分析】（1）设种食材的单价为元，种食材的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；（2）设种食材购买千克，则种食材购买千克，根据题意列出不等式，得出，进而设总费用为元，根据题意，，根据一次函数的性质即可求解．【详解】（1）解：设种食材的单价为元，种食材的单价为元，根据题意得，，解得：，答：种食材的单价为元，种食材的单价为元；（2）解：设种食材购买千克，则种食材购买千克，根据题意，解得：，设总费用为元，根据题意，∵，随的增大而增大，∴当时，最小，∴最少总费用为（元）【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程组，不等式以及一次函数关系式是解题的关键．二、【二元一次方程应用】4．石西经贸兴趣小组同学计划在春节前购进对联和灯笼两种商品进行销售，据了解得知，若购进40副对联和25对灯笼需要310元，若购进50副对联和50对灯笼需要500元．(1)求每副对联和每对灯笼的进价各是多少；(2)经贸兴趣小组同学们计划将一天中灯笼销售的全部利润捐给儿童福利院．经调研发现当灯笼每对售价为10元时，每天可以销售灯笼50对，且灯笼售价每升高0.5元/对，日销量减少3对，若经贸兴趣小组希望向儿童福利院捐款228元，且尽量优惠顾客，求此时每对灯笼的售价应为多少元．【答案】(1)每副对联进价4元，每对灯笼进价6元(2)此时每对灯笼的售价为12元【分析】本题考查运用二元一次方程组和一元二次方程解决实际问题，理解题意找出等量关系是解题的关键；（1）设每副对联进价a元，每对灯笼进价b元．根据题意列方程组解答即可；（2）设每对灯笼在10元的基础上涨价x元，根据题意列方程解答即可．【详解】（1）解：设每副对联进价a元，每对灯笼进价b元．由题得解得答：每副对联进价4元，每对灯笼进价6元．（2）解：设每对灯笼在10元的基础上涨价x元．由题得解得，∵要尽量优惠顾客∴∴（元）答：此时每对灯笼的售价为12元．5．“郫县豆瓣酱”是成都的一张美食名片，辣椒是制作“郫县豆瓣酱的关键原料之一，好的辣椒能决定豆瓣酱的品质，为了追求更好的品质，豆瓣酱厂用16000元从农科院购进A，B两种辣椒共制作两种豆瓣酱，其中A种辣椒收购单价为5元/，B种辣椒收购单价为6元/．(1)A，B两种辣椒各购进多少千克？(2)已知A种辣椒从收购到制作的过程中质量会损失，豆瓣酱每千克辣椒所需配料费用约5元（辣椒可以制出“郫县豆瓣酱”），若A种辣椒制作的“郫县豆瓣酱售出后至少要获得的利润，不计其他费用，求A种辣椒制作的郫县豆瓣酱最低销售单价．【答案】(1)A种辣椒购进2000千克，B种辣椒购进1000千克(2)A种辣椒制作的郫县豆瓣酱最低销售单价为元/千克【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式是解题的关键．（1）设A种辣椒购进x千克，B种辣椒购进y千克，根据一共购买3000千克辣椒且花费16000元建立方程组求解即可；（2）设A种辣椒制作的”郫县豆瓣酱的销售单价为m元，根据利润等于销售额减去总成本列不等式求解即可．【详解】（1）解：设A种辣椒购进x千克，B种辣椒购进y千克，由题意得，，解得，答：A种辣椒购进2000千克，B种辣椒购进1000千克；（2）解：设A种辣椒制作的”郫县豆瓣酱的销售单价为m元，由题意得，，解得，∴m的最小值为，答：A种辣椒制作的郫县豆瓣酱最低销售单价为元/千克．6．春节是中国的传统节日，春节前是购物的高峰期，苹果寓意“平平安安”，销售特别火爆．某水果商从农户手中购进、两种糖心苹果，其中种糖心苹果进货价为元/件，种糖心苹果进货价为元/件．(1)水果店用元购进、两种糖心苹果共件，求两种糖心苹果分别购进的件数；(2)如果种糖心苹果按照销售价为元/件销售，平均每天可售件．销售一段时间后，水果店发现种糖心苹果还有大量剩余，决定对种糖心苹果调价销售．经调查发现，每降价元，平均每天可多售件．为了尽快减少库存，将销售价定为每件多少元时，才能使种糖心苹果每天销售利润为元？【答案】(1)种糖心苹果购进件，种糖心苹果购进件(2)将销售价定为每件元时，才能使种糖心苹果每天销售利润为元【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，关键是审明题意列方程或方程组；（1）根据进货总价和件数正确列出二元一次方程组；（2）根据种糖心苹果每天销售的利润正确列出一元二次方程．【详解】（1）解：设种糖心苹果购进件，种糖心苹果购进件，根据题意得：，解得：答：种糖心苹果购进件，种糖心苹果购进件；（2）解：设的销售价定为每件元，则每件的销售利润为元，平均每天可售出件，根据题意得：，整理得：，解得：，，要尽快减少库存，．答：将销售价定为每件元时，才能使种糖心苹果每天销售利润为元．7．哈尔滨作为2025年亚洲冬季运动会的举办城市，不仅用冰雪景观吸引了全世界的目光，还凭借独特的美食文化，让来自五湖四海的运动员和游客们赞不绝口．其中一美食店推出了两款哈尔滨红肠套餐，其中一份套餐比一份套餐贵6元，经盘点结算发现该美食店每天卖100份套餐和150份套餐共获得5600元．(1)求每份套餐和每份套餐的售价；(2)为了尽可能多地吸引游客，该美食店决定促销，经过几天的试销售，发现套餐每份降低1元，将多卖出10份，该套餐的成本价是14元/份，为保证商家至少获得的利润，每份套餐定价为多少元可使得套餐的销售额最大，并求出最大销售额．【答案】(1)每份套餐的售价为26元，每份套餐的售价为20元(2)套餐售价为21元，销售额最大，为元【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意列出方程组和函数关系式是解题的关键．（1）设每份套餐的售价为元，每份套餐的售价为元，根据一份套餐比一份套餐贵6元，经盘点结算发现该美食店每天卖100份套餐和150份套餐共获得5600元建立方程组求解即可；（2）设销售定价每份降低元，套餐的销售总额为元，根据题意列出W关于a的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：设每份套餐的售价为元，每份套餐的售价为元，由题知，解得，答：每份套餐的售价为26元，每份套餐的售价为20元；（2）解：设销售定价每份降低元，套餐的销售总额为元，由（1）知套餐一份售价为26元，每天的销售量为100份，，为保证商家至少获得的利润，商家的最低销售定价为元，每份套餐降价不超过元，．又，∴当时，随的增大而增大，当时，即每份套餐售价为21元，套餐的销售额最大，最大销售额（元）．8．在数字经济时代，成都加大对电子信息、生物医药及人工智能等领域的投资力度，促进“成都造”的品牌价值和市场认可度．某工厂现有，两个工种的工人共人，每月发工人工资元，，两个工种的工人的月工资分别为元和元．(1)，两个工种的工人各有多少人？(2)现工厂扩大生产投入，需再招聘，两个工种的工人共名，招聘要求全工厂工种的人数不少于工种人数的倍，那么此次招聘工种工人多少人时，可使每月所付的工资总额最少？并求出最少工资总额．【答案】(1)工种的工人有人，工种的工人有人(2)招聘工种工人人时，每月所付的工资总额最少，最少工资总额为元【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，熟练根据题意正确列出式子、等式或不等式是解题的关键．（1）设工种的工人有人，工种的工人有人，利用“，两个工种的工人共人”和“每月发工人工资元，，两个工种的工人的月工资分别为元和元”分别列式即可；（2）设此次招聘工种工人人，每月所付的工资总额为元，则招聘工种工人人，则可列出，利用全工厂工种的人数不少于工种人数的倍，列不等式确定的范围，结合一次函数的增减性即可解答．【详解】（1）解：设工种的工人有人，工种的工人有人，根据题意，得，解得：，答：工种的工人有人，工种的工人有人；（2）解：设此次招聘工种工人人，则招聘工种工人人，每月所付的工资总额为元，则，∵全工厂工种的人数不少于工种人数的倍，∴，解得：，对于，，∴随的增大而减小，∴当时，每月所付的工资总额最小，最小为（元），答：此次招聘工种工人人时，可使每月所付的工资总额最少，最少工资总额为元．三、【一元二次方程应用】9．如图，设计师要给长城风景画安装上一个四周宽度相等的空白画框，制成一个矩形工艺品后进行销售，该工艺品的长为，宽为．(1)若该工艺品中间风景画的面积为，此时空白画框的宽度是多少？(2)已知该工艺品的成本是元／件，若以元／件销售，则每天可售出件．该公司决定降价销售该工艺品，根据销售经验，销售单价每降低元，每天可多售出件，则当该公司把销售单价降低多少元时，每天所获利润为元？【答案】(1)空白画框的宽度为；(2)该公司把销售单价降低元或元时，每天所获利润为元．【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．（1）设画框(空白部)的宽度为，根据矩形的面积公式列出一元二次方程，解方程即可；（2）设该公司把销售单价降低元时，每天所获利润为元，根据总利润等于单件利润乘以销售量，列出一元二次方程，解方程即可得解．【详解】（1）解：设空白画框的宽度为，根据题意列方程得：，解得：，，当时，不符合题意，．答：空白画框的宽度为．（2）解：设该公司把销售单价降低元时，每天所获利润为元，根据题意列方程得：，解得：，，答：该公司把销售单价降低元或元时，每天所获利润为元．10．某品牌手机，去年每台的售价（元）与月份之间满足关系，去年的月销量（万台）与月份之间成一次函数关系，其中第一季度的销量情况如表：月份（）1月2月3月销售量（）3.9万台4.0万台4.1万台(1)求关于的函数关系式；(2)求去年12月份的销售量与销售价格；(3)今年1月份比去年12月份该品牌手机的售价下降的百分率为，销售量下降的百分率为，今年2月份，经销商对该手机以1月份价格的八折销售，这样2月份的销售量比今年1月份增加了1.5万台，销售额为6400万元，求的值．【答案】(1)(2)销售量为5万台，售价为每台2000元(3)【分析】（1）设一次函数解析式为，将数据代入，利用待定系数法即可解答；（2）把代入函数解析式即可解答；（3）分别表示出1，2月份的销量以及售价，进而利用今年2月份这种品牌手机的销售额为6400万元，得出等式求出即可．【详解】（1）解：根据题意，设，分别将，代入，得，解得，∴p关于x的函数关系式为；（2）解：当时，销售量；每台的售价，答：销售量为5万台，售价为每台2000元；（3）解：根据题意，1月份的售价为元，则2月份的售价为元，1月份的销量为万台，2月份的销量为万台，由题意得：，解得：（舍），，∴．答：的值为．11．某商品的进价为每件10元，售价为每件16元，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于20元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为元．(1)求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；(2)每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是550元？【答案】(1)（且为整数）(2)每件商品的售价为18元时，每个月可获得最大利润，最大利润是640元(3)不存在这样的售价，使得每个月的利润恰好是550元【分析】（1）根据销售利润单件利润销量即可列出函数关系式，再根据每件售价不能高于20元得到x的取值；（2）将二次函数的解析式转化为顶点式，即可解答；（3）令，得到一元二次方程，解方程，即可解答，【详解】（1）解：根据题意可得单件利润为元，销量为件，可得函数关系式为，每件售价不能高于20元，，即且为整数，与的函数关系式为（且为整数）；（2）解：，因为，所以当时，有最大值640，此时售价为元，答：每件商品的售价为元时，每个月可获得最大利润，最大利润是640元；（3）解：当时，可得，解得，∵且为整数，∴均不符合自变量的取值范围，∴不存在符合条件的售价，答：不存在这样的售价，使得每个月的利润恰好是550元．12．小李在毕业后的暑假为了挣零花钱，购进了紫皮腰果和香酥腰果两种类型的腰果在校门口销售．第一批小李两种类型的腰果共购进了100盒，其中紫皮腰果购进了56盒．已知每盒香酥腰果的进价比紫皮腰果的进价多15元，本次小李购进紫皮腰果的成本比购进香酥腰果的成本低360元．(1)求紫皮腰果和香酥腰果的进价；(2)第一批两种类型的腰果每盒售价均为50元．在第一批腰果销售完后，小李购进了第二批两种类型的腰果进价均未改变，聪明的小李在经过思考后，将紫皮腰果的售价提高元，并在第一批的基础上增加了盒的进货量；香酥腰果的进货量为60盒，售价与第一次相同．但因小李的嘴馋，购进的香酥腰果中有被他自己吃掉而无法销售，结果第二批销售完后小李获利3002元，求的值．【答案】(1)紫皮腰果进价为25元/盒，香酥腰果进价为40元/盒.(2)的值为4.【分析】题目涉及两个批次的腰果销售情况，第一问根据成本关系列方程组求解进价；第二问在已知进价和销售策略的基础上，结合数量变化、售价调整、损耗等因素建立总利润方程，解出未知数的值．解题过程中需理清各批次的数量、成本、售价、利润之间的关系．【详解】（1）解：设紫皮腰果每盒进价为元，则香酥腰果每盒进价为元．由题意，第一批共购进100盒，其中紫皮腰果56盒，则香酥腰果为44盒．紫皮腰果总成本：元香酥腰果总成本：元根据题意，紫皮腰果成本比香酥腰果低360元，即：则香酥腰果进价为元．答：紫皮腰果进价为25元/盒，香酥腰果进价为40元/盒．（2）第一批紫皮腰果售价为50元/盒．第二批紫皮腰果售价提高元，即售价为元/盒．进货量在第一批基础上增加盒，即进货量为盒．香酥腰果进货量为60盒，售价仍为50元/盒，但有被吃掉，无利润，即实际销售数量为盒．紫皮腰果：成本：元收入：元利润：收入-成本=香酥腰果：成本：元收入：元利润：元第二批总利润为紫皮腰果利润+香酥腰果利润元即：解得：，（舍去）所以【点睛】本题综合考查方程建模能力，尤其第二问中涉及数量变化、售价调整及损耗处理，需仔细分析利润构成．通过分步建立方程并求解，得出最终结果．关键在于准确列出各部分的成本与收入，并注意实际销售数量受损耗影响的情况．13．“大寒”是二十四节气中最后一个节气，也是一年中最冷的时候，人们都穿上了羽绒服和棉衣，某服装店在销售A款羽绒服和B款棉衣时发现，购买3件A款羽绒服和2件B款棉衣需支付1800元；购买2件A款羽绒服和4件B款棉衣需支付2000元；(1)求A款羽绒服和B款棉衣的销售单价各多少元？(2)已知每销售一件A款羽绒服可获利80元，平均每天可售出20件，若每降价10元，则可多卖出5件A款羽绒服，为了实现每天销售A款羽绒服获利1750元，又要让消费者获得实惠的目标，则应该降价多少元？【答案】(1)A款羽绒服和B款棉衣的销售单价分别为400元和300元(2)应该降价30元【分析】（1）设A款羽绒服和B款棉衣的销售单价分别为x元和y元，根据题意列方程组求解；（2）设应该降价元，则每件获利元，可售出件，根据“总利润单利数量”，列方程求解，结合要让消费者获得实惠，即可得解．【详解】（1）解：设A款羽绒服和B款棉衣的销售单价分别为x元和y元，根据题意得：，解得，答：A款羽绒服和B款棉衣的销售单价分别为400元和300元；（2）解：设应该降价元，则每件获利元，可售出件，根据题意得：，解得，，∵要让消费者获得实惠，∴，即答：应该降价30元．四、【分式方程应用】14．近年来光伏建筑一体化广受关注．朝阳社区拟修建，两种光伏车棚若干个，分别使用甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍．(1)求甲种光伏板的单价是多少？(2)若社区计划购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多40块，且乙种光伏板的数量不低于400块，购进两种光伏板的总费用不超过511000元，求社区有几种购买方案?哪种方案的费用最低?最低费用是多少元?【答案】(1)甲种光伏板的单价为700元(2)一共有11种购买方案，购买甲种光伏板为180块，乙种光伏板为400块总费用最低，最低费用为486000元【分析】本题主要考查了一次函数的性质，分式方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式．（1）设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元，根据用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍，列出方程，解方程即可；（2）设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块，根据乙种光伏板的数量不低于400块，购进两种光伏板的总费用不超过511000元，列出不等式，解不等式组得出，设总费用为w元，根据题意得出，根据一次函数的性质，得出答案即可．【详解】（1）解：设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元，由题意得，解得：，经检验，为原方程的根，甲种光伏板的单价为700元．（2）解：设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块，由题意得：，解得，为正整数，满足条件的有11种取值，所以一共有11种购买方案，设总费用为w元，则，，∴w随的增大而增大.越小，总费用越低，当时，总费用最低，即购买甲种光伏板为180块，则乙种光伏板为400块总费用最低，最低费用为元．15．元旦将至，某玩具店准备购进甲、乙两种玩具，每个甲种玩具进价比每个乙种玩具进价少元．已知用元购进甲种玩具的数量等于用元购进乙种玩具的数量．(1)求玩具店购进甲种玩具每个进价是多少元？(2)该玩具店准备购进甲、乙两种玩具共个，计划每个甲玩具的售价为元，每个乙玩具的售价为元，且销售两种玩具的总利润不低于元，该玩具店最少购进乙种玩具多少个？【答案】(1)玩具店购进甲种玩具每个进价是元(2)该玩具店最少购进乙种玩具个【分析】（1）设甲种玩具进价为元，根据题意列分式方程求解即可；（2）设购进乙种玩具个，根据“总利润元”列不等式，结合为正整数求出最小值．【详解】（1）解：设玩具店购进甲种玩具每个进价元，则乙种玩具每个进价元，根据题意可得，，，，解得，检验：，，答：玩具店购进甲种玩具每个进价是元．（2）解：设玩具店最少购进乙种玩具个，则甲种玩具个，据（1）可知，甲种玩具的进价是元，乙种玩具的进价是元，可得总成本为元，总售价为元，则，解得，为正整数，故可取得的最小值为．答：该玩具店最少购进乙种玩具个．16．“激情全运会，活力大湾区．”第十五届全国运动会于年月日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比B型号纪念品的单价多元，用元购买型号纪念品的数量是用元购买型号纪念品数量的倍．(1)求两种型号纪念品的单价分别是多少元；(2)若计划购买两种型号的纪念品共个，且所花费用不超过元，求最多能购买多少个型号的纪念品？【答案】(1)购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元(2)最多能购买个型号的纪念品【分析】（）根据“数量总价单价”，结合“型号数量是型号数量的倍”这一关键条件，列出分式方程求解；（）根据“总费用A型号单价数量型号单价数量”，结合“总费用不超过元”列出一元一次不等式，求解不等式得到的最大值．【详解】（1）解：设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元，根据题意，得，解得，经检验，是原方程的解，且符合题意，∴．答：购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元．