探究A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

1.6.3探索A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响北师大版（2019）必修第二册学习目标1.了解A对y=Asin(ωx＋φ)的图象的影响，掌握由y＝sinx出发，利用图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的方法和步骤，体现逻辑推理能力（重点）2.掌握探究y=Asin(ωx＋φ)性质的方法和步骤，体现数学抽象能力（难点）课程引入想象一下你站在海边，观察海浪的起伏.海浪的高度有时高耸如峰，有时低平如谷，这种上下波动的“高度”变化，在数学中我们称之为‌振幅‌.今天，我们将通过一个有趣的实验，揭开参数A如何影响正弦函数图象的振幅，就像调整海浪的“力量”一样！新课学习练一练：研究函数y=2sin(2x+)的周期，并画出它的图象.函数y=2sin(2x+)与函数y=sin(2x+)有相同的周期，即它的周期为π.函数y=2sin(2x+)图象上的纵坐标等于函数y=sin(2x+)图象上点的纵坐标的2倍.所以，函数y=2sin(2x+)的图象可以看作是将函数y=sin(2x+)图象上所有点的纵坐标伸长原来的2倍（横坐标不变）得到的.如图.新课学习振幅的概念

y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0)的图象是将y＝sin(ωx＋φ)的图象上的每一个点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)得到的.A决定了函数y＝Asin(ωx＋φ)的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅.新课学习思考交流：函数y=2sin(2x+)+1与函数y=sin(2x+)的图象有什么不同？y=sin(2x+)纵坐标伸长到原来的2倍横坐标不变y=2sin(2x+)新课学习思考交流：函数y=2sin(2x+)+1与函数y=sin(2x+)的图象有什么不同？y=2sin(2x+)纵坐标向上平移一个单位横坐标不变y=2sin(2x+)+1y=2sin(2x+)+1y=2sin(2x+)新课学习思考一下：函数y=sinx如何变成

y=Asin(ωx＋φ)？y=sinx向左

>0(向右

<0)平移|

|个单位y=sin(x＋φ)y=sin(x+φ)纵坐标不变横坐标变为原来的倍y=sin(ωx＋φ)y=sin(ωx＋φ)纵坐标变为原来的A倍横坐标不变

y=Asin(ωx＋φ)先平移后伸缩新课学习思考一下：函数y=sinx如何变成

y=Asin(ωx＋φ)？y=sinx纵坐标不变横坐标变为原来的倍y=sin

xy=sin

x向左

>0(向右

<0)平移

个单位y=sin(ωx＋φ)y=sin(ωx＋φ)纵坐标变为原来的A倍横坐标不变

y=Asin(ωx＋φ)先伸缩后平移新课学习探究函数y=Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)性质的一般方法和步骤：第1步，确定周期T=；第2步，在y=sinx五个关键点(0,0),(,1),(,-1),(2π，0)的基础上确定该函数的五个关键点；第3步，用光滑曲线顺次连接五个关键点，即可画出函数y=Asin(ωx＋φ)在一个周期上的图象，再利用周期性把图象延拓到R，就可以得到它在R上的图象；第4步，借助图象讨论性质.新课学习函数y=Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)的性质：1.定义域：x∈R；2.值域：[-|A|，A];3.周期：周期函数，最小正周期T=;4.奇偶性：当φ=kπ，k∈Z，是奇函数；当φ=kπ+，k∈Z，是偶函数；5.单调性：将ωx+φ看成一个整体，2kπ-≤ωx+φ≤2kπ+，为函数的增区间；2kπ+≤ωx+φ≤2kπ+，为函数的减区间.新课学习函数y=Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)的性质：1.定义域：x∈R；2.值域：[-|A|，A];3.周期：周期函数，最小正周期T=;4.奇偶性：当φ=kπ，k∈Z，是偶函数；当φ=kπ+，k∈Z，是奇函数；5.单调性：将ωx+φ看成一个整体，2kπ-π≤ωx+φ≤2kπ，为函数的增区间；2kπ≤ωx+φ≤2kπ+π，为函数的减区间.新课学习例2：画出函数y=cosx的图象，并讨论其基本性质.方法1：直接运用y=Asin(ωx+φ)的结果.先变形，再用一般方法来研究.方法2：使用类似y=Asin(ωx+φ)的研究方法.(1)周期：因为y=cosx的周期是2π，所以cosx=cos(x+2π)=cos(x+4π)，该函数的周期为4π.(2)图象：刻画函数y=cosx在区间[0,2π]上的图象基本形状的五个关键点为新课学习例2：画出函数y=cosx的图象，并讨论其基本性质.方法2：由此刻画函数y=cosx在区间[0，4π]上的图象基本形状的五个关键点为(0，1)，(π，0)，(2π，-1)，(3π，0)，(4π，1)用光滑的曲线顺次连接五个关键点画出函数y=cosx在区间[0，4π]上的图象，由它的周期性，把图象向左、右延拓得到在R上的图象(如图).新课学习例2：画出函数y=cosx的图象，并讨论其基本性质.方法2：(3)其他性质：设u=x，则函数y=cosu的单调递增区间是[2kπ-π，2kπ]，k∈Z.由2kπ-π≤

x≤2kπ，k∈Z，得4kπ-2π≤x≤4kπ，k∈Z.所以函数y=cosx的单调递增区间是[4kπ-2π，4kπ]，k∈Z.类似地，函数y=cosx的单调减区间是[4kπ，4kπ＋2π]，k∈Z.函数y=cosu，u∈R取得最大值u的集合是{u|u=2kπ，k∈Z}.由

x=2kπ，得x=4kπ，k∈Z，所以当x∈{x|x=4kπ，k∈Z}，函数y=cosx，x∈R取得最大值1.新课学习例2：画出函数y=cosx的图象，并讨论其基本性质.方法2：(3)其他性质：类似地，当x∈{x|x=4kπ+2π，k∈Z}，函数y=cosx，x∈R取得最小值1.函数y=cosx，x∈R的值域为[-1，1].课程练习D课程练习课程练习A课程练习课程练习B课程