高中常见数列的公式及经典例题

高中常见数列的公式及经典例题数列作为高中数学的重要组成部分，不仅是高考的热点，也是培养逻辑推理与数学建模能力的基础。掌握常见数列的公式与性质，并能熟练运用它们解决实际问题，是学好这部分内容的关键。本文将系统梳理高中阶段遇到的常见数列类型、核心公式，并结合经典例题进行解析，希望能为同学们的学习提供有益的参考。一、等差数列1.1定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，常用字母`d`表示。即：对于数列`{a_n}`，若`a_{n+1}-a_n=d`（`d`为常数，`n∈N*`），则`{a_n}`为等差数列。1.2核心公式*通项公式：`a_n=a_1+(n-1)d`其中，`a_1`为首项，`d`为公差，`n`为项数。推广形式：`a_n=a_m+(n-m)d`（`m,n∈N*`）*前n项和公式：`S_n=n(a_1+a_n)/2`或`S_n=na_1+n(n-1)d/2`前n项和公式的推导思路源于“倒序相加法”，这是等差数列求和的基本思想。1.3重要性质*若`m+n=p+q`（`m,n,p,q∈N*`），则`a_m+a_n=a_p+a_q`。特别地，若`m+n=2k`，则`a_m+a_n=2a_k`。*等差数列的前n项和`S_n`也构成一个新的数列，且这个数列是等差数列，其公差为`d/2`的`n`倍（具体地，`S_n=An²+Bn`，其中`A=d/2`，`B=a_1-d/2`）。*等差数列中，连续`k`项的和也构成等差数列，即`S_k,S_{2k}-S_k,S_{3k}-S_{2k},...`成等差数列，公差为`k²d`。1.4经典例题例题1：在等差数列`{a_n}`中，已知`a_3=5`，`a_7=13`，求数列的通项公式及前10项和`S_10`。解析：由等差数列通项公式`a_n=a_1+(n-1)d`，我们可以列出方程组：`a_3=a_1+2d=5``a_7=a_1+6d=13`用第二个方程减去第一个方程：`4d=8`，解得`d=2`。将`d=2`代入`a_1+2d=5`，得`a_1=5-4=1`。故通项公式为`a_n=1+(n-1)×2=2n-1`。前10项和`S_10=10×(a_1+a_10)/2`。先求`a_10=2×10-1=19`，所以`S_10=10×(1+19)/2=10×10=100`。或者直接用公式`S_n=na_1+n(n-1)d/2`，`S_10=10×1+10×9×2/2=10+90=100`。点评：本题考查等差数列基本量（首项`a_1`和公差`d`）的求解，以及通项公式和求和公式的直接应用。这是等差数列中最基础也最重要的题型。例题2：等差数列`{a_n}`的前n项和为`S_n`，若`S_5=25`，`S_9=90`，求`S_7`。解析：方法一：利用等差数列前n项和公式`S_n=na_1+n(n-1)d/2`。由`S_5=5a_1+10d=25`-->`a_1+2d=5`...(1)由`S_9=9a_1+36d=90`-->`a_1+4d=10`...(2)(2)-(1)得：`2d=5`，`d=5/2`。代入(1)得`a_1=5-2×(5/2)=0`。则`S_7=7a_1+21d=0+21×(5/2)=105/2=52.5`。方法二：利用等差数列前n项和的性质，`S_n=An²+Bn`。设`S_n=An²+Bn`。则`S_5=25A+5B=25`-->`5A+B=5`...(1)`S_9=81A+9B=90`-->`9A+B=10`...(2)(2)-(1)得：`4A=5`，`A=5/4`。代入(1)得`B=5-5×(5/4)=5-25/4=-5/4`。所以`S_7=A×7²+B×7=(5/4)×49+(-5/4)×7=(5/4)(49-7)=(5/4)×42=210/4=105/2=52.5`。方法三：利用等差数列中，`S_5,S_7-S_5,S_9-S_7`成等差数列（因为5,7,9三项，中间间隔为2，不是连续k项，但`S_5`是前5项和，`S_7-S_5`是第6、7项和，`S_9-S_7`是第8、9项和，这三个和中每部分都有2项，因此它们成等差数列，公差为`2×2d=4d`）。即`2(S_7-S_5)=S_5+(S_9-S_7)``2S_7-2S_5=S_5+S_9-S_7``3S_7=3S_5+S_9``S_7=S_5+S_9/3=25+90/3=25+30=55`？？？（此方法此处有误，因为每部分项数相同才成等差，这里5项，2项，2项，项数不同，不能直接用。故方法三在此题不适用，特此说明，避免误导。原方法一、二正确。）点评：本题展示了利用基本量和利用前n项和公式的二次函数形式两种不同解题路径，体现了方程思想的应用。选择合适的公式和性质，往往能简化运算。二、等比数列2.1定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数（不为零），这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，常用字母`q`表示（`q≠0`）。即：对于数列`{a_n}`，若`a_{n+1}/a_n=q`（`q`为非零常数，`n∈N*`），则`{a_n}`为等比数列。2.2核心公式*通项公式：`a_n=a_1q^{n-1}`其中，`a_1`为首项（`a_1≠0`），`q`为公比（`q≠0`），`n`为项数。推广形式：`a_n=a_mq^{n-m}`（`m,n∈N*`）*前n项和公式：当`q=1`时，`S_n=na_1`（此时数列为常数列，也是公差为0的等差数列）。当`q≠1`时，`S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)`或`S_n=(a_1-a_nq)/(1-q)`。等比数列求和公式的推导思路是“错位相减法”，这是等比数列求和的核心思想。2.3重要性质*若`m+n=p+q`（`m,n,p,q∈N*`），则`a_ma_n=a_pa_q`。特别地，若`m+n=2k`，则`a_ma_n=a_k²`。*等比数列的前n项和`S_n`（`q≠1`）有性质：`S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n},...`也成等比数列，其公比为`q^n`。（注意：此时需保证每一项都不为零）*等比数列中，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同（当公比为正时）；若公比为负，则各项符号正负相间。2.4经典例题例题3：已知等比数列`{a_n}`中，`a_2=2`，`a_5=16`，求数列的通项公式及前n项和`S_n`。解析：由等比数列通项公式`a_n=a_1q^{n-1}`，可得：`a_2=a_1q=2`...(1)`a_5=a_1q^4=16`...(2)用(2)除以(1)得：`q^3=8`，解得`q=2`。将`q=2`代入(1)得`a_1=2/2=1`。故通项公式为`a_n=1×2^{n-1}=2^{n-1}`。因为`q=2≠1`，所以前n项和`S_n=(1-2^n)/(1-2)=2^n-1`。点评：本题考查等比数列基本量（首项`a_1`和公比`q`）的求解。注意等比数列中，已知任意两项，可通过作比求出公比的幂。例题4：等比数列`{a_n}`的前n项和为`S_n`，若`S_3=7`，`S_6=63`，求公比`q`和`S_9`。解析：显然，若`q=1`，则`S_6=2S_3`，但63≠2×7，故`q≠1`。由等比数列前n项和公式：`S_3=a_1(1-q^3)/(1-q)=7`...(1)`S_6=a_1(1-q^6)/(1-q)=63`...(2)用(2)除以(1)得：`(1-q^6)/(1-q^3)=63/7=9`。分子`1-q^6=(1-q^3)(1+q^3)`，故`(1+q^3)=9`，解得`q^3=8`，所以`q=2`。将`q=2`代入(1)：`a_1(1-8)/(1-2)=a_1(-7)/(-1)=7a_1=7`，得`a_1=1`。要求`S_9`，可以直接计算：`S_9=a_1(1-q^9)/(1-q)=(1-2^9)/(1-2)=512-1=511`。或者，利用等比数列前n项和的性质：`S_3,S_6-S_3,S_9-S_6`成等比数列，公比为`q^3=8`。所以`S_6-S_3=63-7=56`，则`S_9-S_6=(S_6-S_3)×q^3=56×8=448`，故`S_9=63+448=511`。点评：本题巧妙运用了等比数列和的性质，避免了繁琐的计算，体现了性质应用的优越性。在使用性质时，要确保前提条件（如`q≠1`，各项和非零）成立。三、其他常见数列及简单递推除了上述两种最基本的数列，高中阶段还会遇到一些由等差数列、等比数列派生出来的数列，或者通过简单递推关系定义的数列。3.1常数列各项均为同一常数的数列，即`a_n=C`（`C`为常数）。它既是公差`d=0`的等差数列，也是公比`q=1`的等比数列（当`C≠0`时）。其前n项和`S_n=nC`。3.2等差数列与等比数列的和或差若`{a_n}`是等差数列，`{b_n}`是等比数列，则数列`{a_n+b_n}`或`{a_n-b_n}`的通项公式为两者之和或差，其前n项和也为对应数列前n项和的和或差。例题5：已知数列`{c_n}`的通项公式为`c_n=2n-1+3^{n-1}`，求其前n项和`T_n`。解析：`c_n`可看作是等差数列`a_n=2n-1`与等比数列`b_n=3^{n-1}`之和。等差数列`a_n`的前n项和`S_n=n(1+2n-1)/2=n²`。等比数列`b_n`的前n项和`Q_n=(1-3^n)/(1-3)=(3^n-1)/2`。故`T_n=S_n+Q_n=n²+(3^n-1)/2`。3.3简单递推数列对于一些简单的递推关系，可以通过观察、累加、累乘、构造等差或等比数列等方法求出通项公式。*累加法：形如`a_{n+1}=a_n+f(n)`的递推关系，其中`f(n)`是可求和的数列。则`a_n=a_1+Σ_{k=1ton-1}f(k)`。*累乘法：形如`a_{n+1}=a_n·f(n)`的递推关系，其中`f(n)`是可求积的数列。则`a_n=a_