旋转的概念和性质课件沪科版九年级数学下册培优课件

沪科版数学九年级下册【公开课精做课件】第24章

圆24.1.1旋转的概念和性质这些运动有什么共同的特点？旋转的概念BOA45°问题

观察下面的现象，它有什么特点？观察与思考

钟表的指针在不停地转动，从

12时到

4时，时针转动了______度.120

把时针当成一个图形，那么它可以绕着中心固定点转动一定角度.

思考：怎样定义这种图形变换？24.1.1旋转的概念和性质（教学过程）第一页：情境导入——发现生活中的旋转观察思考：下列生活现象有什么共同特征？-1.钟表上时针、分针的转动；-2.风车叶片在风中的转动；-3.荡秋千时，人随秋千的运动；-4.汽车方向盘的转动；-5.地球围绕地轴的自转。互动提问：这些物体都在围绕什么运动？运动过程中形状和大小有没有改变？请同学举手分享你的观察结果。（预留1分钟思考时间）引出课题：大家发现这些物体都围绕一个固定点转动，且形状大小不变，这种运动形式在数学中称为“旋转”。今天我们就从数学角度系统学习旋转的概念和性质，揭开它的神秘面纱。旋转的定义：结合刚才的实例，我们给出严格定义——把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转。大家注意定义中的关键词：“平面图形”“固定点O”“转动角度”，这三者缺一不可。相关概念（旋转三要素）：要描述清楚旋转，必须明确以下三个要素，大家记好笔记：-1.旋转中心：固定的点O，它在旋转中保持不动，位置灵活，可在图形内（如方向盘中心）、图形上（如钟表轴）或图形外；-2.旋转角：图形转动的角度，数学中用对应点与旋转中心的连线夹角表示，比如点P旋转后到P′，∠POP′就是旋转角；-3.旋转方向：分为顺时针（如时钟转动）和逆时针（如风车常逆时针转），数学规定逆时针为正方向。即时小练：请快速说出“钟表从3时到5时”的旋转三要素。（请后排同学回答，教师订正：中心是表盘中心，方向顺时针，角度60°）第二页：核心概念——旋转的定义及要素观察思考：下列生活现象有什么共同特征？-1.钟表上时针、分针的转动；-2.风车叶片在风中的转动；-3.荡秋千时，人随秋千的运动；-4.汽车方向盘的转动；-5.地球围绕地轴的自转。互动提问：这些物体都在围绕什么运动？运动过程中形状和大小有没有改变？引出课题：像这样的运动形式在数学中称为“旋转”，今天我们就来系统学习旋转的概念和性质。第三页：核心概念——旋转的定义旋转的定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转。相关概念（旋转三要素）：-1.旋转中心：固定的点O（旋转过程中不动的点，可在图形内、图形上或图形外）；-2.旋转角：图形转动的角度（如点P旋转后到点P′，则∠POP′即为旋转角）；-3.旋转方向：通常分为顺时针和逆时针（数学中规定逆时针为正方向）；-4.对应点：旋转后图形上与原图形上重合的点（如P与P′互为对应点）。即时小练：钟表从3时到5时，时针的旋转中心是______，旋转方向是______，旋转角是______（答案：表盘中心、顺时针、60°）。温故知新：旋转和之前学的平移都是图形变换，它们极易混淆，我们通过对比认清本质。请大家结合表格思考，同桌可轻声讨论。变换类型运动轨迹方向变化核心特征平移直线不改变沿固定方向移动，对应点连线平行旋转圆弧改变绕固定点转动，对应点绕中心旋转关键提醒：两者的共同特征是“形状大小不变”，都属于全等变换，但运动方式截然不同。判断练习：快速判断下列现象类型，举手抢答：①电梯升降（平移）②风扇叶片转动（旋转）③推拉抽屉（平移）④摩天轮运动（旋转）。大家都判断准确，说明已经抓住了核心区别。第三页：概念辨析——旋转与平移的区别思考：旋转和我们之前学过的平移都是图形的基本变换，它们有什么不同？变换类型运动轨迹方向变化核心特征平移直线不改变图形沿固定方向移动，对应点连线平行旋转圆弧改变图形绕固定点转动，对应点绕中心旋转共同特征：无论是平移还是旋转，图形的形状和大小都保持不变（全等变换）。判断练习：下列现象是平移还是旋转？①电梯升降（平移）②风扇叶片转动（旋转）③推拉抽屉（平移）④摩天轮运动（旋转）。动手操作：请大家拿出准备好的硬纸板、铅笔和圆规，按步骤操作：1.在硬纸板上画任意△ABC，在纸板边缘挖一个小洞O作为旋转中心；2.把硬纸板放在练习本上，描出△ABC和点O；3.绕O点将硬纸板逆时针转动约60°，固定后描出旋转后的△A′B′C′；4.移开硬纸板，连接OA、OA′、OB、OB′、OC、OC′。（教师巡视指导，确保操作规范，耗时3分钟）探究问题：结合画出的图形，思考以下3个问题，小组内交流结论（5分钟）：1.线段OA与OA′、OB与OB′、OC与OC′的长度有什么关系？2.∠AOA′、∠BOB′、∠COC′的大小有什么关系？它们和旋转角是什么关系？3.△ABC与△A′B′C′的形状、大小有什么关系？对应边和对应角呢？小组分享：请第二组代表分享你们的发现，其他组补充。（教师引导：大家都发现线段相等、角度相等、图形全等，这就是旋转的核心性质）第四页：探究活动——动手发现旋转性质动手操作：在硬纸板上画△ABC，挖一个小洞O作为旋转中心，在下方白纸上描出△ABC；绕O点转动硬纸板，再描出旋转后的△A′B′C′，移开硬纸板观察。探究问题：1.线段OA与OA′、OB与OB′、OC与OC′的长度有什么关系？2.∠AOA′、∠BOB′、∠COC′的大小有什么关系？它们与旋转角有什么联系？3.△ABC与△A′B′C′的形状和大小有什么关系？对应边、对应角有什么特点？小组讨论：结合操作结果，总结旋转前后图形的关系，5分钟后分享结论。性质1：对应点到旋转中心的距离相等几何表达：若点P旋转后得到P′，旋转中心为O，则OP=OP′。本质理解：旋转时图形上各点像绕中心画圆，“半径”始终不变，所以对应点到中心距离相等，这是旋转的“定距”特征。性质2：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角几何表达：若P→P′、Q→Q′为对应点，旋转中心为O，则∠POP′=∠QOQ′=旋转角。特别注意：所有对应点与中心的连线夹角都相等，且都等于旋转角，不能误将图形内角当作旋转角。性质3：旋转前、后的图形全等几何表达：若△ABC旋转后得到△A′B′C′，则△ABC≌△A′B′C′。推论：对应边相等（AB=A′B′）、对应角相等（∠A=∠A′），图形的周长、面积也不变，这是全等变换的必然结果。核心记忆口诀：“距等角等形全等”，三个词概括旋转所有关键性质。第五页：性质总结——旋转的三大核心性质性质1：对应点到旋转中心的距离相等几何表达：若点P旋转后得到点P′，旋转中心为O，则OP=OP′。本质：旋转过程中图形上各点到中心的“半径”不变，运动轨迹为同心圆。性质2：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角几何表达：若P→P′、Q→Q′为对应点，旋转中心为O，则∠POP′=∠QOQ′=旋转角。注意：所有对应点与中心连线的夹角都相等，且等于图形的旋转角。性质3：旋转前、后的图形全等几何表达：若△ABC旋转后得到△A′B′C′，则△ABC≌△A′B′C′。推论：对应边相等（AB=A′B′）、对应角相等（∠A=∠A′），图形的周长、面积不变。核心记忆：“距等角等形全等”，即距离相等、角度相等、图形全等。例题1：如图（教师出示投影），△ABC是等边三角形，D是BC上一点，△ABD经逆时针旋转后到达△ACE的位置。求：（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？（3）若M是AB中点，旋转后M到了什么位置？解析引导：大家结合旋转三要素和性质来分析。首先，旋转中心是不动的点，△ABD和△ACE共哪个点？（学生答：A）对，旋转中心是A。其次，旋转角是对应边的夹角，AB的对应边是AC，等边三角形中∠BAC是多少度？（60°）所以旋转角是60°。最后，AB的对应边是AC，中点的对应点也是中点，所以M旋转到AC中点。答案梳理：（1）点A；（2）60°；（3）AC的中点。例题2：秋千旋转80°，在小明身上取点P，对应点为P′，旋转中心为秋千支架上的O点，说明OP与OP′的关系及∠POP′的度数。快速解答：请第一排同学回答。（学生答：OP=OP′，∠POP′=80°）非常好，直接运用了性质1和性质2，思路清晰。第六页：例题解析——运用性质解决问题例题1：如图，△ABC是等边三角形，D是BC上一点，△ABD经过逆时针旋转后到达△ACE的位置。求：（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？（3）若M是AB的中点，旋转后点M到了什么位置？解析步骤：1.确定旋转中心：旋转过程中不动的点为A，故旋转中心是点A（△ABD和△ACE共顶点A）；2.求旋转角：等边三角形中AB=AC，∠BAC=60°，对应边AB→AC的夹角为60°，故旋转角为60°；3.确定对应点：AB的对应边为AC，中点M的对应点为AC的中点，故M旋转到AC的中点位置。答案：（1）点A；（2）60°；（3）AC的中点。例题2：秋千旋转80°，在小明身上选一点P，标出对应点P′，说明OP与OP′的关系及∠POP′的度数。答案：根据性质1，OP=OP′；根据性质2，∠POP′=80°（旋转角）。基础题1：时钟时针从6时到9时，旋转角是______度；从9时到10时，旋转角是______度。（请大家在练习本上计算，同桌互查，答案：90，30）基础题2：杠杆绕支点撬重物，旋转中心是______，旋转角是________________。（提示：旋转中心是不动的支点，旋转角是初始与最终位置的夹角，答案：支点O，杠杆初始位置与转动后位置的夹角）提升题：四边形ABCD绕O旋转得A′B′C′D′，已知∠AOA′=30°，回答：（1）旋转角是______度；（2）OB与OB′的关系是______；（3）∠BCD与∠B′C′D′的关系是______。（请第三组同学集体回答，教师订正：30°，OB=OB′，相等）拓展思考：生活中还有哪些旋转实例？请说出其中的旋转三要素，比如电风扇转动。（预留1分钟，让学生充分联系生活）第七页：巩固练习——夯实基础与提升基础题1：时钟的时针从上午6时到上午9时，旋转角是______度；从上午9时到10时，旋转角是______度（答案：90，30）。基础题2：杠杆绕支点转动撬起重物，旋转中心是______，旋转角是________________（答案：支点O，杠杆初始位置与转动后位置的夹角）。提升题：如图，四边形ABCD绕点O旋转后得到四边形A′B′C′D′，已知∠AOA′=30°，则：-（1）旋转角是______度（30°）；-（2）OB与OB′的关系是______（OB=OB′）；-（3）∠BCD与∠B′C′D′的关系是______（相等）。拓展题：请举出生活中旋转的实例，并指出其中的旋转中心、旋转方向和旋转角（如：电风扇叶片转动，旋转中心为电机轴，顺时针方向，旋转角随时间变化）。1.核心知识回顾旋转定义：平面图形绕定点转动一定角度；三要素：中心、方向、角度；三大性质：距等、角等、形全等。2.思想方法提炼今天我们从生活实例抽象出数学概念，通过动手操作探究性质，最后用性质解决问题，用到了“数形结合”和“从具体到抽象”的数学思想，这是学习几何变换的重要方法。3.易错点警示①旋转中心可能在图形外，不要局限于图形内；②旋转角是对应点与中心的连线夹角，不是图形内角；③描述旋转时三要素要写全，缺一不可。课堂小测：请快速完成：已知△DEF绕O点顺时针旋转45°得△D′E′F′，则OD____OD′，∠DOE____∠D′OE′，△DEF____△D′E′F′。（答案：=，=，≌）大家都掌握得很好！第八页：课堂总结——知识梳理与思想方法1.核心概念旋转的定义：平面图形绕定点转动一定角度；三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角。2.三大性质-对应点到旋转中心距离相等；-对应点与中心连线夹角等于旋转角；-旋转前后图形全等。3.思想方法从生活实例抽象数学概念，通过动手操作探究性质，运用性质解决几何问题（转化思想、数形结合）。4.易错提醒旋转中心可能在图形外，旋转角是对应点与中心连线的夹角，而非图形的内角。必做题：教材习题24.1第1、2、4题，巩固旋转概念和性质的应用。选做题：画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形，写出作图步骤（提示：找关键点、定旋转角、连对应点）。实践题：观察生活中旋转对称的物体（如正六边形地砖），思考其旋转多少度后能与自身重合，记录你的发现。课后思考：旋转在艺术设计、机械制造中有哪些应用？结合今天所学知识，谈谈数学中的旋转与生活的联系。

风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动到新的位置.怎样来定义这种图形变换？

把叶片当成一个平面图形，那么它可以绕着平面内中心固定点转动一定角度.在平面内，一个图形绕着一个定点，旋转一定的角度，得到另一个图形的变换，叫做旋转.OP′P旋转中心旋转角对应点旋转的定义这个定点叫做旋转中心.转动的角称为旋转角.图中的点

P旋转后成为点

P'，这两个点叫做对应点.知识要点

若叶片

A

绕

O

顺时针旋转到叶片

B，则旋转中心是______，旋转角是_________，旋转角等于____°，其中的对应点有_______、_______、_______、_______、_______、_______.点O∠AOB60F与

AA与

BB与

CC与

DD与

EE与

F填一填：ACDEFBO旋转中心旋转角旋转方向确定一次图形的旋转时，必须明确：注意：①旋转的范围是“平面内”，其中“旋转中心、旋转方向、旋转角度”称为旋转的三要素；②旋转变换同平移、轴对称一样属于全等变换.归纳：A．30°B．45°C．90°D．135°例1如图，点

A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点

O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为(

)解析：对应点与旋转中心的连线的夹角，就是旋转角，由图可知，OB、OD是对应边，∠BOD是旋转角，所以旋转角为90°.故选C.CCDABO典例精析旋转中心是点_____；图中对应点有________________________________________________；图中对应线段有_______________________________；每对对应线段的长度关系是_____；图中旋转角等于_____°.C

点

A与点

A′，点

B与点

B′，点

M与点

M′，点

N与点

N′CA与

CA′、CB与

CB′、AB与

A′B′45相等根据右图填空：B'A'C'ABCOAO=A'O，BO=B'O，CO=C'O∠AOA'=∠BOB'=∠COC'观察下图，你能找到三角形外相等的角和线段吗？2.两组对应点分别与旋

转中心的连线所成的

角相等，都等于旋转角；EABFCO1.对应点到旋转中心的

距离相等；3.旋转中心是唯一不动的点.旋转的性质知识要点DABO例2下图为4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，将△OAB绕点O逆时针旋转90°，你能画出△OAB旋转后的图形△OA′B′吗？A′B′DABCEE′例3

如图，点

E是正方形

ABCD内一点，连接

AE，BE，CE，将△ABE绕点

B顺时针旋转90°到△CBE′处，若

AE＝1，BE＝2，CE＝3，则∠BE′C＝____度.解析：连接

EE′.

由旋转性质知

AE=CE′

=1，BE=BE′，∠EBE′=90°，∴∠BE'E=45°，EE′=在△EE′C中，CE′2+EE′2=9=CE2，∴∠EE′C=90°.∴∠BE′C=∠BE′E+∠EE′C=135°.135活动在硬纸板上剪下两张如下的图形，然后将它们叠放在一起，在其中心钉上一枚图钉，然后旋转上面的硬纸板，旋转多少角度后，它能与下面的硬纸板重合？合作探究

在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度

θ

(0°＜θ＜360°)后，能够与原图形重合，这样的图形叫做旋转对称图形，这个定点就是旋转中心.

知识要点做一做下图中不是旋转对称图形的是()B例5

如图是一个标准的五角星，若将它绕中心旋转一定的