福建省2025届高三九月摸底考试数学试题

福建省宁德市民族中学2025届高三九月摸底考试数学试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若平面向量£仇4,满足|。|=4,。乃=4,|。一。+匕|=&,则的最大值为()

A.5夜+GB.5x/2-V3C.2加+6D.2而-G

2.a为正实数，i为虚数单位，竽=2,则a=()

1

A.2B.y/5C.y/2D.1

3.复数二满足z(I)=卜网，则复数二等于()

A.1-zB.l+zC.2D.-2

4.历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切

正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法,而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得乃

的近似值，他的方法被后人称为割圆术.近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种乃值的表达式纷纷出现，使

得乃值的计算精度也迅速增加.华理斯在1655年求出一个公式：2Md:，根据该公式绘制出了估

2Ix3x3x5x5x7x

计圆周率X的近似值的程序框图，如下图所示,执行该程序框图，已知输出的r>2.8,若判断框内填入的条件为&N"门,

则正整数/〃的最小值是

A.2B.3C.4D.5

5.已知二的共挽复数是三,且|z|=z+l-2i（i为虚数单位），则复数二在复:平面内对应的点位于（

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6.某程序框图如图所示，若输出的S=120,则判断框内为（）

A.k>l,lB.k>6?C.k>52D.k>4?

7.在AA8C中，点。是线段8c上任意一点，24M=40，8M=2AB+〃AC,贝崎+〃=（）

11

A.B.-2C.-D.2

22

8.正项等差数列｛q｝的前八和为S.,已知的+%-代+【5=0,则Sq=（）

A.35B.36C.45D.54

9.已知集合加=｛（久,丁）|工+）,<4,1、ywN;,则集合M的非空子集个数是（）

A.2B.3C.7D.8

10.已知函数/（x）=ei+x-2的零点为M,若存在实数〃使/一办=。+3=0且|加一〃区1,则实数。的取值范围

是（）

77

A.[2,4]B,2,-C.3I）.[2,3]

11.已知向量出。满足|。|=1,|〃|=6,且4与〃的夹角为2则（。+/》（2々-»=（）

6

131

A.-B.一一C.一一

222

/iy

12.-+x+y2的展开式中.Ly2的系数是（）

X.160B.240C.280D.320

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在矩形中，AB=2»AD=\,点凡/分别为AC,CO边上动点，且满足上尸二1,则4后.人产的最大

值为.

14.等腰直角三角形A8C内有一点P,PA=\,P8=夜，PC=2,NA=90,则AABC面积为.

15.已知复数z=（l-，）•（〃+，）（i为虚数单位）为纯虚数，则实数。的值为.

16.在三棱锥P—A8C中，ABLBC,三角形H4C为等边三角形，二面角尸一AC-8的余弦值为一逅，当三棱

3

锥P-ABC的体积最大值为1时，三棱锥P-ABC的外接球的表面积为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，四棱锥尸-A8a＞中，底面A8CO是菱形，对角线AC,8。交于点O,M为棱尸。的中点，

MA=MC.求证：

AB

(1)PA"平面AMC；

(2)平面「801平面AMC.

18.(12分)已知函数/("=炉一|/有两个极值点X，x2.

(1)求实数A的取值范围；

(2)证明："

X工2

19.(12分)在AA8C中，角4B,C所对的边分别为4,byC,若小=(a,b-c),〃=(sinA-sin8,sin8+sinC),

p=(l,2),且〃7_L〃.

(1)求角C的值；

(2)求〃〃的最大值.

20.(125?)已知各项均为正数的数列｛q｝的前〃项和为S“，且S”是仆与一的等差中项.

“”

⑴证明：博｝为等差数列，并求S”：

(2)设4~数列他,｝的前〃项和为求满足7；25的最小正整数〃的值.

21.(12分)已知在.A8c中，。、仄c分别为角A、B、C的对边，且』-2nA-⑸、C.

sinB-sinC

(1)求角A的值；

(2)若a=6设角B=8,6ABe周长为y,求丁=/(仍的最大值.

22.(10分)我们称〃(“END元有序实数组(』，七，…，4)为〃维向量，£国为该向量的范数.己知〃维

1-1

向量。=(玉,々，，%)，其中％e｛T,0』，i=l，2,…，〃.记范数为奇数的〃维向量a的个数为A“，这4个向量

的范数之和为8”.

(1)求A和区的值：

(2)当〃为偶数时，求儿，为(用〃表示).

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解题分析】

可根据题意把要求的向量重新组合成已知向量的表达，利用向量数量积的性质，化简为三角函数最值.

【题目详解】

由题意可得：

c-b=(c-a+b)+(d-2b)f

a-lbf=(a-2h)2=|«|2+4|/?|2-4ab=4+4x16-4x4=52

:]a-2b\=2yji3f

:]c-b\2=(c-b)2=[(c-a±b)±(u-2b)\2=|(c-d+/?)+(«-2Z?)|2

=^c-a+bf+\d-2b\2+2\c-d+b\-\d-2b|cos<c-a+b,d+2b>

=3+52+2x>/3x2\/\3xcos<c-a+b,a+2b>

=55+45/39xcos<c-a+b,a+2b>

,,55+4国

2

­.•55+4x/39=52+2x2x/i3xx/3+3=(2Vi34->(/3),

故选：C

【题目点拨】

本题主要考查根据已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新组合成已知向量的表达是本题的关键

点.本题属中档题.

2、B

【解题分析】

|=2/.+1=2:.a=±5/3a>0,:.a=y/3,选B.

/

3、B

【解题分析】

通过复数的模以及复数的代数形式混合运算，化简求解即可.

【题目详解】

复数二满足z(1)="4卜2,

22(14-/)।.

:.z=-----=--­、=1+，，

1-;(1-/)(1+/)

故选B.

【题目点拨】

本题主要考查复数的基本运算，复数横长的概念，属于基础题.

4、B

【解题分析】

27X

初始：k=\,T=2,第一次循环：r=2xyxj=^<2,8,k=2,继续循环；

第二次循环：844P8k=3,此时满足条件，结束循环，

7'=^XZX2=1^>2.8,T>2.8,

33545

所以判断框内填入的条件可以是#23?,所以正整数，〃的最小值是3,故选B.

5、D

【解题分析】

设z=_x+yi(x,)，wR),整理|z|=G+1-2,得到方程组]'I解方程组即可解决问题.

【题目详解】

设z=x+yi(x,)，eH),

因为忖=5+1-21,所以J”？+>2=x_y-+1—2/=(x+1)—(jy+2)z»

「-----3

所以“一+厂…1,解得：、,

〔)'+2=0[y=-2

所以复数二在复平面内对应的点为此点位于第四象限.

故选D

【题目点拨】

本题主要考查了复数相等、复数表示的点知识，考查了方程思想，属于基础题.

6、C

【解题分析】

程序在运行过程中各变量值变化如下表:

KS是否继续循环

循环前11

第一圈24是

第二圈311是

第三圈426是

第四圈557是

第五圈6120否

故退出循环的条件应为k>5?

本题选择C选项.

点睛：使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循

环次数.尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别.

7、A

【解题分析】

设8。=48。，用表示出囱必，求出尢〃的值即可得出答案.

【题目详解】

设BD=kBC=kA(j-kAB

tuumuuu

由2A仞=AD

:.BMBD\=--AB+-AC--AB

2、J222

4+〃=—-.

故选：A

【题目点拨】

本题考查了向量加法、减法以及数乘运算，需掌握向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义，属于基础题.

8、C

【解题分析】

由等差数列｛见｝通项公式得%+%-a/+]5=0,求出生，再利用等差数列前〃项和公式能求出S9.

【题目详解】

正项等差数列｛q｝的前〃项和S.，

%+%—^5+15=09

2

a5-2%-15=0,

解得火=5或。5=-3(舍)，

o

/.S<)=耳(4+ay)=9a§=9x5=45,故选C.

【题目点拨】

本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于中档题.解等差数列问题要注意应用等差数列的性质

%+4=«，，+q=2?(〃+q="?+〃=2r)与前〃项和的关系.

9、C

【解题分析】

先确定集合M中元素，可得非空子集个数.

【题目详解】

由题意M=｛(1,1),(1,2),(2,1)｝,共3个元素，其子集个数为23=8,非空子集有7个.

故选：C.

【题目点拨】

本题考查集合的概念，考查子集的概念，含有〃个元素的集合其子集个数为2”，非空子集有2"-1个.

10、D

【解题分析】

易知人%)单调递增，由/⑴=0可得唯一零点m=1•通过已知可求得0W〃42，则问题转化为使方程

4

f一以一。+3=0在区间［。，2］上有解，化简可得a=x+l2，借助对号函数即可解得实数。的取值范围.

x+1

【题目详解】

易知函数f(x)=ei+x-2单调递增且有惟一的零点为〃?=1,所以H-〃区1,・・・0<〃<2,问题转化为：使方程

f一,比一0+3=0在区间［0,2］上有解，即。==2=32_二生土Lh±=x+i+/_一2

在区间［0,2］上有解，而根据“对勾函数”可知函数y=X+1+W-2在区间［0,2］的值域为［2,3］,・・・2Wa<3.

故选D.

【题目点拨】

本题考查了函数的零点问题，考查了方程有解问题，分离参数法及构造函数法的应用，考查了利用“对勾函数”求参数取值

范围问题滩度较难.

11、A

【解题分析】

根据向量的运算法则展开后利用数量积的性质即可.

【题目详解】

(a+b)-(2a-b)=2a~-/7~+«•/?=2-3+lx>/3x—=—.

故选：A.

【题目点拨】

本题主要考查数量积的运算，属于基础题.

12、C

【解题分析】

首先把'-X看作为一个整体，进而利用二项展开式求得产的系数，再求的展开式中的系数，二者相乘

工U)

即可求解.

【题目详解】

/1、8一厂

121Y7

由二项展开式的通项公式可得-+x+y2；的第r+1项为=|二C；尸，令/=1,则q=C；—4xr»

工>VJ

>7

(\的第/•+1为(尸m

又-+xx'=C；f，-7,令r=3,贝UC；=35,所以厂与？的系数是35x8=28。.

\X

故选：c

【题目点拨】

本题考查二项展开式指定项的系数，掌握二项展开式的通项是解题的关键，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、4

【解题分析】

利用平面直角坐标系，设出点B1、的坐标，由历=1可得（a-lY+S-2『=1,利用数量积运算求得

AE•AF=2b+cn再利用线性规划的知识求出i=a+2b的最大值.

【题目详解】

建立平面直角坐标系，如图（1）所示：

设EQG，尸（E1）,

•••yl(2-b)2+(\-a)2=1»

即(4-1)2+8-2)2=1,

又A£-A/=2〃+a，

令f=a+2b,其中OWaWLOW2,

画出图形，如图（2）所示:

f取得最大值/=4.

故答案为：4

【题目点拨】

本题考查了向量数量积的坐标运算、简单的线性规划问题，解题的关键是建立恰当的坐标系，属于基础题.

以|

【解题分析】

利用余弦定理计算cos/必氏cos（90"-NE48）,然后根据平方关系以及三角形面积公式，可得结果.

【题目详解】

T&AB=AC=X

由题可知:

2PAAB

PA2+AC2-PC2

cos(90°-ZP/1B)==sinZPAB

2PAAC

由sin2ZMB+cos2ZPAB=b

/<4=1，PB=6,PC=2

化简可得：X4-6X2+5=0

则/=5或彳2=],即4=石或X=1

由所以x-JS

所以SM8c=gA8.AC=|

故答案为：—

2

【题目点拨】

本题主要考查余弦定理解三角形，仔细观察，细心计算，属基础题.

15、-1

【解题分析】

利用复数的乘法求解z再根据纯虚数的定义求解即可.

【题目详解】

解：复数户(1-i)-(a+i)=4+1+(l-a)i为纯虚数，

..。+1=0』-"0,

解得。=T.

故答案为：-【.

【题目点拨】

本题主要考查了根据复数为纯虚数求解参数的问题,属于基础题.

16、8万

【解题分析】

根据题意作出图象,利用三垂线定理找出二面角。—4C—8的平面角,再设出人民4C的长，

即可求出三棱锥P-ABC的高,然后利用利用基本不等式即可确定三棱锥P-ABC的体积最大值，从而得出各棱的长

度，最后根据球的几何性质，利用球心距，半径，底面半径之间的关系即可求出三棱锥P-ABC的外接球的表面积.

【题目详解】

过点。作PE_L面ABC,垂足为E,过点E作OE_LAC交AC于点。，连接PD.

则NPDE为二面角P-AC-B的平面角的补角，即有cosNPDE=—.

3

•・•易证4C_L面PDE,：.AC±PD,而三角形尸人C为等边三角形，.•・。为AC的中点.

设="BC=b,AC=Ja?+b2=c,

；・PE=PDsinNPDE=—xcx—=-.

232

故三棱锥P—48C的体积为

cca2+b2c3

V=-x-abx-=—ahc=—xab<—x------=—

322121212224

当且仅当”=8=立。时,K皿=4=1，即。=〃=夜,c=2.

2m"243

・・・区O,E三点共线.

设三棱锥P—ABC的外接球的球心为。，半径为R.

过点。作_L尸石于尸,・••四边形ODEF为矩形.

则OD=EF=yT^l，DE=OF=PDcosNPDE=6x^~=6，PE=l,

在R&PK9中,N=2+(1-二?卜解得六=2.

三棱锥P-ABC的外接球的表面积为S=4乃*=87r.

故答案为：8万.

【题目点拨】

本题主要考查三棱锥的外接球的表面积的求法，涉及二面角的运用，基本不等式的应用，以及球的几何性质的应用，意在考

查学生的直观想象能力，数学运算能力和逻辑推理能力,属于较难题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)详见解析；(2)详见解析.

【解题分析】

(1)连结OM,根据中位线的性质证明即可.

(2)证明从。，△。"。，叨再证明人^^平面/^^即可.

【题目详解】

解：(I)证明：连结。W.

O是菱形48co对角线AC、BD的交点,

.•.O为8。的中点，

M是棱PD的中点,

：.OMIIPB,

OMu平面AMC,PB平面4MC,

.•.&?//平面AMC,

(2)解：在菱形A8CD中,4C_L4D且。为AC的中点，

M4=MC,

.•.4C_L0M,

OMcBD=O,

.♦.AC_L平面PBD,

•/ACu平面AMC,

•••平面PBD_L平面AMC.

【题目点拨】

本题主要考查了线面平行与垂直的判定,属于基础题.

18、(1)(e,+8)(2)证明见解析

【解题分析】

(1)先求得导函数/'(“，根据两个极值点可知/'("=-一代=0有两个不等实根，构造函数g(戈)=e、-依，求

得g'(x)；讨论女40和k>0两种情况，即可确定g(x)零点的情况，即可由零点的情况确定A的取值范围；

(2)根据极值点定义可知/‘(石)=武一代=(),r(w)=e”一依2=()，代入不等式化简变形后可知只需证明

为+兑>2：构造函数〃（》）=；,并求得“⑺，进而判断〃（x）=E的单调区间，由题意可知》（土）=〃«）=!，

eek.

并设0"<1<占，构造函数0（力=力（月-力（2-”，并求得“（X）,即可判断8（力在Ovxvl内的单调性和最值,

进而可得力⑴―〃（2—x）vO,即可由函数性质得力（毛）<〃（2—%），进而由单调性证明

%>2-%，即证明菁+9>2,从而证明原不等式成立.

【题目详解】

（1）困数/（x）="

贝1J/'（M=廿一米，

因为/（X）存在两个极值点引，占，

所以r（x）="-丘=。有两个不等实根.

设g（x）=/'（x）="-去，所以g'（x）=d

①当心0时，g'（x）=e'-Q0,

所以g（x）在R上单调递增，至多有一个零点，不符合题意.

②当%>0时，令g'（x）=e'-A=O得x=lnA,

X(7o』nA)Ink(in%,+oo)

g'(x)一0+

g(x)减极小值增

所以g（x）min=g（1nk）=A一<0，即攵>e,

k2

又因为g（0）=」>0,g（k）=e-k>Of

所以g（x）在区间（0,In&）和（In上各有一个零点，符合题意，

综上，实数A的取值范围为®+8）.

Xz

（2）证明：由题意知/'（xj=e"一人■】=0,f\x2）=e-kx2=0,

X2

所以e"二依，e=kx2.

要证明"J+以,

占与

k2工、k2

只需证明x二5+=三=2攵一々&+元)<攵，

%x22

只需证明X[+A：2>2.

因为人=心I,eXi=kx.,所以3=§=：.

e'e2k

设力(1)二?，贝i"『(x)=q，

t-V

所以〃(X)在(f,1)上是增函数，在(l,xo)上是减函数.

因为“(%)=〃(9)=),

K,

不妨设。<内<1<K，

设0(x)=/?(x)-/?(2-x),0<x<l,

则”(x)=/?’(x)+“(2_x)=q_/=(l—x)(3—£),

ee\ee7

当xw(O,l)时，i—x>0,

ee~

所以“3>0,所以e(x)在(0,1)上是增函数，

所以研x)<O⑴=0,

所以〃(上)一〃(2-x)<0,即〃(x)v〃(2--.

因为内£(0』)，所以力(工|)<〃(2—玉)，

所以〃(占)〈6(2—内).

因为日€(1,+8),2-XJ€(1,+OO),且/?(x)在(1,y)上是减函数,

所以工2>2-%,,

即X,+Xj>2,

所以原命题成立，得证.

【题目点拨】

本题考查了利用导数研究函数的极值点，由导数证明不等式，构造函数法的综合应用，极值点偏移证明不等式成立的

应用，是高考的常考点和热点，属于难题.

19、(1)y：(2)2G.

【解题分析】

(1)由正弦定理可得/+匕2一°2=,山，再用余弦定理即可得到角C；

(2)小〃=631(4+2)+逐，再利用求正弦型函数值域的方法即可得到答案.

【题目详解】

(1)因为〃?_L〃，所以a(sin人-sinB)+(b-c)(sinB+sinC)=O.

在AA3C中，由正弦定理得二=2)=£,

sin/Asin8sine

所以a(a-b)+(b-c)(b+c)=0,RPcr+b2—c2=ab»

在AA8C中，由余弦定理得cosC="十•一c：=处=j_

2ablab2

又因为Cw(Oz),所以C—

(2)由(1)得。=工，在A48C中，A+A+C=4,

3

所以〃•〃=1x(sinA-sinB)+2(sinB+sinC)

=sinA+sin-AJ+G

=sinA+弓cos4+：sinA+百

=—sinA+—cosA+V3

22

=5/3sin[八++\/3.

因为Aw0,—,所以A+^w—L

kz6166yz

所以当A—3],即4=?时，产sin(A+£|有最大值I,

所以〃•〃的最大值为2JL

【题目点拨】

本题考查正余弦定理解三角形，涉及到两角差的正弦公式、辅助角公式、向量数量积的坐标运算，是一道容易题.

20、(1)见解析，S“=G(2)最小正整数〃的值为35.

【解题分析】

(1)由等差中项可知25“=〃“+-!-,当〃22时，得25“=5“一S,“+)

整理后可得5；-53=1,从而证

4S“-S“T

明代｝为等差数列，继而可求S“.

（2）bn=-j==--^=yf^+\-y^,则可求出（=而1一1,令JE-125,即可求出〃的取值范围，进而

求出最小值.

【题目详解】

解析：（1）由题意可得2S”=a.+-!-,当〃=1时，2^=^+—,・・・〃：=1,4=1,

44

当〃22时，2s“=S“—S,i+《—,整理可得S,=S：T=1,

・・・｛s；｝是首项为1,公差为1的等差数列，・・.s；=s：+（〃-i）=〃，s.=G.

（2）由（1）可得包=!----L=J/711一4，

V/7+14-

：.Ttl=42-y/\+y/3-y/2+->+yfn-y/^+y/n+\-y[n=yfnT\-l>5t解得〃235,

・•.最小正整数〃的值为35.

【题目点拨】

本题考查了等差中项，考查了等差数列的定义，考查了凡与s”的关系，考查了裂项相消求和.当已知有/与s”的

递推关系时，常代入%进行整理.证明数列是等差数列时，一般借助数列，即后一项与前一项的差为常

3n—3/r-1.

数.

21、（1）y;（2）），噂=3B.

【解题分析】

（D利用正弦定理，结合题中条件，可以得到护+。2="+儿，之后应用余弦定理即可求得A=?；

（2）利用正弦定理求得〃-2sin〃，求出二角形的周长，利用三角函数的最值求解即可.

【题目详解】

（1）由已知b=31必_网£可得Ain5-/?sinc=asin4-csinC,

sin^—smC

222

a.-raejar殂，，，.Ab+c-ai

结合正弦定理可得3+c~=cr+be»•*cos.4=---------------=—,