泛函分析第5章-非线性分析初步

第5章非线性分析初步

本章主要介绍一些非线性分析的常用概念和根本方法.内容包括抽象函数的微积分,非

线性算子的两种微分,反函数和隐函数定理,变分法及非线性最优化.

5.1抽象函数的微分和积分

抽象函数是普通函数在Banach空间中的推广.设X是一个股“(力空间，X•是X的对

倡空间.称x(f):［a,b］TX为抽象函数.

首先介绍抽象函数的两种连续性.

［定义5.3卜(。：［4句可，称x(f)在"点是连续的，是指称

M，)在0点是弱连续的，是指对于每个/£X*,有=

如果MO在［6可的每个点上连续,那么称不⑺在［〃回上连续；如果在,回的每个

点上弱连续，同样，称不⑺在［〃,句上弱连续.

注：假设X(f)在八点连续,那么X”)在/。点弱连续.这是因为对于/GX*

所以四1/(x(r))=/(.r(z0)),反之不然.

类似于普通函数,有如下定理.

［定理5.1］假设M0是可上的连续函数,那么工⑺是一致连续的，即对于\/£>0白0>0,

当人，且卜一/卜。时有

下面来介绍抽象函数的两种导数的概念.

［定义5.2］设X是一抽象函数，书且。.可假设现eX,使

那么称不⑺在/0点可微,而与称为X”)在/0点的导数,记为X⑺，即

上述极限是在范数意义下取的.假设对于每个/€『，普通函数/卜⑺)满足

/么称“(/)在点是弱可微的，.％称为X。)在点的弱导数.

注：工⑺在，0点可微,那么了⑺在r0点是弱可微,反之不然.x(/)在f0点可微,那么不⑺在

(点连续.

假设x(r)在,力］中每一点均可微(点〃右可微，点b左可微)，那么支⑴在［〃,句上可微

分，且导函数x⑺也是一个从伍回到X的抽象函数.

例5.1X=/1%(，):［©句.乙记为

假设x(/)在小点可微,那么

例5.2假设%)£X，M，)三与，那么了⑺在［〃,〃］上每一点可微,且"(，)=夕(零元).反之,

假设M0可微，且x⑺=6,那么三X。(X中每一常元).事实上，对于每个

/―•，/(工⑺)可微，且有2/(W))=/(x(/))=/(e)=o,故/(工⑺)二常数二/卜⑷)，于

是x(/)=x(a)=%.

［定义5.3］设x(/):［a,句.X是一抽象函数，对于分划△:

作Riemann和

此处纣=：-*,<£上”"可任取.在记分划△的范数为

仿照普通函数Ria加〃7〃的积分定义，抽象函数x“)的Riemann积分定义为：

假设存在/£乂为£>0,第>0,使得对于任何分划4假设满足网|<3时，相应的任何

Rienuinn和S(x,△)都成立

即据S(x,△卜/

那么称x(r)在［〃,句上是Riemann可积的，并称/是x(r)在［。，句上的Riemann积分,记为

/=J：x⑺力.

与通常函数有相同的性质，即假设在可上连续，那么x")在［a,/?］上&可

积.

［定理5.2］假设工⑺在力］上连续可微，即£(/)存在且连续,那么(NCHYM-3加反莱布

尼兹)成立，即

证明：对/£X，通常函数=/k⑺)在［a,可上连续可微,且

所以有(因x(z)RiemannnJ^1)

从而由Hahn-Banach定理的推论得

［定理5.3］假设x(r)在(a,b)内可微,且x(r)在回上连续,那么存在4£使得

证明：对每个/EX*,g(r)=/(%(，))满足通常函数的微分中值定理的条件.因此由

Hahn-Banach定理的推论,取/eX*,且-1那么存在&亡(&〃)成立

［定理5.4］设/.X连续，令y(r)=J：x(s>/s,那么)«)在［a.b］上叫微，且

)；(/)”(，)•

证明：对“«4同，由于x(f)在f0点连续，因此对于V£>O刁K>O,当卜To|<S时，有

卜(。7&)||<£,

注意到当画时有

所以扁

A/TOZ'/

即

注:在定理5.4的证明中用到了抽象函数积分的如下公式：

假设x(f)，X(，),毛(。均定上的抽象应日〃々〃〃可积函数，a、B是实数,那么

这些性质的证明完全类似于普通函数,这里略去.

我们还可以定义抽象函数的高阶导数及其幕级数的展式等类似于普通函数的性质，这

里就不再讨论了.

习题5.1

1.证明假设可/)在小点可微,那么x(/)在10点连续.

2.设/(/)在可上可积,那么对每个/eX',有

3.设x(/)在点可微，那么对每个/eX/,有尺(/)=/卜(/))在办点也可微

8&)=/卜&)).

4.定义内的抽象函数X”):［〃回->。［凡5|为x(r)=sin/s(sG［«,/?］).

证明：x(l)在［a,。］上可微,且x(f)=scos/s(sw［a,/明.

5.2非线性算子的微分

本节介绍非线性算子的两种常用微分微分和Gas以微分，这是高等数学中多

元函数的全微分与方向导数的概念在Bcinach空间中的推广.本节出现的Bcuuich空间都是

指实Banach空间.

［定义5.旬设x,y是两个私〃数/2空间，owx是开集，尸:。-y是算子，/EQ，那么

⑴称产在/点连续,是指加M(/+/?)-F(XO)=0||(〃£X,XO+/2£0);

(2)称产在/点是c/团可微的，如果存在TwL(X,X)满足

其中卬（.%,/?）=o（〃），即

此时,称Th为F在与点关于人的ae，直微分，记为d［r（%）〃］,算子r称为尸在工点的

Frechef导算子,并记为丁=F（%）;

（3）称尸在与点是Gateaux可微的，如果对于任意〃eX,极限

在V中存在,记其极限为。［f小闻，即

此时,称。［/^（/）/?］为/在/点处沿方向h的Ga/ea〃x微分,如果微分可以表达为

。［尸（%））可二九这里m（x,y）,那么称尸在/点具有有界线性的Ga以〃a微分,并称丁

为Galeaux导算子,仍记为尸（为。）.

例5.3记尸是由以下函数

所确定的由R〃到R”的算子.如果每个函数力（M，M,…兀）在”=（#,心…瑞点附近是连

续可微的，那么/在x®点是QeM々可微的，并且"e"?々导算子产（公）正好是〃。万矩阵

证明：取〃=（4，色,•••/%）€/?",根据中值定理,对每个1Wj<m,存在0<0<1

满足

（此处对辅助函数处（/）=4（/）+到应用中值定理而得），乂因为空在/°）点连续,所以有

记卬（式0，〃）二/k⑼+/7）-/［⑼）一尸仅①）〃

/州（〃、2

那么忖（"）卜但之4（力）九

V7=1\/=17

因此

例5.4设〃门）在栈回x（Yo,yo）上二元连续,且关于x可导，偏导数包黑在

［凡，|X（YO,+W）上也二元连续.定义算子/：。卜/,可->。［〃,可为

那么F在任意点为=%（，）£。卜八可处Brc%々可微,且Frechet导算子F（x0）为

证明：取〃£C［〃,句，令0（£）=/（/,%（。+£/7（。），姒£）作为£的函数在［0,1］上连续可微,

且。（£）=£«,%"）+"«））・

对应用Lagra〃ge中值定理，有qw（0,l）满足

由于£（，㈤连续，因此当I制.。时有

令卬（%,/?）=尸［⑼+/，一Z71⑼）一户（入0）人，那么

所以

从上面两个例子可见，计算一个具体的算子的微分是比拟困难的，它不同于求

函数导数那样容易.

为了方便起见，Rec〃々可微，Gofeaur可微分别称为尸-可微，G-可微.下面我们讨论

这两种微分之间的关系.

［定理5.5］设尸:cf匕/£cq是开集.

（1）假设/在A-o点F-可微,那么尸在X。点必有有界线性G-微分,并且

即在点的导算子与导算子相同；

（2）假设厂在。的每一点都有有界线性G-微分，且G-导算子厂（x）:Of”X,y）在

七点连续,那么F在飞点、/-可微.

证明：（1）尸在小点附近可表示成

于是当f充分小，用小代替"有

即，一+人）—-_F（x0）h=，厮⑷

117

而lim—―=hm\„1M111=0

I。|/|…||z/2||

故nmF（xo+A）-F（xo）=F

/->otv

可见尸在X。点具有有界线性的G-微分,且两者导算子相同.

（2）由于算子尸是G—可微的,且导算子U（x）在x0点连续，因此对Vc>0>0,当

|制<5时，有

我们来证，当帆V5时有

事实上,根据此加-及"以"7定理的推论,存在尸£口且=l时满足

定义辅助函数°（/）=），*|>5+/〃）〃］,根据尸的G-可微，容易证明0。）在［0』上连续可

微，且W（。二"［尸（7）+〃z）力］，从而由Lagwzge中值定理，存在§e（0,1）使得

即

注意到|班|引那么

于是

从而不等式（5.1）成立.假设令

那么由式（5.1）有

即尸在与点尸-可微.

注:在/点与有有界线性G-微分,一般并不能推出在尸点与是尸-可微的.

［定理5.6］设X,y是两个Banach空间，OuX是开集，尸:C-丫，那么：

⑴假设*x）三%，那么尸（"=8但是零算子）；

（2）产（%）=7XT£L（Xr）,那么尸（x）=T;

（3）假设丫，且对x0cQ,F,H均在小点尸-可微，那么对任何实数%/eR,算子

aF+在/点亦b-可微,且

（4）假设Z是一个Banach空间，居u丫是开集H:R—Z,QQF（Q）.如果与EC,尸在

小点尸可微，"在为=尸（%）点尸-可微，那么复合算子在Z仍在与点尸-可微，且

证明：⑴（3）容易证明，留给读者.仅证（4）.

设〃那么

且

取2="%+〃）-F（/）,那么倒->0（当网.0时），且A=/（%）〃+”与㈤,代入式（5.3）得

注意到

因此当网->（）时，帆.（）且

故在/点尸-可微，且（“fj（%）=〃&）小（与）.

［定理5.7］（中值定理）设X,y是两个Bwc力空间，CuX是开凸集，尸:。一丫具有连续

的尸一导算子.设与eQ,/ieX使与+〃cC,那么

证明：因/GQ,是凸集，由%％+〃知,对一切，£［。,1］有x0+〃?..定义抽象

7

函数八立)：[0,1]—>丫为=/(A-0+th).

注意到

那么

故

这说明，在［0』上强导数X,⑺存在且x'（/）=F'（Xo+仇）力，因此X,⑺也强连续•由本

章5.1中定理5.2的Newton-Leibniz公式有

于是

因此

［定义5.用设FCfy（OuX是开集）在。中每一点都尸-可微,那么导算子又决定一

个算子U（x）g-L（x,y）.假设尸（X）在4点处尸-可微，称尸（另在几点处的b-导算子

（尸）'（/）为算子产在/点的二阶/一导算子，记为尸（%）,可见/（Xo）«x,〃x,y））.类似,

可以定义〃阶导算子n"）（/）（〃=3,4,…）.

注:根据定义5.5关于高阶尸-导算子的定义，/a）£“x,y）,那么

尸（左）«x,L（x,y））,…尸"）（ME（X,L（…,L（x,y）））

”个

例如,对每个ZieX,尸〃（x）/zeL（X,y）,因此（尸〃（力〃）£匕同理,（（尸O）协

€匕…,一般地，（…（F⑸（X）力”…力）£丫.为了简化记号，我们记

那么^•

［定理5.8］（3；/”展开式）设。是Bcmach空间中的非空开凸集，丫是Banach空

间.y有直到〃阶连续〜导算子，且存在常数M>0,使|内）（切卜"”。），那么

对任一/eC及力£X，满足与+〃£C时，有

其中卬（刈4）为余项,且有同与,/?）g网｝.

AZ.

证明：记

根据Hahn-Banach定理的推论，存在连续线性泛函,fe丫•，满足

令0。）=/仍&+〃?）），那么由尸在C内存在直到〃阶的连续b-导算子，可知0⑺是〃阶

连续可导的函数，且对任何1W/Y〃有.

由普通函数的Thy/”展开公式得知，存在日£（（）,1）使得

即

又因为

因此

关于高阶导算子的进一步讨论,我们在这里就不赘述了.

习题5.2

1.证明定理5.6的⑴-（3）.

2.假设X是Hilbert空间，F（x）=H，假设与工。证明：厂在与点处是G-可微的，并求

出尸&）

3.假设R2上定义尸：R27氏如下：

证明：尸在（0,0）点G-可微，但是不尸-可微.

4.设X=[0,l],定义厂（.v）:X.R为，/（同=二/卜（/）/"，其中/（",。是Rx[0,l]上的

连续可微函数.证明：“在任意点不是b-可微的，并求出/（凡）.

5.设X是Banach空间，QuX是开集，毛,〃£X记/={x:/+Z〃,0KZK1}uO

⑴假设R:O->R在/上是尸-可微的，那么存在夕40,1）满足

（2）假设丫是另一个Banach空间，尸:OfR在/上是尸-可微的，那么存在。40,1）满

足

（这个练习就是非线性算子的微分中值定理）

5.3隐函数与反函数定理

5.3.1隐函数与反函数定理

本节将给出非线性分析中极其重要的两个根本定义一一反函数定埋与隐函数定埋.

[定理5.9]（隐函数定理）设X,RZ是3个Banach空间，VuXx丫是开

集，（%%）wV,V:（x,y）:VfZ连续,且满足：

⑴网％,%）=夕（2中零元素），尸在V内F-可微;

（2）（当x固定时,关于），的导算子）有有界逆算子出亿,方）[

（3）尸；（覆丁）在（毛，为）处连续；

那么存在小点和打点的闭球

满足当xw%（公）时，方程尸（乂y）=夕在匕（%）内存在性一连续解y=/（力，且为=/优），

即由尸（乂），）=。决定一个连续算子/:瓦（%）.口收），且尸（工,/。））=①

证明：记”][1（9%）『卜因[（匹y）在（.%,%）处连续，所以取为,），。的恰当小闭球

练（%）及匕（%），而当（X，y）£瓦（x0）x匕（%）时成立

又尸（X,），O）关于X连续，且"伍/0）=仇因此可以认为当XE瓦（%）时有

对固定的xe绦（％）,作映射0（x,），）=y-£（/（）,打）了产（乂V）,我们来证明0（乂）〃关于y

满足9（x,丁）：匕（X））.匕（X：），是压缩映射.事实上由式（5.4）知

再由中值定理（本章5.2解习题5）及式（5.5）,式（5.6）有

这里/是单位算子,即/（y）=y,这便证明了。（X,y）关于y为%（%）—2（%）

另一方面,对y,），2e匕（%）,再由中值定理,存在夕£（0,1）满足

故0（x,y）是压缩映射,从而由压缩定理,存在惟---个旷=/（工）£匕（了0）使得

即

故尸（xj（x））=。，特别当/=%时，由y的惟一，性，），=%，从而/（%））=%,这意味着己确定

一个映射/历（%）一双（%）满足/（xj（x））=〃.

G

卜面证明f是连续映射:对任意％G纭（X（））,天B点（Xo）,记y,=/（X］）

，=/（%）利用中值定理及式（5.6）得

因为必=。（再,y）,y2=<p（x2,y2），故有

即||/（x,-f（x2）||=||y,-y21|<2||^X,,-<p（x2,）||

因为F（x,y）关于（x,y）连续，所以（p（x,y）关于（x,y）连续。因此，当了2f再时，

㈣七,y）-（p（x2,x）||->0,更有W（K-/（马）|­0，这说明y=/（大）是连续映射。

利用隐函数定理，我们可以推出下面的反函数定理。

【定理5.10】（反函数定理）设X,Y是两个Banach空间，。uX是开集，/£Qf：。一丫

连续,且肾=/（%0）,假设）满足:

（1）/在。内/一可微；

（2）:（々）具有有界逆算子"'（/）『，且:（x）在几点连续，那么存在几点及打点

的闭球瓦（%）及匕（打）使九瓦（X。）->匕（凡）的逆映射/“：匕（凡）->瓦（X。）存在且连续。

证明：令户（y,x）=y-/（x）,那么尸：YxCfX满足:

ii)“(3'(),与)=优

(3)<()，/)=—/'")在(J，。,/)点连续。

对于F满足定理5.9的全部条件，从而有闭球匕(先)及瓦(%)使对任意)，£匕(比)有

惟一连续映射g：匕Uo)->瓦(X。)成立尸(y，g(y))=e，即y=/(g(y))•故

注：(1)假设在定理5.9的条件下，再附加条件F在V内关于X和y的F・导算子耳(苍)，)

与耳*/)都存在并且连续，那么定理5.9中惟一确定的映射)，=/(幻也具有F-导算子

f(x),并且广(x)连续，更可由下面公式得出/'a)

的表达式，即

(2)假设在定理5.10的条件下,再附加条件/(X)在。内"'(X)『存在，那么逆映射广।

也是F.可微的。

算子方程F(x)=。的Newton迭代程序

为了求函数方程/0)=0的解，可以通过如下的迭代程序

来近似求解，在一定的假设条件下，迭代算法收敛。在这里，我们将普通的函数方程的

Newton方程应用于算子方程F(x)=0的近似求解。

为此，我们需要卜面一个引埋。

【引理5.1】设X是Banach空间，TwL(X,X),且7是可逆的，如果S£〃X,X),且

心-八<」,那么S亦可逆，并且如下关系成立，即

11

证明：由于S=T+(S-r)=7V+r"(S—T)],因为7可逆，而

所以[/+TT(S-T)]也可逆,且有

于是||[/4-r-,(s-r)r,||<||5-T||rf

w=0

=]

一i-k'llh-T,ii

这样S~l=[I+T-'(S-T)rlT-l

故s-[-T-'=-[/+T-[(S-T)]-'[T'(S-T)T-l]

可见S-i_7Tl

T忙Hl

【定理5.11]设X是一个Banach空间，设F。)在包含X。点的某开集U内存在连续

F-导算子尸(x),而且满足:

⑴1尸*")「存在，且|a'(%)「卜氏忻(%)归£;

(2)尸。)在U内满足Lipschilz条件：帆’(划一/那么当£适当小时,

可选取适当小的正数,使方程F(x)=0在球B(xo,/o)=(x|||x-x0||<彳)｝内有惟一解《，而

且通过Newton迭代程序

收敛于x.,误差估计是上-4K标”\这里二=2M)

证明：取F为方程[1-一仍",)二防的正解,那么当£小时，不亦小。

2(1-%6)

于是可设

令a=2(U北,)’那么而且当|卜7。仁不时，根据引理有如下的估计

故

II[尸(切II11如=-7-^r

0Mr。1-pMr[}

-1

由于11^)-x0||=||[^^0)]F(x0)||<Pc<Zo,AfcX)£8(.7,G).假设假设修，…,5也在球

BQ",")中，对于由

故

递推可得

因此

这便说明卜”｝都含在球夙所,6)中，又0<a〈l,级数收敛，于是｛匕｝是Cauchy点

ho

列，故有区,wBQ。,"),有lim%=尤。另一方面，根据迭代程序

n->x>

及F(x)与尸(尤)「在球夙/，「0)中的连续性得

故尸(乂)=夕。再由

令6-8,得估计

最后来证明在球后。%,为)中解是惟一的。事实上，设义是另一解，那么

注意到<1,故Ik一y/=0,即x*=1。

习题5.3

1.设F：R5.2为

证明：/在夕=(00,0,0,0)点附近存在逆映射尸7。

2.设F:R?->R为

证明：3J>0,Z>0及连续映射/:(—#»)f(—4,4)满足

即

并求111/(x)的具体表达式。

5.4变分法

上节讨论了非线性算子的微分，这节专门来研究非线性泛函的极值问题。类似于在高

等数学中所学的用微分(导数)来求泛函的极值，对非线性泛函通过微分求极值的方法称

为变分法。

变分法是泛函分析的起源，也是泛函分析的重要分支。变分法在力学、物理学、控制论等

领域有广泛的应用。本节仅是对变分法这一根本原理作简要介绍。

【定义5.6】设X是一个Banach空间，CuX是开集，A是Q上定义的一个泛函。

如果/在。中每一点都有有界线性的G-微分，记F(x)=/'(x)那么称算子

F:QfX*为泛函f的梯度，并记为FM=g%4/V)或简记为F=gradf,有时乂称泛函f

为算子厂的位势。

根据G-微分的定义，梯度算子尸与其位势函数了之间成立

【定义5.7】设X是一个Banach空间，QuX是开集，是泛函，x0GQ0

⑴假设存在与的开球Br(x0)={x:||x-x01|<r}(r>0)满足B,.(Xo)ud且对——切

XE/(/)有/(%)之)(/)(/(%)«/(%)),那么称泛函/(X)在通点到达极小值(相

应地，极大值)；极小值与极大值统称为极值。

(2)设0:X7丫(丫是另一个Banach空间)"={XEX:0(x)=6},令设/eM，假设存

在餐点的开球。Go)，使当xwBr(x())cM时有

那么称泛函/（刈关于条件W（x）=M：x=Xo到达条件极小值［相应地，条件极大值）；条件

极小值与极大值统称为条件极值。

注：假设%£。,广&0）=夕，常称/是泛函/（X）的一个临界点，。£/（元0）称为/（幻的一

个临界值。

【定理5.12】设/:O->X具有有界线性的G-微分，且在与£。到达极值，那么

证明：对于任意〃wX,取常数。>0,使当“工。时，定义函数P⑺：R

为

由G-微分性质，P⑺且P'⑺二（（为+必）〃。特别，由于P⑺在，=0点到达极值，根据微分

学的根本性质，是于是:（八。）/2=0,而〃是任意的，那么尸"0）=。。

这个定理虽然十分简单，但为我们寻求泛函的极值提供了十分方便的条件。

例5.5设C］。,切为一切〔〃,切上连续可微函数组成的线性空间，对于xcCl。/］定义范

数为

那么。1兄以在此范数下是一个Banach空间。又设是W上定义的一个连续可微函

数，求泛函

到达极值的条件。

解：对于任意/?£C［a,回，由于

那么广（幻满足

假设J在小点处到达极值，那么对任何此向有/（%）/?=0,即

这个条件十分不具体，为此，我们进一步假定是一次连续可微的，且要求极值点满

足固定条件/（〃）=凹,/（〃）=%，那么由式（5.7）分部积分可得

(5.8)

在式（5.8）中根据/?的任意性，我们得到吃⑺满足下面的方程

这个方程通常称为Eulcr-Lagrangc方程。

例5.6通过Euler-Lagrange方程求泛函

满足条件尤（0）=/，1⑴=X的极值点函数。

解：由Euler-Lagrange方程得

即

这个方程的通解为

由边界条件x(0)=%,X(1)=x,解得系数分别为

例5.7求泛函=J：L(x(f满足条件比二/(Mf),〃⑺J)极值条件。

解：这是一个条件极值问题,我们把它转化成无条件极值问题，为此引进一个辅助函数

〃/),将上述问题化成

的无条件极值。取Banach空间X=。[。力卜。[々,力]xC[a,b],假设(%*,〃*/)是泛函

心,〃,4)的极值点,那么对任意X有

选取力3)=%(。)=0,那么由分部积分得

再由式(5.9)得

M(x*,〃’,；T)(/2,77，r)=f{[2+%'£+/*]/?+[2+/*£]〃+(5.10)

J"droxdudu

由无条件极值的必要条件/(£,/"")=夕及仇的任意性，(/，/，万)应满足下述微分方

程

8L34

------FX-----FX=0

dxdx

匹+2更=0(5.11)

dudu

f=x

上述方程(5.11)也称为Euler-Lagrange方程。具体求解这个方程还需要一些别的定解条件。

例5.8通过Euler-Lagrange方程求泛函

满足条件£=x(f)+”"),x(0)=x(rw(0)=%的极值函数。

解：由Euler-Lagrange方程[5.11)得微分方程为

整理后得

通过初始条件%(0)=%,〃(0)=〃[来确定(必),〃⑺)。记矩阵

那么

注：由定理5.12知，泛函的极值点一定是它的临界点。但临界点未必一定是极值点，因此

临界点只是泛函极值点的必要条件，并非充分条件。

Euler-Lagrange方程提供了一类泛函极值问题的必要条件，下面我们从理论上探讨泛函

极值的存在性问题(充分条件)。

【定义5.8】设X是Banach空间，AuX,x0wAJ:AfR.称/在点/是半连续的，

是指假设X“£AX”->与时，成立

称/’在/点是半连续的，是指假设X“£Ax”时，成立

称/在A上是下(上)半连续的，是指/在A的每一点处都下(相应地，上)半连续。

注：/在X。下半连续，可用£-3语言等价表达如下:

丫£>033>0,当且kf时，有

同理，读者可写出上半连续的£-3语言等价形式。

类似，连续函数在闭区间上到达最小值的证明，我们得到下面的结果。

【定理5.13］设A为Banach空间X中一个紧集，/是A上的下半连续泛函，那么/在A

到达最小值，即存在。wA,使f（a）=minf（x）

xeAo

证明：设。=1"/（工）.首先来证明a>-oo.假设不然，对任何自然数〃，存在了“EA使

根据A是紧集，存在子列RJu｛z｝使/f曰/在/点的下半连续性，可得

这与/（^o）£矛盾，于是。>-8.取y“"使

再利用A的紧性，有子列｛儿｝及awA使坊->4,那么

可见，/（〃）=4。

一般而言，定理5.13的条件太强，在实际问题中，泛函的定义域往往不是紧集，为此,

我们需要对如下定理作一些改良。

【定义5.9］设X是Banach空间，MuX,称M是弱序列闭的，是指假设且七一^~>凡,

那么（换言之，弱序列闭是指M中序列弱收敛的极限仍在M中）。如果M是弱序列

闭集，->（-8.+8）,工0£M•称/在/点是弱序列下半连续的，是指假设且

A；,—〜玉）,那么/（无）又称/在M上弱序列下半连续，是指/在M的每一点是

n->oo

弱序列下半连续的。

例5.9设X是Banach空间，那么任何闭球区（。）且乙。来证明％e瓦（夕）.由

Hahn-Banach定理的推论，存在为"GX'且防］|=1使入；优）二|闻|.

又1吧X；（X；）=X；（"。*工而k；（X：）|-卜。11kdi«r于是

故X。GBr（6）.

根据定义，假设M1、例2都是弱序列闭的，那么MCM?也是弱序列闭的。

【定理5.14】设X是一个自反Banach空间，AuX是弱序列闭的，/:47（一）,”）

弱序列下连续且满足：

(2)inf/(x)>-coo

xeA

那么/在A上到达最小值。

证明：令a=inf/(.0那么由下确界的定义，存在使

XGA

再由⑴存在〃>0,使当网>却寸，有

所以点列上｝满足x,"Ac瓦夕圾因为X是自反Banach空间，B«9,㈤是弱紧的，故有

子列｛%｝及不£瓦夕力使九一一x。，而4弱序列闭，那么与EA。

这样据/弱序列下半连续性有

即

下面我们介绍求泛函条件极值的Lagrange乘子法。

【定义5.10】设X,Y是两个Banach空间，OuX是开集，T:C-丫是F-可微的。x0GQ,

称与为T的一个正那么点，如果F-导算子T，a0):X->Y是满射。

例5・10设T:R“fR”,T(x)=(/；(x)£(x),…㈤”=($,%，，Z)，假设

仆=(#,&…况))使矩阵

【定理5.15】(Lagrange乘子)设X,Y是两个Banach空间，f:QTR,

7:。一丫均是F-可微的，％£^.且尸(工)、厂。)在与点是T的正那么点，那么，假设与点

是泛函/(幻满足条件的极值点，那么存在先,£片使得

【定义5.11]称L(x,y)=f(x)+yT(x)为Lagrange泛函,并记

分I

假设k(Xo，yo")=O,那么称与为L关于y(；的临界点，y(；称为Lagrange乘子。

ex

例5.11求函数满足微分方程

又同时满足夕⑴=1,0⑴=0,且使｛〃)=[/⑺力到达最小。

解：满足微分方程初值问题的解可表示为

于是取H(u)为

用么上述问题化为如下条件极值问题

根据定理5.15,存在a=(44)£口使得到达极值的。满足

即对V/,£由0,]]成立

y(u)(〃)“+Z,H；(w)/?=0(5.12)

计算J'(u)九H；(〃)〃为

根据式(5.12)可得

由于h的任意性得

即

最后由约束条件〃(〃)=()计算出4、4为

例5・12考虑一般线性控制系统

其中A:R"f即A是〃x〃矩阵，B是〃x〃z矩阵，给定王£肥,求控制

〃£次儿,小氏〃)使

且满足工亿)=%

解：记X=CUo/J,R"),那么/：心2《0，小*〃).凡约束条件为

于是“：XXz?一右根据定理515存在2(r)e)使条件极值u满足

AT

—=，(〃)+4〃'(占w)=0(5.13)

dx

对V/ze炉及u计算j，(u)h及％"*,〃)化〃)为

此处〈・,・)表示/T中的内积运算，即

假设y=(X・%•…・y,〃),z=(马.Z?.….zjGRm

那么

于是根据式(5.13)有

J\u)h+")伏,h)=0(5.14)

对皿£!2及ksX成立,为了求解式(5.14)可假定4连续可微且k(t0)=

k&)=0,那么由式(5.14)及

得

再由于h及k的任意性有

这样求得〃f)=CT也从而

其中矩阵C由条件M/J=%来确定。

习题5.4

1.设人(百,工2,…，工"，/，〃2,“)是2〃个变元的连续可微函数，推导泛函

到达极值时所满足的Euler-Lagrange方程。

2.在。||7|出］中确定一条通过点(4，与)，(，2，冗2)的曲线，使泛函

取极小。

3.在。2［0,2］中求一条曲线使泛函

到达极小。

4.求具有约束条件工=x+〃及初始条件x(0)=/下泛函•/=£(Y+〃2)力到达极值的工⑺和

u(t)o

5.求〃e臼0,1］使『力满足

且x(O)=O,Ml)=l。

5.5凸集、凸泛函与最优化

凸集、凸泛函的理论，由于其在概率论、非线性规划以及现代控制等理论中的广泛应用

而成为现代数学中一个极为重要的分支一一凸分析。本节简要介绍关于凸集、凸泛函的一

些最根本概念和性质。

5.5.1凸集的分类性定理

我们曾在第3章3.3节中介绍过著名的Hahn-banach空间，这里讨论的是关于

凸集的Hahn-banach定理的几何形式。

首先回忆一下曾在第2章线性空间这一节中定义过的凸集概念。设X是一个

线性空间，AuX称为凸集，如果对仟意A,ae［0.1］有cx+(l-c)yeAo

很容易验证任意多个凸集的交仍是凸集，但凸集对并运算不封闭，即A，&

是两个凸集，而AuA2未必是凸集。对于线性空间X中的任何子集B,一定存在包含B的

最小凸集，即所有包含B的凸集的交：c{A:A是凸集且AuB}。记此集合为C°(B),称为

B的凸包。

例5.11设B二出也，一，2}uX,那么

我们将例5.13的证明留给读者。

【定义5.12］设X是一个线性空间，X1是X的子空间，称

为X中一个线性流形，又称线性流形，又称线性流形L为X的一个超平面，如果是

比X低一维的线性子空间，即对任意xwX-X，由x和％张成的线性空间就是X,此时常

称％为X的超子空间。

注：L为闭线性流形当且仅当天为闭线性子空间。

【定理5.16］设X是赋范线性空间，一个闭的线性流形L是X的超平面的充要条件是

存在非零线性泛函x"£X”及某个实数厂£R有L={x£X:/(x)=r)o

证明：充分性。设/及「如上式所要求。取X°EL,那么/(.%)=_,那么对任意xwL有

假设记X］=ker(x")={y:x*(y)=0}3Lx7()GX)。假设令y=那么

A=x0+y(yeXJ,于是£=鹏+乂］。

由于/是连续线性泛函，所以王是闭子空间，即L是闭的。任取xwX-Xj那么

/*(内)*Oo对任意XGX,注意到

所以X-^^AIGX,

X(X,)

即-ve——X1+X1

XU|)

这说明X,与内张成的线性空间就是Xo

必要性。设L=x0+X|,X|是比X低一维的闭线性子空间。据第3章3.3节中

Hahn-Banach定理的推论3.1,存在/eX*(x工夕)使对x£X1有x"(x)=0.

令r=x"(Xo),那么

［定义5.13］设X是一个斌范线性空间，ABuX。称超平面〃］={x:『(x)=H别离(严

格别离)A与8,如果，满足

［引理5.2］设X是一个实赋范线性空间，8uX是凸集，且”>0使

%(。)={x:帆v5}uB,那么可以定义泛函P:X7［0,+oo)为

且P满足：

(I)P(0)=0

(2)P(ax)=aP(x)(a>0,XGX)

(3)P(x+y)KP(x)+P(y)(x,yeX)

证明:由对任意—>0,6口力?(6e8)得尸(6)=0°对VE>0,由于Re(P(x)+03,所以

axe(P(A)+e)aB。于是尸(ax)Wa尸(x)十皿再由&得任意性得P(ax)<aP(x)。令

a=—,y=ax,利用P(ay)<aP(y)得P{x)<—P(ax)即P(ax)>aP{x},故

a'a

P(ax)=aP(x\a>0再注意到

XG(P(X)+£)8,ye(P(y)+£)8

又8是凸集，因此

所以

BPP(x+y)<P(x)+P(y)+2e,由£得任意性有(3)成立。

［定理5.17］设X是一个实赋范线性空间，AuX是凸集，且有。EA以及相应的5>0使

8Ka)={x:|k-d<3}uA。假设x()任4,那么存在超平面别离A与小。

证明：记8=A-a={x-a:xeA},那么8仍是凸集，且练(。)=(冗:国<5}u3。根据

引理5.2定义泛函P(x)=inf{2:4>0,xw/l3},那么对任意xw8有P(x)W1。又天任A,那

么西=/一。任8,故P(x)之1,记"={/1中义£口，那么M使X的一维子空间,在"上

定义线性泛函；。为

显然/(•)是加上的连续线性泛函，且x(•)WP(x)(x€M)。根据Hahn・Banach定理,x(・)可

延拓成X上连续线性泛函x(•),且保持x(・)WP(x)(x£X)。对XEB,由于x"(x)WP(x),

而x*(X］)=x(%)=产区)21。令/(。)二厂一1,那么对jreA有

但是

故超平面〃；别离A与飞。

o

注：假设小是3的内点，即与w6,那么由引理5.2定义的泛函。满足事实

上，由于与是B的内点，，可取%>1,使4工0£8,于是产(。0%)工1,因此

因此定理5.17的超平面”:.可进一步满足/w1有

［定理5.18］设X是一个实赋范线性空间，A是闭凸集，假设4任A,那么存在超平面”；

满足

X"(%)2/•且对任意x£4父(x)vr

证明：记与到A的距离d=inf{|k°-4：a£A},因A是闭集，所以d>(),令集G为

这里d(x,。)表示x到A的距离，即d(x,a)=inf{k-A}。显然G是开集，且GnA,

我们来证明G是凸集。设内、当^。，那么存在^，生《人使

因A是闭凸集，那么aax+(\-a)a2eA(ae［O,l］)。又因为口［0芭+(1-⑶毛］一+(1-。)出］||

故”(白玉+(1-。)工2，4)<4,即g+(1-GGO由定理5.17及注释得知存在超平面〃二别

2x

离G与X。,故

一(一)>厂且对任意XEA,x\x)<r

这是因为％任G且GnA。

注：假设引理5.2中七任8,且凡是夕得内点，那么存在使4/任8故

P(aQx0)>1,即尸(毛)因此，定理2得结论可加强为/<(%)>厂且对任

%«0

意xGA/(x)<r,即超平面H；严格别离A与小。

［定理5.19］设X是一个实赋范线性空间，48是X得两个非空凸集，且A是紧集，B

是闭集。那么假设=那么存在超平面〃;.严格别离A与8。

证明：记C=A-8,由于Al8=。，那么OeC。我们来证明C是闭集。设怎且

七fx,于是有a”wA也wB使4=%°因A紧，从而｛%｝有子列｛4｝以及A使

%ta,又％->上，故力一(〃-不)。又B是闭集，所以(a-x)wB，而x=a-(a-x)，

故为wC.根据定理5.18,存在超平面/TX.满足(见定理5.18得注释)

0=x\0)>1\且对任意X€C,父(X)<1\

这样对任意aeA8e8有工*(〃-〃)<4，即x"(a)<x*S)+q,故

更有

取「满足supx*(a)<r<infx(b),那么超平面H，,严格别离A与8。

aeAheBX

进一步可证明一个一般得别离性定理一一Eidelheit定理。

［定理5.20］(Eidelheit)设A、3是实赋范线性空间X的两个凸集，8有内点，

BA=(t>,那么存在超平面H；.别离4与4。

由于证明冗长，这里略去。

5.5.2凸泛函

［定义5.14］设X是一个线性空间，，：Xf(-oo,y］称为凸泛函，如果对任意

{M,彳2,…，x”}ux,凸组合£4a(4=1)满足

/=1(=1

根据定义有：

［性质5.1］设):Xf(y,—］,那么以下各条命题均等价：

(1)/是凸泛函

(2)对任意的M)，eX,aw(O,D成立

⑶了的上图象E“(/)={(.")EXXR:/*)4刈是XxR中凸集。

证明：⑴=⑵显然。

(2)=(3)：设*,4),()，,攵)£纥(/‘)，对。£(0,1)由于

及

所以(ax+(1—a)y,a/l+(l—a)A)wE〃(/)

故纥(/)是凸集。

(3)=⑴：由于约(一)是凸集，那么

其中4之0,£4=1。因此，有

I=I

［性质5.2］设fg,£:Xf(-8,+oo)均是凸泛函,那么：

(1)f+g是凸泛函；

(2)对。>0,a/是凸泛函；

(3)如果r：y->x(y是另一线性空间)是线性算子，那么/丁(幻=/(万)是凸泛

函；

(4)如果0：欠->及是单调增凸函数，那么0/是凸泛函；

(5)sup{/a):i£/}是凸泛函，即一簇凸泛函的上确界泛函仍是凸泛函；

(6)对任意/IwR,水平集

是X中的凸集。

我们把这些性质的证明留给读者。

［定义5.15］设/:X->(YO,E)是严格凸的，如果对任意了的有效定义域

Dorn(f)={xeX:/(x)<十©内的两点x,y满足了(土|?)<

［性质5.3］设/:Xf(TO,”］是凸泛函，记

那么M是凸集，即/到达最小值的点组成的集是凸的。特别，假设/是严格凸的，那

么/最多含有一个点。

证明：记/l=inf"()，)：yeX},设那么/(x)=/()，)=2,对。£(()」)，有

故/(ar+(l-a)y)=4,Wax+(\-a)y^M,M为闭集。假设/是严格凸的，且

x.ywy那么

这不可能，从而M最多含有一个点。

［性质5.4］设XI是两个线性空间，g:Xxy->(y,+o))是凸泛函，那么由下式定义的

f：X->(-co,+oo)

也是凸泛函。

证明：设MxeX,假设f(x)=+oo,这显然有

因此，不妨设£Qo〃?(/)。由定义，对任意£>0,存在X)；满足

那么

又因为

所以

由£的任意性得f(ax+(1-a)x)<af(x)4-(1-a)f(x)

［定义5.161设X是一个减范线性空间，OuX是开集。/:CfR是泛函，称/在与点

是Lipshitz的，是指第>0及常数L>0满足，当用好耳式与)时有这里

%5)={y：||y-题||v5}ud又