泛函分析在控制系统及算法中的应用

课程:应用法泛函分析

题目：泛函分析在控制系统及算法中的应用

学院：自动化与电气工程学院

专业：控制理论与控制二程

姓名：___________

学号：

指导老师：_____________

二。一三年十二月十日

泛函分析在控制系统及算法中的应用一、遗传算法的优化

设一个系统的种群为

【摘要】泛函分析的理论、思世和方法在应用数学、物理理论、现代工程技术等

1-|）

众多领域都有广泛的应用.它不仅为控制算法优化以及系统性能分析等犯立了产（

密的理论体系.而且为控制I.程实用的数向计免和挣制免法的建，匚提供了明确满足约束条

的理论依据,并对算法实现的有效性、收敛性提供了各种煲用方法，本文从遗传g(X)40J=1.2,-./

算法的优化,控制系统性能分析和始优控制三方面商要分析广泛函在控制理

瓦(X)4。*=1.2.….切(1.2)

论与捏烟工程中的应用.%*)i=l,2,-.n

【关键词】泛函分析控制理论与控制工程遗传等法必优控制

使目标函数:

【中图分类号】0177.92-TL361W(X)->min(1-3)

Throughthestudyoffunctionalanalysis,knowirgthatfunctionalanalysis上述问咫称为遗传舜法的一个优化同即，其中约束条件是一个工程结构中的

iswidelyusedinmanyfields,itnotonlybuildsastrictheoreticalsystemforthe各项参数，（如系统的动态性能指标、济态性能指标）应该满足的条件.FI标函数

optimzationotcontrollingalgorithmandtheanalysisotsystematic是用来评价系统的优秀；在m术U标函数满足约束条件下达到最小（ft.传统的遗

传算法，按照透音生卒的原理从给出的种群中不断进化寻求满足约束条件的新解，

performancebutalsoprovidesadefinitetheoreticalbasisfortheeslablishment

被后找出收敛的呆伏好.寻求聚优饼的过程汇总.当变余增多或者种即取依范围

ofmmericalcalculationandcontrolalgorithmoftheusefulControlling

大时.寻求收敛的速度就会相应降低,无法梢确的确定最优解的位置.因此采用

Enginoering.Atthesametime,avarietyofpracticalmethodsareputintothe

--解空间到另一解空向的映射，改进遗传算法求解的迭代过程，从映射角度对分

algori:hm'sefleclivenessandconvergence.Inordertograspandunderstarxi析遗传算法的收敛件.I.述问即可以知到相应的解决.

theapplicationofthetheoryoffunctionalanalysisaidlearnthemethodsof定义1度口d:SxS—R,其中d的表达式定义如下：

applicationoffunctionalanalysis.Fromthepointofgeneticalgorithm.thec

“3,%）=卜-，（x））-（-/（x.2））|（1-4）

analysisofperformanceofcontrollingsyslemandoptimalcontrolbriefly

analysethatfunctionalisappliedinthefieldsofcontrollingtheoryand其中X,，M.2Gs，c是一个大的正数,

controlingengineering

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首先证明（s，4）是度收空间,事实上（£，/）满足以下条件：

S位非空巢合，d为SxS上的实信函数，对S中的住点两个元素x,,X,”对应。（血（7%）】（叫力）卜“亚34=1.*必eSue>

一个实数4r,/“）满足I

定理1改进遗传算法所形成的映射T是《!机乐缩算子.

《工心族。凌工户（1-5）

证明：根据改进遗传弟法运行机理,从理论上讲・如果采用ELITIST策略,每送

H当仅当X=X“2时，</（x-X.>°满足非负性；代一次就会产生比上一迭代更好的个体，所以存在一个非负实侑的机变量：.

心”」小-/（疝--儿心）卜卜，鼠卜卜，1*156）04K（<y）<l,（w.使得

咽酰XJT（酰工））的“.卜卜/（1）卜卜/（几）卜

满足对称性

d（X,H）=k-/（X,）Mc-/0J）|=啊卜儿仃卜―/（琲刈陷口㈤0-9>

|（c-j（X,）Hc-/（"））+（c-/（X-J）-（c-/（X“：））卜

Q：，={""（7@工/7（”'工））WA（咖（而,篇胫C（1-10）

|（<T（XJH，T（"））H（，7（"）HL，（"）卜（1-7）

Mr/#,J+M丫心X,.J

P（C）=1（1-11）

满足.他不等武.所以（s.d）为度盘空间.其次证明（S.d）是完备度址空间,S定义3设唳射7:<2XSTS为由!1机算f,若可测映射g：CxS->S满足：存

是一有限状态空间,即S中染色体的数目是有限的，对于任意染色体的柯西列在非负实数K<1.使得

{%}以及任意4>0,存在自然数N.当自然数n,m）N时，d（x.,xj>4,*（"）加,标）卜如偏）也4户

（1-12）

当n—时,X°TX・因此.（S"）是完备的度量空间.最埼证明（S4）是

则芍唯一的不动点46S,且枭".％=7>/=12•、则必有x->4.if/港

可分的，设G是S的子集，由于S为有限集合，因此G为可数千集，乂G的闭包

足（16）的映射，称之为压缩映射或压缩算广.

包含$中所勺元索，所以G在S中稠密,这就证明了（S,d）是可分的.因此（S.d）

定理2设防机灯了7:0xS-»S满足对几乎所有的均为压缩其子，即

是完茶可分的度最空间.

存在£2“ua.P（Q„）=1,使任一。e。,.有：

定义2的机算J'7：QxS—S称为班机压缩算八如果存在非负实保地机变现

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"(/("天)〃/6.)、》.J(1-13)设X=/r为欧式空间.X{I}GXJQR称为系统的状态,一般系统方程为

x(t)=f(t,x(t),u(t)),Ze[fo,oo)(2-D

时任-X广无.卢5，其中O=A'(0)<1.时任一0£。“，则自唯一的机不动

族中〃€L),o.a为控制输入,假定采用状态反馈,印

点83),即

u(t)=Kx(t)./e[ro,oo)(2-2)

T(g(⑹，3=g®)(i-iD其中KG£(ir.RD：不失一般性,闭环系统仍可写成

S)=XD,rGpo,oo),t(/O)=x(2-3)

证明：利用巴翼赭压相映射定用,对任”eC“.存在/»(®)€S.为7(。)唯:

一不动点.对于任一x'wS,则令：乂设力是系统的态变映射.则其等价形式是

期因(。)为7(。)广义不动点.且为7(。)唯一不动点,下面*(。)证明的可测x(t)=<p(t,to,x),te[to,00)(2-.|)

性：对任-X“€S,令二者之间的联系是

j,,w6/r0..*+W,x(i))-x(r)

X®)=r„,xM=7(”，X®)y=12“(1-15)=hm----------------------(2-5)

由于工⑷一心T(©K®))T7(©X)，geS即7(⑹连续.根据笈合成

如果式(2-3)式中的f1不依极于时向或以t.W

评如k}为一随机变*列，又根据巴京林压缩映射定理/，(助一W⑹2以由昂)=f：M)).-[0,8)：x(0)=X0(2-6)

防机交量的极限定现可知双由)为随机变量，从向g(@)为7®)的随机不动点，

则称其是自治系统：此时,态变映射可表示为

且为了(①)的唯一不动点，因此遗传舞法的求解迭代过程是一个随机压组映射，

x(n=(p[t,xo),te[0,co)(2-7)

根据定理2可知该迭代过程是收敛的，

HWX称(2-3)为衣系统的一个平衡状态.如果

二、控制系烧的性能分析

/(„)三0.V/Gpo.co)(2-8)

防若科技的发展控制理论迅速发展,研究的系统复杂程度亦不断增大，但是

或者工,=收公")2w[rq8).

控制系统的性能分析依然是研究主税，主鳖是控制系统的柄定性以及得棒性，松

对于式(2-6)的自治系统，若f(0)=0,则OCX是一个平衡状态.一般情况

定性是系统在使它偏陶平衡状态的外界扰动作用消失后.返回原料平衡状态的能

下，系统不必有平衡状态；而有平衡状态时，也并不一定只有一个，

力；币控制系统的鲁律性则是指控制系统对特性或参数优动的不敏感性，

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设A>£X是式(2-3)的平衡状态，称其在“HHYHOH意义卜是枪定的，册入枪出稔定性理论很容易用来进行系统痔棒性分析〃例如.对图一的系

如果什任意£>0，然>0,当版一后|<5时，则有统.假定F,有一个变化AFi如果火(F+।仍能成，工•根IK小增益定

II奴/,/0,£)一心||工£,V/€[Z0,cc)(2-9)理.系统仍然是输入给出有界的.

三、泛函优化与最优控制

MGX称为渐近桧定的(或大箍国曲近稳定的).

被优控制是现代控制理论的核心,它研究的I要问题是：在满足一定约束条

议*“和夕”是两个廷拓赋范线性空间./夕,。口八称为•个输入输出

件下,寻求最优控制第珞・使得性能指标取极大位或极小位.基于泛国分析中紧

关系；而任意区、)€尸.X称为输入，y称为输出，定义在把el上且取值8。<2的

生、测度等理论，对最优控制卬广义控制的收敛性进行理论分析如下：

关系FwH称为输入榆出检定的,如果F有界且连续,反馍系统如图所

如果〃,(▼)曼•族带参数。"eg的强连续广义控制•并对•切和

u,洋e'H"・的测度都渠中在一个固定的疔界第Nu"uR'中，则必存在一列

遂段长值控制

^(f：or)€Q,.i=l.2,…，(3-1)

它关于buZ段连续.并n满足

uiei⑴所有的中:。)的测度集中在N上，等价的说，对于一切，e/;及beE.

图反饿系统i1.2,—,都有

其中的㈤,户€四,而42,宾,》6豺<2：FIW/RF2W//2均是输入输出关系,(ii)当i->8时,序列关于。GZ一致地为收敛于〃,9),换而吉之，

即(0.»亡月.(0.0)£尸2.上述反馈系统.若开环增益满足对于住嘴支集的连坎函数耳(/,“)・有

g(Fi)g(尸2)vl(2-10)口加—小&㈤送,“)”—。(28)(3-2)

则系统是输入输出有界的.即小增益定理.

并且这个收敛关于<7€E是•致的.

如果开坏增量增益满足

证明：设对打个自然数i,有界开集族

以F1)以尸2)<1(2-11)

；0’,j=12....p，｝(3-3)

则系统是输入珀出根定的.即输入输HI稳定性定理.

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次盖了闭集5.弁设集介O；".….O；的最大值径随精j->8而趋于零.又

江||%9)-坤=p，腐9)一〃,(+G-11)

[/"(").，=12..•.〃」(3-n

由假设，〃,(b)强连续地依棱J卷数。6工，即

是紧％无上的关于子箱蓬0，,-.。；的,个单位分第.对于任aeZ,函数

才；(")=<"(，卬)，/"(“)>」右氏(3-5)PL(bT。)(b⑵

于是.(3-9)成立。

关于t可测且满足条件

对于每个i=1.2.….任交集oynN中任遨选一点“7」=1.2.….p6果该女第

。4/；(“)41，££；(")，2。€工['=12…<3-6)是空集，就令〃?=",这里的“走N中的一个固定点.就得到一个点集

；■1

由于，对每一<TWE,有；“*“*“*<=皿-心…直观地说，当(3-5)式中的函数。7(“)充分的"接

04君)(“)=[\。，(山〃")4%”)=1(3-7)

近“I••集介O7的特征函数时,］；(，”)将近似地去示出〃,⑸］/IN上

p,p,P,的挪度.但对于充分大的所力的集合的直径必充分小,结果()可近

£/"")=<"，⑺.£a?(")>-J、£a'"(")d"M)i,0746

,A川(3-8)

似地视为按依依尤”(")：；%⑺.….*；(")案中在点”上.驰

=J//z,((7)=1

当i7Tb时.若i增大，按弱收敛的意义，两者的误注越来越少.

广义控制外.

£LK(")DKTO.i・l.2.…(3-9)

△?9)=fX%：bW”<3-13>

/-I

事实上，

当i—8时关于<reg一致地弱收敛于广义控制也9).

(")斗〃(3-10〉任取一具有紧支第的连续函数g(r,“)，并令/,为支先在i轴上的投影。记为

产maxsup(3-x)

但是由丁|。”“)卜］，旦。：)有素支柒,根据Radon测度葩数的定义，有utip.

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可知,Vfg[-/,;].

<0,、/.\/（"）=源V/e且V-..2『<3-19>

4—>。，（/—>oo）（31S）

因此的过程产生出系列函数〃'”⑴，它的值以叛率i在区间，«一诃上快逵碇荡了

…者值之间,函数〃“（，）在年个自取间，$，44士«=」上,

二卜儿⑹,/北咏小卜5-切心向由“：1”（3.16）

取佗于〃，的时间是（““《““）儿⑺力，/=1，2,…,P这列麴荡得越卖越快的函

卜<“9）.£口〕（"）|双人"）-8卜""）]>",数羽收敛于广义控制△,.

四、总结

£力、〃,3）47（“）卜（，.“）_&（/.〃7）|><〃本文首先基于泛函分析的改进遗传算法,指出了改进遗传算法搜索求解实际

是•种的机压缩映射，根据班机压缩定理证明J'遗传算法具有唯物礼不动点.

上，7“N」/,v〃<b）e7（“）”〃即存在师-随机解，使遗传算法的数学翦础更加丰富和完善，这也对就传算法的

=”fa7（"）””〃（b）（3-i7）理论与应用研究只由电要的理论及实川价他：共次基于泛函分析的疑范线性空间

相关的理论对系统性侵进行了分析，更为简单的分析系统的枪定性以及瞥棒性：

='1/可/〃，（。）=77,J/，J/d,

最后结合紧集、测度等理论对最优控制中广义控制的收敛性进行严格依数学证明.

00

k"'〕/』->。（^）控制理论与控制工程中涉及的问遨,可以粒括为系统分析、系统绦合、建模

H这一收敛关于cwZ是一致的.对于给定的广义捽制和优化.大加与应用正函分析密切先关，tai：系统分析,包括系统的和定性分析、

△一£九（。①⑼=1•〃,waj・1.2.“..p（3-18）能控能视性分析、鲁样性分析等